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全等三角形之截长补短模型

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专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形(原卷版)

专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形(原卷版)

专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。

（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

全等三角形之截长补短法

全等三角形之截长补短法

全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。

模型14 截长补短模型(解析版)

模型14 截长补短模型(解析版)

模型介绍有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段.如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破.如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）.例题精讲考点一：截长型【例1】．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于_______.解：在DC上截取DE＝DB，连接AE．设∠BCA＝α，∵AB+BD＝DC，DE＝DB，∴CE＝AB．∵AD⊥BC，DB＝DE，∴直线AD是BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴CE＝AE，∴∠BCA＝∠CAE．∵AB＝AE，∴∠CBA＝∠AEB．∵∠AEB是△CAE的一个外角，∴∠AEB＝∠BCA+∠CAE，∴∠CBA＝∠AEB＝2α，∴∠CBA+∠BCA＝3α＝180°﹣120°＝60°，∴α＝20°，∴∠BCA＝20°．变式训练【变式1-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．解：在AB上截取AC＝AE，设∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝x°∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，在△EAD和△CAD中，∴△EAD≌△CAD，∴∠C＝∠AED，CD＝DE，∵AC+CD＝AB，AB﹣BE+AE，AE＝AC，∴BE＝DE＝DC，∴∠B＝∠BDE＝x°，∴∠C＝∠AED＝∠B+∠BDE°，在△ABC中，x+x+2x＝180°，∴x＝45，即∠C＝2x°＝90°．【变式1-2】．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．解：在AE 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠1＝∠2，在△AMC 和△ADC 中，12AC AC AD AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMC ≌△ADC （SAS ），∴3D ∠=∠，∵∠B ＋∠D ＝180°，43=180∠+∠︒，∴4=B ∠∠，∵CE ⊥AB ，∴90CEM CEB ∠=∠=︒，在EMC △和EBC 中，4B CEM CEB CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMC ≌△EBC （AAS ），∴ME ＝EB ＝3，∵CE ＝4，S △ACE ＝14，∴21474AE ⨯==，∴AM ＝AE -EM =7-3=4，∴1144822AMC S AM CE =⨯=⨯⨯= ，∴8ADC AMC S S ==．故答案为：８．【变式1-3】．已知在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 边于点D ．求证：AC ＝AB +BD．证明：在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 边于点D ，∴∠BAD ＝∠DAC ，在△ABD 与△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD＝DE，∠B＝∠AED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠AED＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴CE＝DE，∴CE＝BD，∴AC＝AE+EC＝AB+BD．考点二：补短型【例2】．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°求证：BD+DC＝AB．证明：延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，∵∠ABD＝60度，∴△ABF为等边三角形，∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，∴∠ACF＝∠AFC，又∵∠ACD＝60°，∴∠AFB＝∠ACD＝60°∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF．∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，即BD+DC＝AB．变式训练【变式2-1】．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E为AD上一点，连接BE，CE，且BE、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：BC ＝AB +DC ．证明：延长BE 交CD 的延长线于点F ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵AB ∥CD ，∴∠F ＝∠ABE ，∠A ＝∠FDA ，∴∠F ＝∠CBE ，∴CF ＝BC ，∵CE 平分∠BCD ，∴BE ＝EF （三线合一），在△ABE 和△DFE 中，，∴△ABE ≌△FDE （ASA ），∴FD ＝AB ，∵CF ＝DF +CD ，∴CF ＝AB +CD ，∴BC ＝AB +CD ．【变式2-2】．【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．解：（1）【问题背景】如图1在ABE △和ADG 中，∵DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADG SAS ≅△△，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵18EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，∴EAF GAF ∠=∠，在AEF 和GAF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≅△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；故答案为：EF BE DF =+．（2）【探索延伸】解：结论EF BE DF =+仍然成立；理由：如图2，延长FD 到点G ．连接AG ，在ABE △和ADG 中，∵DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADG SAS ≅△△，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵13EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，∴EAF GAF ∠=∠，在AEF 和GAF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≅△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；（3）【学以致用】解：如图3，延长DC 到点G ，连接BG ，在AEB △与CGB △中，∵AE CG A BCG AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEB CGB SAS ≅△△，∴BE BG =，ABE CBG ∠=∠．∵45EBF ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴45ABE CBF ∠+∠=︒，∴45CBF CBG ∠+∠=︒，在EBF △与GBF 中，∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()EBF GBF SAS ≅△△，∴EF GF =，∴DEF 的周长5510EF ED DF AE CF DE DF AD CD =++=+++=+=+=．实战演练1．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．21B ．24C ．27D ．30解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∴△ABC 的周长＝AD +AE +BE +BC +CD ＝AB +AB +CD ＝27，故选C ．2．如图，AD ⊥BC ，AB +BD ＝DC ，∠B ＝54°，则∠C ＝27°．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE，∵AD ⊥BC ，DE ＝BD ，∴AD 是BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB ＝54°，∵AB +BD ＝DC ，DE +EC ＝DC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC ，∴∠C ＝∠EAC ，∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°，故答案为：27°．3．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．求证：AD+CD＝AB．证明：如图，在AB上截取AE＝AC，延长AD到F使AF＝AB，连接DE、BF．又∵∠1＝∠2，AD是公共边BE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝100°，则得∠DEB＝80°∵CA＝CB，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2＝20°，∠3＝40°∵AF＝AB，∠2＝20°，∴∠F＝∠ABF＝1/2（180°﹣∠2）＝80°则∠F＝∠DEB∴∠4＝80°﹣∠3＝40°，∴∠3＝∠4，∠F＝∠DEC，在△BDF和△BDE中，，∴△DBE≌△DBF（AAS）∴DF＝DE＝CD∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+DC．4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．证明：延长OE至点M，使OM＝OC，连接CM，∵∠BCD＝∠CBE＝30°，∴OB＝OC，∠MOC＝30°+30°＝60°，∵OM＝OC，∴△OMC为等边三角形，∴CM＝OC＝OB，∠M＝60°，∴∠DBO＝∠MCE，在△BOD和△CME中，，∴△BOD≌△MCE，∴DO＝EM，∴OE+OD＝OM＝OB，在Rt△OBG中，∠OBG＝30°，OG⊥BC，∴2OG＝OB，∴OE+OD＝2OG．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）BQ＝CQ；（2）BQ+AQ＝AB+BP．证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，∴∠QBC＝∠ABC．∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，且∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝80°，∴∠QBC＝＝40°，∴∠QBC＝∠C，∴BQ＝CQ；（2）延长AB至M，使得BM＝BP，连接MP．∴∠M＝∠BPM，∵△ABC中∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°＝∠C，∴BQ＝CQ，∵∠ABC＝∠M+∠BPM，∴∠M＝∠BPM＝40°＝∠C，∵AP平分∠BAC，∴∠MAP＝∠CAP，在△AMP和△ACP中，∵∴△AMP≌△ACP，∴AM＝AC，∵AM＝AB+BM＝AB+BP，AC＝AQ+QC＝AQ+BQ，∴AB+BP＝AQ+BQ．6．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°，求证：CD+BE＝BC．证明：在BC上找到F使得BF＝BE，，∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，在△BOE和△BOF中，，∴△BOE≌△BOF，（SAS）∴∠BOF＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°，在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△OCD（ASA），∴CF＝CD，∵BC＝BF+CF，∴BC＝BE+CD．7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．求证：（1）点E是AD的中点；（2）BC＝AB+CD．证明：延长CE交BA的延长线于点F．∵CE和BE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB＝∠DCB，∠EBC＝∠CBA，又∵AB∥CD，∴∠DCB+∠CBA＝180°，∴∠ECB+∠EBC＝90°，∴∠CEB＝90°，即BE⊥EC，∵AB∥CD∴∠DCE＝∠F，又∵∠DCE＝∠ECB，∴∠F＝∠ECB∴BF＝BC，EC＝EF．在△DCE和△AFE中，，∴△DCE≌△AFE，∴DE＝AE，即E是AD的中点，DC＝AF，∴BC＝BF＝AB+CD．8．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．解：（1）答：∠A＝90°．理由如下：在BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BC＝AB+AD，∴CE＝AD，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBD，∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴AD＝DE＝CE，∠A＝∠DEB∴∠C＝∠EDC，∴∠A＝∠DEB＝∠C+∠EDC＝2∠C，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴4∠C＝180°，∴∠C＝45°，∠A＝2∠C＝90°，即∠A＝90°；（2）解：在BC上截取CF＝CD，连接DF．∵BC＝BA+CD，∴BF＝BA，∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∴△ABD≌△FBD，∴∠A＝∠DFB，∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD，∴∠C+2∠DFC＝180°，∵∠A+∠DFC＝180°，∴2∠A﹣∠C＝180°，∵∠A+2∠C＝180°，解得：∠A＝108°，答：∠A的度数是108°．（3）证明：在BC上截取BQ＝BD，连接DQ，延长BA到W使BW＝BQ，连接DW．∵∠A＝100°，AC＝AB，∴∠C＝∠ABC＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBQ＝20°，∵BD＝BQ，∴∠DQB＝∠BDQ＝（180°﹣∠DBQ）＝80°，∴∠CDQ＝∠DQB﹣∠C＝40°＝∠C，∴DQ＝CQ，∵在△WBD和△QBD中，∴△WBD≌△QBD，∴∠W＝∠DQB＝80°，DW＝DQ＝CQ，∵∠BAC＝100°，∴∠WAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°，即∠WAD＝∠W，∴AD＝DW＝DQ＝CQ，∴BC＝BD+DA．9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图1：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC；（2）延长AE、BC交于F，∵AB＝BF，BE平分∠ABF，∴AE＝EF，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴AD＝DB，∠BDF＝∠DAE＝60°，在△ADE和△DBF中，，∴△ADE≌△DBF（SAS）；（2）如图②，延长GB到点H，使BH＝DG，连接CH、BD，由（1）知△ADE≌△DBF，△CBD是等边三角形，∴∠ADE＝∠DBF，∠CBD＝∠BCD＝60°，∴∠DBF+∠CBH＝180°﹣∠CBD＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BC＝CD，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠ADE+∠CDG＝120°，∴∠CBH＝∠CDG，在△CBH和△CDG中，，∴△CBH≌△CDG（SAS），∴CH＝CG，∠BCH＝∠DCG，∵∠BCD＝∠DCG+∠BCG＝60°，∴∠BCH+∠BCG＝60°，即∠GCH＝60°，∴△CGH是等边三角形，∴GH＝CG，∵GH＝BG+BH＝BG+DG，∴BG+DG＝CG．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．解：（1）EF＝BE+DF，理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE 交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．13．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第三象限和第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，点C的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．（1）求点C坐标；（2）求证：AC＝BD，AC⊥BD；（3）求∠BEO度数；（4）如图2，点P在OA上，点Q在OB上且OP＝OQ，直线ON⊥BP，交AB于点N，MN⊥AQ交BP延长线于点M，请猜想ON，MN，BM的数量关系并证明．解：（1）∵（m﹣2n）2+|n+2|＝0又∵（m﹣2n）2≥0，|n+2|≥0，∴n＝﹣2，m＝﹣4，∴点C坐标为（﹣4，﹣2）；（2）如图1中，作OH⊥BD于H，OF⊥AC于F．∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC，∴HO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），∴OE平分∠BEC，∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，设BD交y轴于点R，则∠ARE＝∠BRO，∴∠AEB＝∠BOA＝90°，即AC⊥BD；（3）由（2）知，AC⊥BD，则∠FEH＝90°，∴∠OHE＝∠OFE＝∠FEH＝90°，故四边形OHEF为矩形，而HO＝OF，故四边形OHEF为正方形，而OE为该正方形的对角线，∴∠BEO＝45°；（4）结论：BM＝MN+ON．理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°，∴△AOQ≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAQ，∵∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠ABP＝∠BAQ，∵NM⊥AQ，BM⊥ON，∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，∴△BNH≌△BNO（ASA），∴HN＝NO，∠H＝∠BON，∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，∴∠HBM＝∠BON＝∠H，∴MH＝MB，∴BM＝MN+NH＝MN+ON．14．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B 在y轴上（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．解：（1）过点A作AD垂直OC于D．∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠DAC，在△ADC和△COB中，，∴△ADC≌△COB（AAS），∴AD＝OC，CD＝OB，∴点B坐标为（0，4）；（2）延长BC，AE交于点F，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠COD＝22.5°，∠DAE＝90°﹣∠ABD﹣∠BAD＝22.5°，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝2AE；（3）作AE⊥OC，则AF＝OE，∵∠CBO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，在△BCO和△ACE中，，∴△BCO≌△ACE（AAS），∴CE＝OB，∴OB+AF＝OC．∴＝1．。

截长补短法构造全等三角形

截长补短法构造全等三角形

截长补短法构造全等三角形
截长补短法（SSS）是指通过修改三角形的边长，在保持三个边长之和不变的情况下，改变三角形的形状，使其与另一个三角形完全相同。

下面是一个使用截长补短法构造全等三角形的示例：
给定三角形ABC和DEF，其中AB=6cm，BC=5cm，AC=7cm，DE=5cm，EF=6cm，DF=7cm。

我们需要使用截长补短法构造一个与ABC全等的三角形。

步骤如下：
1. 在BC的中点G处，画一条平行于AC的直线，并延长到交DE延长线于点H。

2. 在AC的中点I处，画一条平行于BC的直线，并延长到交EF延长线于点J。

3. 连接BH和CJ，将四边形BCHJ分成两个三角形。

4. 证明三角形ABH和DEF全等，由于BH=DE=5cm，AB和DF都平行于HJ，AH和DE都平行于BC，因此根据副角定理和平行线性质可知，两个三角形全等。

5. 证明三角形ACJ和DEF全等，AC=DF=7cm，AC和DF都平行于CJ，AJ 和DE都平行于BC，因此根据副角定理和平行线性质可知，两个三角形全等。

因此，三角形ABC和DEF是全等的，且可以通过截长补短法构造。

中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的截长补短模型(解析版)

中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的截长补短模型(解析版)

专题06 全等三角形中的截长补短模型【模型展示】如图，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值【证明】延长AD至E，使DE=AD，连接BE,如图所示，△AD是BC边上的中线，△BD=CD在△BDE和△CDA中，BD=CD△BDE=△ADCDE=AE△△BDE△△CDA(SAS)△BE=AC=8在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE△12-8＜AE＜12+8△2＜AD＜10【模型证明】如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE△DF于点D，DE交AB于点E,DF 交AC于点F,连接EF，求证：BE+CF＞EF.【证明】延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示，同上例得△BMD△△CFD(SAS)△BM=CF△DE△DF,DM=DF△EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E,F两点连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.【证明】延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示∠∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∠∠NBC=∠D在∠NBC和∠FDC中BN=DF∠NBC=∠DBC=DC∠∠NBC∠∠FDC（SAS）∠CN=CF,∠NCB=∠FCD∠∠BCD=140°，∠ECF=70°一、解答题1．阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B C ∠=∠．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出__________≌△__________，得出B AED ∠=∠及BD =_________，再证出∠__________=∠___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC ∠，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证∠__________C =∠，再证出_________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED ∆≅∆可得B AED ∠=∠，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD ∆≅∆，可得AC=AF ，即可证明．【详解】方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∠AD 平分BAC ∠，∠BAD DAC ∠=∠，在ABD ∆和AED ∆中AE AB BAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABD AED ∆≅∆，∠B AED ∠=∠，BD=DE ，∠2B C ∠=∠，∠2AED C ∠=∠而2AED C EDC C ∠=∠+∠=∠，∠EDC C ∠=∠，∠DE=CE ，∠AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∠F BDF ∠=∠∠2ABD F BDF F ∠=∠+∠=∠∠2ABD C ∠=∠∠F C ∠=∠在AFD ∆和ACD ∆中FAD CAD F CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠AFD ACD ∆≅∆，∠AC=AF ，∠AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．2．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，120BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，根据180BAC BDC ∠+∠=︒，可证ABD ACE ∠=∠，易证得ABD ∠ACE ，得出ADE 是等边三角形，所以AD DE =，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是______，并写出证明过程；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为2cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ 的平方为多少？【答案】（1）DA =DC +BD ，见解析；（2）()222AD DC BD =+；见解析；（3）2【分析】（1）由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°知∠ABD +∠ACD =180°，由∠ACE +∠ACD =180°知∠ABD =∠ACE ，证∠ABD ∠∠ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证∠ADE 是等边三角形得DA =DE =DC +CE =DC +DB ．（2）延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，先证∠ABD ∠∠ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，据此可得∠DAE =∠BAC =90°，由勾股定理知DA 2+AE 2=DE 2，继而可得2AD 2=（DC +BD ）2；（3）由直角三角形的性质知QN =12MN =1，MQ 2）中的结论知()222PQ QN MQ =+，据此可得答案．【详解】解：（1）DA =DC +BD ，理由如下：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =AC ，∠BAC =60°，∠∠BDC =120°，∠∠ABD +∠ACD =360°-∠BAC -∠BDC =180°，又∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ），∠AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∠∠ABC =60°，即∠BAD +∠DAC =60°，∠∠DAC +∠CAE =60°，即∠DAE =60°，∠∠ADE 是等边三角形，∠DA =DE =DC +CE =DC +DB ，即DA =DC +DB ，故答案为：DA =DC +BD ；（2）()222AD DC BD =+，如图2，延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，∠∠BAC =90°，∠BDC =90°，∠∠ABD +∠ACD =360°-∠BAC -∠BDC =180°，∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，∠AB =AC ，CE =BD ，在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ），∠AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∠∠DAE =∠BAC =90°，∠DA 2+AE 2=DE 2，∠()222AD DC BD =+；（3）如图3，连接PQ ，∠MN =2，∠QMN =30°，∠MQN =90°，∠QN =12MN =1，∠MQ =由（2）知()222PQ QN MQ =+．∠()(2221=222QN MQ PQ ++==【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图，在等边∠ABC 中，点P 是BC 边上一点，∠BAP ＝α（30°＜α＜60°），作点B 关于直线AP 的对称点D ，连接DC 并延长交直线AP 于点E ，连接BE ．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明．分析：∠涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……∠通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据上述分析过程，完成解答过程．【答案】（1）图见解析，∠AEB ＝60°；（2）AE ＝BE ＋CE ，证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD ，先求出60CAP α∠=︒-，然后根据轴对称的性质得到==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，求出=260CAD α-︒∠，即可求出()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠，再由==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠进行求解即可；（2）如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．先证明∠BGE 是等边三角形，得到BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°． 再证明∠ABG ＝∠CBE ，即可证明∠ABG ∠∠CBE 得到AG ＝CE ，则AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD ，∠∠ABC 是等边三角形，∠∠BAC =60°，AB =AC ，∠BAP α∠=，∠60CAP α∠=︒-，∠B 、D 关于AP 对称，∠==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，∠()==60=260CAD PAD CAP ααα--︒--︒∠∠∠， ∠()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠， ∠==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠，∠60AEC ∠=︒∠∠AEB ＝60°．（2）AE ＝BE ＋CE ．证明：如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．∠∠AEB ＝60°，∠∠BGE 是等边三角形，∠BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．∠∠ABC 是等边三角形，∠AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∠∠ABG ＋∠GBC ＝∠GBC ＋∠CBE ＝60°，∠∠ABG ＝∠CBE ．在∠ABG 和∠CBE 中，AB CB ABG CBE BG BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∠∠ABG ∠∠CBE （SAS ），∠AG ＝CE ，∠AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键4．阅读材料：“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边DEF，连接CF．(1)如图，若点D在边BC上，试说明CE CF CD=，+=；（提示：在线段CD上截取CG CE连接EG．）(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)FC＝CD+CE【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证∠CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明∠DEG∠∠FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出∠GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明∠EGD∠∠FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：∠∠ABC 是等边三角形，∠∠ECG ＝60°，∠∠CEG 是等边三角形，∠EG ＝EC ＝CG ，∠CEG ＝60°，∠∠DEF 是等边三角形，∠DE ＝FE ，∠DEF ＝60°，∠∠DEG +∠GEF ＝∠FEC +∠GEF ＝60°，∠∠DEG ＝∠FEC ，在∠DEG 和∠FEC 中，DE FE DEG FEC EG EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠DEG ∠∠FEC （SAS ），∠DG ＝CF ，∠CD ＝CG +DG ＝CE +CF ，∠CE +CF ＝CD ；（2）解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD +CE ；理由如下：∠∠ABC 是等边三角形，∠∠A ＝∠B ＝60°，过D 作DG AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：∠GD AB ，∠∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°，∠∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∠∠GCD 为等边三角形，∠DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°，∠∠EDF 为等边三角形，∠ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°，∠∠EDG ＝∠FDC ，在∠EGD 和∠FCD 中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠EGD ∠∠FCD （SAS ），∠EG ＝FC ，∠FC ＝EG ＝CG +CE ＝CD +CE ．【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键．5．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在∠ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC【答案】见解析【分析】截长法：在AB 上截取AN =AC ，连结PN ，可证得∠APN ∠∠APC ，可得到PC =PN ，∠BPN 中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC 至M ，使AM =AB ，连结PM ，证明∠ABP ∠∠AMP ，可得PB =PM ，在∠PCM 中，利用三角形的三边关系，即可求证．【详解】解：截长法：在AB 上截取AN =AC ，连结PN ，在∠APN和∠APC中∠AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，∠∠APN∠∠APC，∠PC=PN，∠∠BPN中有PB－PN＜BN，即PB－PC＜AB－AC；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，在∠ABP和∠AMP中，∠AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，∠∠ABP∠∠AMP，∠PB=PM，又∠在∠PCM中有CM＞PM－PC，即AB－AC＞PB－PC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键．6．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将∠ABD绕点A逆时针旋转60°得到∠ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知∠ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt ∠ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2) 证明见解析.【分析】(1)由旋转60°可得AE =AD ， CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∠DAE =60°，根据∠BAC +∠BDC =180°，可知∠ABD +∠ACD =180°，则 ∠ACE +∠ACD =180°，易知∠ADE 是等边三角形，所以AD =DE ，从而解决问题．(2) 延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,由已知可得180ABD ACD ︒∠+∠=,根据180ACE ACD ︒∠+∠=,可得ABD ∠=ACE ∠,可证ABD ACE ≅,进而可得AD=AE,BAD CAE ∠=∠,可得90DAE BAC ︒∠=∠=,由勾股定理可得：222DA AE DE +=,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∠∠ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到∠ACE ，∠AE=AD ， CE=BD ，∠ABD=∠ACE ，∠DAE=60°，∠∠BAC+∠BDC=180°，∠∠ABD+∠ACD=180°，∠∠ACE+∠ACD=180°，∠D,C,E 三点共线，∠AE=AD ，∠DAE=60°，∠∠ADE 是等边三角形，∠AD=DE ，∠AD=DC+CE=DB+DC;(2)证明如下：如图所示，延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,∠90BAC ︒∠=,90BDC ︒∠=,∠180ABD ACD ︒∠+∠=,∠180ACE ACD ︒∠+∠=,∠ABD ∠=ACE ∠,∠AB=AC,CE=BD,∠ABD ACE ≅(SAS),∠AD=AE, BAD CAE ∠=∠,∠90DAE BAC ︒∠=∠=,∠222DA AE DE +=,∠()222DA DB DC =+,【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.7．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积． 解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明∠BAE∠∠DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S ∠ABC +S ∠ADC =S ∠ABC +S ∠ABE =S ∠AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形， 故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=⨯⋅=五边形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．8．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．（1）如图∠，∠ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，连结DA DB DC 、、，且120BDC ∠=︒，探索线段DA DB DC 、、之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，根据180BAC BDC ∠+=︒，则180ABD ACD ∠+∠=︒，因为180ACD ACE ∠+∠=︒可证ABD ACE ∠=∠，易证得∠ABD ∠∠ACE ，得出∠ADE 是等边三角形，所以AD DE =，从而探寻线段DA DB DC 、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA DB DC 、、之间的数量关系是 ；【拓展延伸】（2）如图∠，在Rt∠ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA DB DC 、、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图∠，两块斜边长都为2cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30所对直角边等于斜边一半，则PQ 的长为_____________cm ．（结果无需化简）【答案】（1）DA DB DC =+；（2DC DB =+ 证明见解析；（3． 【分析】（1）由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°知∠ABD +∠ACD =180°，由∠ACE +∠ACD =180°知∠ABD =∠ACE ，证∠ABD ∠∠ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证∠ADE 是等边三角形得DA =DE =DC +CE =DC +DB ．（2）延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，先证∠ABD ∠∠ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，据此可得∠DAE =∠BAC =90°，由勾股定理知DA 2+AE 2=DE 2，继而可得2DA 2=（DB +DC ）2；（3）由直角三角形的性质知QN =12MN =1，MQ 2）中的结论知=QN +QM 【详解】解：（1）DA =DC +DB ，理由：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =AC ，∠BAC =60°，∠∠BDC =120°，∠∠ABD +∠ACD =180°，又∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ），∠AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∠∠ABC =60°，即∠BAD +∠DAC =60°，∠∠DAC +∠CAE =60°，即∠DAE =60°，∠∠ADE 是等边三角形，∠DA =DE =DC +CE =DC +DB ，即DA =DC +DB ，故答案为：DA =DC +DB ；（2DA =DB +DC 如图2，延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，∠∠BAC =90°，∠BDC =90°∠∠ABD +∠ACD =180°，∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，∠AB =AC ，CE =BD ，在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ），∠AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∠∠DAE =∠BAC =90°，∠DA 2+AE 2=DE 2，∠2DA 2=（DB +DC ）2，=DB +DC ；（3）如图3，连接PQ ，∠MN=2，∠QMN=30°，MN=1，∠QN=12∠MQ由（2=QN+QM∠PQ，．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．(1)如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE易证得∠ABD∠∠ACE，得出∠ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；【拓展延伸】(2)如图2，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为______cm．【答案】(1)DA=DB+DCDA=DB+DC；理由见解析=(3)PQ cm【分析】（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°，知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ABD=∠ACE，证得∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证明∠ADE是等边三角形，等量代换可得结论；（2）同理可证∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得222+=，DA AE DE等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股定理可得MQ的长，由（2）知=+，由此可求得PQ长．QN QM（1）（1）延长DC到点E，使CE＝B D，连接AE，∠∠ABC是等边三角形，∠AB=AC，∠BAC=60°，∠∠BDC=120°，∠∠BAC+∠BDC=180°，∠∠ABD+∠ACD=180°，又∠∠ACE+∠ACD=180°，∠∠ABD=∠ACE，∠∠ABD∠∠ACE(SAS)，∠AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠∠BAC=60°，∠∠BAD+∠DAC=60°，∠∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，∠∠ADE是等边三角形，∠DA=DE=DC+CE=DC+DB，（2）=DB+DC，理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∠∠BAC =90°，∠BDC =90°，∠∠ABD +∠AC D=180°又∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，∠AB=AC ，CE=BD ，∠∠ABD ∠∠ACE (SAS )，∠AD=AE ，∠BAD=∠CAE ，∠∠DAE=∠BA C =90°，∠222DA AE DE +=，∠()222DA DB DC =+，DB DC =+，（3）如图所示：连接PQ ，∠4MN cm =，∠QMN =30°， ∠122QN MN cm ==，根据勾股定理得QM ，由（2QN QM =+，∠PQ cm ==，【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．现阅读下面的材料，然后解答问题：截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，AD 是角平分线，交BC 边于点D ．求证：AC AB BD =+．请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD 是ABC ∆的角平分线．求证：AC AB BD =+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据截长法，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，通过题目条件可证()ADB ADE SAS ∆≅∆，进而证得DEC ∆是等腰直角三角形，等量代换即可得；（2）根据补短法，延长AB 到F ，使AF AC =，连接DF ，根据已知条件可证()FAD CAD SAS ∆≅∆，进而可证BD BF =，等量代换即可得证．【详解】（1）证明：如图1，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，∠AD 是角平分线，∠BAD EAD ∠=∠在ADB ∆和ADE ∆中AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ADB ADE SAS ∆≅∆∠90AED B ∠=∠=，DE DB =又∠ABC ∆是等腰直角三角形，∠45C ∠=，∠DEC ∆是等腰直角三角形，∠DE EC =，∠AC AE EC AB BD =+=+．（2）如图2，延长AB 到F ，使AF AC =，连接DF ，∠AD 是ABC ∆的角平分线，∠FAD CAD ∠=∠在FAD ∆和CAD ∆中AF AC FAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()FAD CAD SAS ∆≅∆，∠C F ∠=∠∠2ABC C ∠=∠，ABC F BDF ∠=∠+∠，∠F BDF ∠=∠，∠BD BF =，∠AC AF AB BD ==+．【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠； 在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明∠ABE∠∠CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明∠NFC∠∠MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∠在∠ABE 和∠ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=， AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在∠ABE 和∠CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∠BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.12．【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；【灵活运用】（2）如图2，∠ABC为等边三角形，直线a∠AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=11802DAB︒-∠，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证∠ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由∠ABC为等边三角形，易得∠CDM是等边三角形，继而可证得∠ADM∠∠EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定∠ADG∠∠ABE，再判定∠AEF∠∠AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∠∠ABC是等边三角形，∠AB=AC，∠BAC=60°，∠∠BDC=120°，∠∠ABD+∠ACD=180°，又∠∠ACE+∠ACD=180°，∠∠ABD=∠ACE，∠∠ABD∠∠ACE（SAS），∠AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∠∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∠∠ADE是等边三角形，∠DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）证明：在AC上截取CM=CD，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ACB=60°，∠∠CDM是等边三角形，∠MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∠∠AMD=120°，∠∠ADE=60°，∠∠ADE=∠MDC ，∠∠ADM=∠EDC ，∠直线a∠AB ，∠∠ACE=∠BAC=60°，∠∠DCE=120°=∠AMD ，在∠ADM 和∠EDC 中，ADM EDC MD CDAMD ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠ADM∠∠EDC(ASA)，∠AM=EC ，∠CA=CM+AM=CD+CE ；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=11802DAB ︒-∠； 证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG=BE ，连接AG ，∠∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∠∠ADC=∠ABE ，又∠AB=AD ，∠∠ADG∠∠ABE （SAS ），∠AG=AE ，∠DAG=∠BAE ，∠EF=BE+FD=DG+FD=GF ，AF=AF ，∠∠AEF∠∠AGF （SSS ），∠∠FAE=∠FAG ，∠∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∠2∠FAE+（∠GAB+∠BAE ）=360°，∠2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∠∠EAF=11802DAB︒-∠.【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．13．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证∠ABD∠∠ACE，得出∠ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）DA＝DB＋DC；（2＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2），证明详见解析.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证∠ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2.【详解】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∠∠ABC是等边三角形，∠AB=AC，∠BAC=60°，∠∠BDC=120°，∠∠ABD+∠ACD=180°，又∠∠ACE+∠ACD=180°，∠∠ABD=∠ACE，∠∠ABD∠∠ACE（SAS），∠AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∠∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∠∠ADE是等边三角形，∠DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为DA=DC+DB；（2DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2）．延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．∠∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠∠ABD＋∠ACD＝180°．∠∠ACE＋∠ACD＝180°，∠∠ABD＝∠ACE．又∠AB＝AC，CE＝BD，∠∠ABD∠∠ACE．∠AD ＝AE ，∠BAD＝∠CAE ．∠∠DAE＝∠BAC＝90°．∠DA 2＋AE2＝DE 2．∠2DA 2＝(DB ＋DC )2．＝DB ＋DC ．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，90CAD CBD ∠=∠=︒，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC BC 、于M 、N ．(1)若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，证明：AM BN MN +=；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB 到点E ，使BE AM =，连接DE ，先证明DAM DBE ≌，再证明MDN EDN △≌△，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM MN BN 、、三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图∠，在（2）的条件下，若将M 、N 改在CA BC 、的延长线上，完成图∠，其余条件不变，则AM MN BN 、、之间有何数量关系？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)AM BN MN +=(3)BN AM MN -=，证明见解析【分析】（1）根据题意得AD =BD ，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ，利用全等三角形的判定得出()SAS DAM DBE △≌△，()SAS MDN EDN △≌△，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；（2）证明方法与（1）一致，证明即可；（3）在CB 截取BE AM =，连接DE ，利用全等三角形的判定得出()SAS DAM DBE △≌△，()SAS MDN EDN △≌△再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．（1）证明：根据题意得：AD =BD ，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE∠90A CBD ∠=∠=︒，∠90A EBD ∠=∠=︒，在DAM △和DBE 中AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()SAS DAM DBE △≌△，∠∠=∠BDE MDA ，DM DE =，∠60MDN ADC ∠=∠=︒，∠ADM NDC ∠=∠，∠BDE NDC ∠=∠，∠60NDC NDB ∠+∠=︒∠60BDE NDB NDE ∠+∠=∠=︒∠MDN NDE ∠=∠，在MDN △和EDN △中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()SAS MDN EDN △≌△，∠MN NE =，。

专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)

专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)

全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =　EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。

截长补短法全等三角形

截长补短法全等三角形

截长补短法全等三角形全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是完全相等的。

而截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。

在几何学中，截长补短法是一种常用的构造方法，可以用来证明两个三角形全等。

它的基本思想是通过截取和补充边长，使得两个三角形的对应边长和对应角度完全相等，从而达到全等的目的。

为了更好地理解截长补短法，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，其中已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF。

根据截长补短法，我们可以进行如下的构造：1. 在BC的延长线上截取一段长度等于EF的线段，记为BC'。

2. 在AC'上截取一段长度等于DE的线段，记为AC。

通过以上的构造，我们可以得到以下的结论：1. 由于BC'=EF，且BC=EF，所以BC=BC'，即三角形ABC和DEF的两条边相等。

2. 由于AC=DE，且∠A=∠D，所以三角形ABC和DEF的两个角相等。

3. 由于AB=DE，所以三角形ABC和DEF的第三条边相等。

根据截长补短法，我们可以得到三角形ABC和DEF全等的结论。

除了上述的例子，截长补短法还可以应用于更复杂的情况。

例如，当我们需要证明两个三角形全等时，已知两个角度相等并且其中一条边长相等，我们可以通过截长补短法来构造第二条边，从而得到全等的结果。

截长补短法在几何学中有着广泛的应用。

它不仅可以用来证明三角形的全等，还可以用来解决各种与全等三角形相关的问题。

通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。

截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。

通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。

在解决几何问题时，我们可以尝试使用截长补短法，从而更好地理解和应用全等三角形的性质。

全等三角形-截长补短法

全等三角形-截长补短法

全等三角形-截长补短法全等三角形的截长补短法，这可是初中数学里的一个重要“法宝”。

咱先来说说啥是截长补短法。

简单来讲，就是遇到证明线段之间关系的问题时，如果直接证明有困难，那就通过截取或者延长某条线段，让它们凑成新的相等线段，从而达到证明全等三角形的目的。

给大家举个例子啊。

就说有这么一道题，在三角形 ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线。

让咱们证明 AB AC ＞ BD DC 。

这时候，咱们就可以用截长补短法。

咱们先截长。

在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 DE 。

因为 AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。

又因为 AD 是公共边，AE ＝ AC ，根据边角边定理，三角形 AED 就全等于三角形 ACD 啦。

这样一来，DC ＝ DE 。

那在三角形 BDE 中，因为 BE ＝ AB AE ，AE ＝ AC ，所以 BE ＝AB AC 。

又因为 BD DE ＜ BE ，而 DE ＝ DC ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。

再说说补短。

延长 AC 到 F ，使 AF ＝ AB ，连接 DF 。

同样因为AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。

还有公共边 AD ，根据边角边定理，三角形 ABD 就全等于三角形 AFD 。

这样 BD ＝ DF 。

在三角形 CDF 中，CF ＝ AF AC ，AF ＝ AB ，所以 CF ＝ AB AC 。

又因为 DF DC ＜ CF ，DF ＝ BD ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。

还记得我上学那会，刚开始学这截长补短法，那真是一头雾水。

老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。

后来，老师布置了一道作业题，我愣是想了半天也没做出来。

晚上回到家，我坐在台灯下，把教材翻了又翻，笔记看了又看，还是没啥头绪。

我心里那个急啊，感觉自己像个迷路的小羊羔，怎么也找不到走出这片知识迷雾的路。

中考数学专题《全等三角形中的六种模型梳理》解析

中考数学专题《全等三角形中的六种模型梳理》解析

专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。

目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中去。

例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【变式训练1】如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>； （2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+； （3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ⊥直线a 于点M ．CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ⊥直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且△MPN ＝60°，△BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ＝PN 时，试说明MN ＝BM +CN ． (2)如图②，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ≠PN 时，MN ＝BM +CN 还成立吗？ 答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，请直接写出BM ，NC ，MN 之间的数量关系．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD ∠=∠．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【变式训练3】在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ． （1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长； ②如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．类型三、做平行线证明全等 例1．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ． 求让：MD ME =【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ． （1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【变式训练2】已知在等腰△ABC 中，AB =AC ，在射线CA 上截取线段CE ，在射线AB 上截取线段BD ，连接DE ，DE 所在直线交直线BC 与点M ．请探究：(1)如图（1），当点E 在线段AC 上，点D 在AB 延长线上时，若BD =CE ，请判断线段MD 和线段ME 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E 在CA 的延长线上，点D 在AB 的延长线上时，若BD =CE ，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；类型四、旋转模型 例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含α的式子表示AMB ∠的度数；（2）当90α=︒时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ 的形状，并加以证明．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120︒的等腰ABD ∆排成，将一个60︒角顶点放在D 处，将60︒角绕D 点旋转，该60︒交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为 ．【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．则：①△AEB 的度数为 °；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且△ACB ＝△DCE ＝90°，点 A 、D 、E 在同一直线上，若AD ＝a ，AE ＝b ，AB ＝c ，求a 、b 、c 之间的数量关系． （3）探究发现：图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转过程中，当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索△AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．【变式训练3】如图1，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．类型五、手拉手模型例．在等边ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，连接CF ．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长； (2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB ∠=︒+∠，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ 的面积．【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A ，D ，E 在同一直线上，连接AE ，BE ． ①求证：△ACD △△BCE ；②求△AEB 的度数．(2)类比探究：如图2，点B 、D 、E 在同一直线上，连接AE ，AD ，BE ，CM 为△DCE 中DE 边上的高，请求△ADB 的度数及线段DB ，AD ，DM 之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD （或其延长线）与BE 的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝2，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD 全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AD ＝6，BD ＝10，则CD ＝ ．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题：如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）类型六、一线三角模型例.在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC △CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有△BDA =△AEC =△BAC ．如图①，当△BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<△BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC=BC，△ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD△△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD△△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若△BDA＝△AEC＝△BAC，求证：△DEF是等边三角形．【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA=△AEC=△BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若△BDA=△AEC=△BAC，请直接写出△DEF的形状是．。

全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法(西城专用)

全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法(西城专用)

全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法(西城专用)手拉手模型是由两个等腰三角形组成的，它们共享一个顶点，并且顶角是等于的。

根据这个模型，可以得出结论：(1)△ABD≌△AEC，(2) ∠α+∠BOC=180°，(3) OA平分∠BOC。

举例来说，对于图中的直线ABC的同一侧，作两个等边三角形△ABD与△BCE，并连接AE与CD，可以证明(1)△ABE≅△DBC，(2) AE=DC，(3) AE与DC之间的夹角为60度，(4) △AGB≅△DFB，(5) △EGB≅△CFB，(6) BH平分∠AHC，(7) XXX。

除了手拉手模型，倍长中线也是一个常见的几何模型，它可以用来旋转等长度的线段，从而转化条件。

例如，在△ABC中，如果已知AM是中线，可以证明AMXXX。

例2】如图所示，已知在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，且AF=EF，证明AC=BE。

已知AD是BC边上的中线，所以AD=DC。

又因为AE=ED，所以AD=DC=CE。

又因为BE=AC，所以XXX。

而因为AF=EF，所以AE=EF，所以CE=CF。

因此，AC+CD=CE+BE=2CE=2AC，所以AC=BE，证毕。

练2】如图所示，在三角形ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，证明AD为三角形ABC的角平分线。

因为E是BC的中点，所以AD是BC边上的中线，所以AD=DC。

又因为EF∥AD，所以AF=FD。

因为BG=CF，所以AG=AB-BG=AB-CF=AF。

所以AG=AF，所以AD是角A 的平分线，证毕。

练3】如图所示，已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，DE=CD，EF=AC，证明EF∥AB。

因为AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠FAD，所以∠XXX∠XXX。

因为DE=CD，所以∠XXX∠XXX，所以∠AED=∠XXX。

全等三角形-截长补短法

全等三角形-截长补短法

全等三角形-截长补短法全等三角形截长补短法在初中数学的几何世界里，全等三角形是一个极其重要的知识点，而解决全等三角形问题的方法众多，其中截长补短法是一种颇为巧妙且实用的技巧。

那什么是截长补短法呢？简单来说，就是当我们在证明两条线段的和等于另一条线段时，可以考虑将较长的线段截成两段，使其中一段等于较短的线段，然后证明剩下的那段等于另一条线段；或者将较短的线段延长，使延长后的线段等于较长的线段，然后证明延长后的整体线段与原较长线段所在的三角形全等。

为了更好地理解这一方法，咱们来看几个具体的例子。

例 1：已知在△ABC 中，∠B ＝ 2∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于点D。

求证：AB ＋ BD ＝ AC咱们来分析一下这道题。

如果直接证明 AB ＋ BD ＝ AC 会比较困难，那我们就尝试用截长补短法。

我们先采用截长的思路。

在 AC 上截取 AE ＝ AB，连接 DE。

因为AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠EAD。

又因为 AD 是公共边，所以根据边角边（SAS）全等判定定理，可以得到△ABD ≌△AED。

这样一来，BD ＝ ED，∠B ＝∠AED。

由于∠AED 是△DEC 的外角，所以∠AED ＝∠C ＋∠EDC。

又因为∠B ＝ 2∠C，所以 2∠C ＝∠C ＋∠EDC，从而得出∠C ＝∠EDC，所以 ED ＝ EC。

因此，AC ＝ AE ＋ EC ＝ AB ＋ BD，证明完成。

再来看一个例子。

例 2：在△ABC 中，AB ＞ AC，∠1 ＝∠2，P 为 AD 上任意一点。

求证：AB AC ＞ PB PC这次咱们用补短的方法。

延长 AC 至 E，使 AE ＝ AB，连接 PE。

因为 AB ＝ AE，∠1 ＝∠2，AD 是公共边，所以△ABD ≌△AED。

于是，BD ＝ ED，PB ＝ PE。

在△PEC 中，因为两边之差小于第三边，所以 EC ＞ PC PE。

又因为 EC ＝ AE AC ＝ AB AC，PB ＝ PE，所以 AB AC ＞ PB PC。

全等模型-倍长中线与截长补短模型(解析版)

全等模型-倍长中线与截长补短模型(解析版)

全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)32<AD<132；(2)见详解；(3)EF=BE+DF，理由见详解【分析】(1)根据旋转的性质可证明△ADC≅△EDB，AC=BE=6,AD=ED，在△ABE中根据三角形三边关系即可得出答案；(2)延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出CF=BM，根据垂直平分线的性质可得出EF=EM，利用三角形三边关系即可得出结论；(3)延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得∠NBC=∠D，证明△NBC≅△FDC，得出CN=CF,∠NCB=∠FCD，利用角的和差关系可推出∠ECN=50°=ECF，再证明△NCE≅△FCE，得出EN= EF，即可得出结论．【详解】解：(1)∵AD=ED,CD=BD,∠ADC=∠BDE∴△ADC≅△EDB∴AC=BE=5,AD=ED在△ABE中根据三角形三边关系可得出：AB-BE<AE<AB+BE，即3<2AD<13∴3 2<AD<132故答案为：32<AD<132；(2)延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，同(1)可得出CF=BM，∵FD=MD,FD⊥DE∴EF=EM在△BEM中，BE+BM>EM∴BE+CF>EF；(3)EF=BE+DF，理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠NBC=180°∴∠NBC=∠D∴△NBC≅△FDC∴CF=CN,∠NCB=∠FCD∵∠BCD=100°,∠FCE=50°∴∠ECN=50°=ECF∴△NCE≅△FCE(SAS)∴EN=EF∴EF=EN=BE+BN=BE+DF∴EF=BE+DF．【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析【解析】(1)解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，在△ADC和△EDB中∵AD=DE∠ADC=∠EDBCD=DB，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴BE=AC=3．∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4．(2)AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，在△ADC和△GDB中，AD=DG∠ADC=∠GDBBD=CD，∴△ADC≌△GDB(SAS)．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD 的数量关系，并给出证明．【答案】(1)证明见解析；(2)AD=2DF，证明见解析【分析】(1)延长AD至M，使MD=FD，连接MC，证明△BDF≌△CDM，结合等角对等边证明即可．(2)延长DF至点M，使DF=FM，连接BM、AM，证明△ABM≌△ACD(SAS)，△ABM是等边三角形，代换后得证．【详解】(1)证明：延长AD至M，使MD=FD，连接MC．在△BDF和△CDM中，BD=CD∠BDF=∠CDMDF=DM，∴△BDF≌△CDM，∴MC=BF，∠M=∠BFM，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠EFA=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴AC=BF．(2)线段DF与AD的数量关系为：AD=2DF．证明如下：延长DF至点M，使DF=FM，连接BM、AM，如图2所示：∵点F为BE的中点，∴BF=EF在△BFM和△EFD中，∵BF=EF∠BFM=∠EFDFM=DF，∴△BFM≌△EFD(SAS)∴BM=DE，∠MBF=∠DEF，∴BM∥DE∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE∴CD=DE=BM，∠BDE=120°，∴∠MBD=180°-120°=60°∵△ABC是等边三角形∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABM=∠ABC+∠MBD=60°+60°= 120°∵∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，∴∠ABM=∠ACDBM=CD∴AM=AD，∠BAM=∠CAD，∴∠MAD=∠MAC+∠CAD=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°∴△AMD是等边三角形，∴AD=DM=2DF．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC= BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；【答案】(1)见解析(2)线段DF与AD的数量关系为：AD=2DF，证明见解析；【分析】(1)类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论．(2)运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论．(1)证明：如图，延长AD至M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，∵BD=CD∠BDF=∠CDMDF=DM，∴△BDF≌△CDM(SAS)，∴MC=BF，∠M=∠BFM，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠EFA=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴AC=BF；(2)解：线段DF与AD的数量关系为：AD=2DF，证明如下：延长DF至点M，使DF=FM，连接BM、AM，如图所示：∵点F为BE的中点，∴BF=EF，FM =DF∴BM =DE ，∠MBF =∠DEF ，∴BM ∥DE ，∵线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，∴CD =DE =BM ，∠BDE =120°，∴∠MBD =180°-120°=60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABM =∠ABC +∠MBD =60°+60°=120°，∵∠ACD =180°-∠ACB =180°-60°=120°，∴∠ABM =∠ACD ，在△ABM 和△ACD 中，∵AB =AC∠ABM =∠ACD BM =CD，∴△ABM ≌△ACD (SAS )，∴AM =AD ，∠BAM =∠CAD ，∴∠MAD =∠MAC +∠CAD =∠MAC +∠BAM =∠BAC =60°，∴△AMD 是等边三角形，∴AD =DM =2DF ；【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上，综合运用相关知识是解题的关键．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(解析版)

模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(解析版)

模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。

模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG所以BF=NG=NC+CG=DF+CG模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝27°解：在DC上截取DE＝BD，连接AE∵AD⊥BC，DE＝BD∴AD是BE的垂直平分线∴AB＝AE∴∠B＝∠AEB＝54°∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC∴AB＝EC∴AE＝EC∴∠C＝∠EAC∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°故答案为：27°变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB ＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°解：如图，在BC上截取CE＝AC，连接PE∵∠ACB＝60°∴∠CAB+∠ABC＝120°∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点∴∠CAP＝∠BAP＝∠CAB，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠BCP ∴∠ABP+∠BAP＝60°∵CA＝CE，∠ACP＝∠BCP，CP＝CP∴△ACP≌△ECP（SAS）∴AP＝PE，∠CAP＝∠CEP∵CA+AP＝BC，且CB＝CE+BE∴AP＝BE∴BE＝PE∴∠EPB＝∠EBP∴∠PEC＝∠EBP+∠EPB＝2∠PBE＝∠CAP∴∠PAB＝2∠PBA，且∠ABP+∠BAP＝60°∴∠PAB＝40°∴∠CAB＝80°故选：C【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠EBD在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠BED∵AD＝CD∴ED＝CD，∴∠DEC＝∠C∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB 上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC 于F。

第08讲全等三角形中“截长补短”模型

第08讲全等三角形中“截长补短”模型

第08讲全等三角形中“截长补短”模型（核心考点讲与练）【基础知识】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【考点剖析】1、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE,∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD∴△ACD≌△AED∴CD=DE,∠C=∠3∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B=∠4+∠B∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE∵AB=AE+BE∴AB=AC+CD2、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,∵CE⊥AB∴CF=CB∠CFB=∠B∵∠AFC+∠C FB=180°，∠D+∠B=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD即∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC∴ACD≌△ACF（AAS）∴AD=AF∴AE=AF+EF=AD+BE3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF .∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO .∴△EBO ≌△FBO .∴∠EOB ＝∠FOB .∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°.∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO .∴△DCO ≌△FCO .∴CD ＝CF .∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD .4．如图，AD //BC ，DC ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．解：AB ＝AD ＋BC .理由：作EF ⊥AB 于F ，连接BE .∵AE 平分∠BAD ，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ，∴EF ＝DE .∵DE ＝CE ，∴EC ＝EF .∴Rt △BFE ≌Rt △BCE (HL)．∴BF ＝BC同理可证：AF ＝AD .∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC .　5．如图，已知DE ＝AE ，点E 在BC 上，AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，请问线段AB ，CD 和线段BC 有何大小关系？并说明理由．解：线段AB ，CD 和线段BC 的关系是：BC ＝AB ＋CD .理由：在△DCE 中，∠EDC ＋∠DEC ＝90°，∵∠AEB ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEB ＝∠EDC ，又∵ED ＝AE ，∠ABE ＝∠ECD ＝90°，∴△ABE ≌△ECD (AAS)，∴AB ＝EC ，BE ＝CD ，∴BC ＝BE ＋EC ＝CD ＋AB .【过关检测】1．（2021·辽宁大连·八年级期中）如图，ABC V 为等边三角形，若()060DBC DAC a a Ð=Ð=°<<°，则BCD Ð=__________（用含a 的式子表示）．【答案】120a°-【分析】在BD 上截取BE =AD ，连结CE ，可证得BEC ADC @△△ ，从而得到CE =CD ，∠DCE =∠ACB =60°，从而得到DCE V 是等边三角形，进而得到∠BDC =60°，则有60B CE a Ð=°-，即可求解．【详解】解：如图，在BD 上截取BE =AD ，连结CE ，∵ABC V 为等边三角形，∴BC =AC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，∵a Ð=Ð=DBC DAC ，BE =AD ，∴BEC ADC @△△ ，∴CE =CD ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCE +∠ACE =∠ACD +∠ACE ，∴∠DCE =∠ACB =60°，∵CE =CD ，∴DCE V 是等边三角形，∴∠BDC =60°，∴18060120BCD a a Ð=°-°-=°-．故答案为：120a°-【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2.（2019·浙江嘉兴市·八年级期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是 ．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．解答：（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD °=ìïÐ=Ð=íï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由如下：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3.（2020·全国八年级单元测试）在△ABC 中，∠ACB=2∠B ，（1）如图①，当∠C=90°，AD 为∠ABC 的角平分线时，在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，易证AB=AC+CD ．请证明AB=AC+CD ；（2）①如图②，当∠C ≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C ≠90°，AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD ；②AC+AB=CD ，证明见解析．【分析】（1）首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD ，进而得出答案；（2）①首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠BDE ，求出BE=DE=CD ，进而得出答案；②首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠EDC ，求出BE=DE=CD ，进而得出答案．（1）证明：∵AD 为∠ABC 的角平分线，∴∠EAD=∠CAD ，在△AED 和△ACD 中，∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，∴△AED ≌△ACD （SAS ），∴ED=CD ，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（3）①AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．4．（2020·山东青岛·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB ＝AC ＝AD ，∴△ABD 是等腰直角三角形；（2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，∵线段AC 与AD 关于直线AP 对称，∴∠ACE ＝∠ADE ，AD ＝AC ，∵AD ＝AC ＝AB ，∴∠ADB ＝∠ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABFCE BF =ìïÐ=Ðíï=î∴△ABF ≌△ACE （SAS ），∴AF ＝AE ，∵AD ＝AB ，∴∠D ＝∠ABD ，又∠CAE ＝∠DAE ，∴()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°-Ð=°，∴在△AFE 中，AF ＝AE ，∠AEF ＝60°，∴△AFE 是等边三角形，∴AF ＝FE ，∴BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．5．（2021·广东·珠海市九洲中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD ＝DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若AB ＝7.4，AF ＝1.4，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）证明△ACD ≌△AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△FAD ≌△MAD （SAS ），得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt △MDE ≌Rt △BDE （HL ），得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =∠DAE ，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，C DEA DAC DAE AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC =AE ；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△FAD 和△MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△FAD ≌△MAD （SAS ），∴FD =MD ，∠ADF =∠ADM，∵BD =DF ，∴BD =MD ，在Rt △MDE 和Rt △BDE 中，MD BD DE DE=ìí=î，∴Rt △MDE ≌Rt △BDE （HL ），∴ME =BE ，∵AF =AM ，且AF =1.4，∴AM =1.4，∵AB =7.4，∴MB =AB -AM =7.4-1.4=6，∴BE ＝12BM ＝3，即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD ≌△MAD 和Rt △MDE ≌Rt △BDE 是解题的关键．6．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．【分析】如图，在AB 上截取,AH AD =证明,ADE AHE V V ≌再证明,HBE CBE V V ≌可得,BC BH = 从而可得结论.【详解】证明：如图，在AB 上截取,AH AD =AE ∵平分,DAB Ð,DAE HAE \Ð=Ð,AE AE =Q,ADE AHE \V V ≌,ADE AHE \Ð=Ð//,AD BC Q180,ADE BCE \Ð+Ð=°180,AHE BHE Ð+Ð=°Q,BCE BHE \Ð=ÐBE Q 平分,ABC Ð,ABE CBE \Ð=Ð,BE BE =Q,HBE CBE \V V ≌,BC BH \=,AB AH HB =+Q.AB AD BC \=+【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.7．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）八年级期中）在ABC V 中，BE ，CD 为ABC V 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A Ð=°+Ð；（2）已知60A Ð=°．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；②如图2，若BF AC =，求AEB Ð的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出1902FBC FCB A Ð+Ð=°-Ð的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC Ð的度数，（2）在BC 上取一点G 使BG=BD ，构造BFG BFD @V △（SAS ），再证明()FEC FGC ASA @V V ，即可得BC BD CE =+，由此求出答案；（3）延长BA 到P ，使AP=FC ，构造BFC CAP @V △（SAS ），得PC=BC ，12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，再由三角形内角和可求40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，进而可得180()100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°．【详解】解：（1）BE Q 、CD 分别是ABC Ð与ACB Ð的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A \Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，1180()180(90)2BFC FBC FCB A \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð，1902BFC A \Ð=°+Ð，（2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A Ð=°+Ð，60BAC Ð=°Q ，120BFC \Ð=°，∴18060BFD EFC BFC Ð=Ð=°-Ð=°，在BFG V 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =ìïÐ=Ðíï=î，∴BFG BFD @V △（SAS ）∴BFD BFG Ð=Ð，∴60BFD BFG Ð=Ð=°，∴12060CFG BFG Ð=°-Ð=°，∴60CFG CFE Ð=Ð=°在FEC V 与FGC △中，CFE CFG CF CFECF GCF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()FEC FGC ASA \@V V ，CE CG \=，BC BG CG =+Q ，BC BD CE \=+；∵4BD =， 6.5BC =，∴ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC ，60BAC Ð=°Q，∴180120PAC BAC Ð=°-Ð=°，在BFC △与CAP V 中，120BF AC BFC CAP CF PA =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴BFC CAP @V △（SAS ）∴P BCF Ð=Ð，BC PC =，∴P ABC Ð=Ð，又∵12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，∴2ACB ABC Ð=Ð，又∵180ACB ABC A Ð+Ð+Ð=°，∴360180ABC Ð+°=°，∴40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，∴1202ABE ABC Ð=Ð=°，180()180(2060)100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°-°+°=°【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．8．（2021·福建省福州第十六中学八年级期中）如图，△ABC 为等边三角形，直线l 过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝60°，求证：△AEC ≌△CDB ；（2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG +BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF =EF -BD ．【分析】（1）先证明∠ACE =∠CBD ，即可利用AAS 证明△AEC ≌△CDB ；（2）在直线l 上位于C 点左侧去一点E ，使得∠AEC =60°，连接AE ，由（1）可知△AEC ≌△CDB ，CE =BD ，然后证明△FAE ≌△HFG 得到GH =EF ，则CF =EF +CE =GH +BD 即HG +BD =CF ；（3）在直线l 上位于C 点右侧取一点E 使得∠AED =60°，连接AE ，在直线l 上位于D 点左侧取一点M 使得BM =BD ，设AB 与直线l 交于N ，先证明△BDM 是等边三角形，得到∠DBM =∠DMB =60°，然后证明∠ACE =∠ABD =∠CBM ，即可利用AAS 证明△AEC ≌△CMB 得到CE =BM =BD ；最后证明△AEF ≌△FGH 得到HG =EF ，则EF =CE +CF =CF +BD 即CF =EF -BD ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB =60°，∴∠ACE +∠BCD =180°-∠ACB =120°，∵∠BDC =60°，∴∠BCD +∠CBD =180°-∠BDC =120°，∴∠ACE =∠CBD ，在△AEC 和△CDB 中，===60ACE CBD AEC CDB AC CB ÐÐìïÐÐíï=îo ，∴△AEC ≌△CDB （AAS）（2）如图所示，在直线l 上位于C 点左侧取一点E ，使得∠AEC =60°，连接AE ，由（1）可知△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，∵∠ACE =60°，∴∠AEF =120°，∴∠AEF =∠AFH =120°，∴∠AFE +∠FAE =180°-∠AEF =60°，∠AFE +∠HFG =180°-∠AFH =60°，∴∠FAE =∠HFG ，在△FAE 和△HFG 中，120FAE HFG AEF FGH AF FH Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△FAE ≌△HFG （AAS ），∴GH =EF ，∴CF =EF +CE =GH +BD 即HG +BD =CF ；（3）如图所示，在直线l 上位于C 点右侧取一点E 使得∠AED =60°，连接AE ，在直线l 上位于D 点左侧取一点M 使得BM =BD ，设AB 与直线l 交于N∵∠BDC =60°，BM =BD ，∴△BDM 是等边三角形，∴∠DBM =∠DMB =60°，∵三角形ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠BAC =60°，AC =BC∴∠ABM +∠CBM =∠ABM +∠ABD，∴∠ABD =∠CBM ，∵∠BAC =∠BDC =60°，∠ANE =∠DNB ，∴∠ACE =∠ABD =∠CBM ，∵∠CMB =180°-∠DMB =120°，∠AEC =180°-∠AED =120°，∴∠CMB =∠AEC ，在△AEC 和△CMB 中，120ACE CBM AEC CMB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△AEC ≌△CMB （AAS ），∴CE =BM =BD ；∵∠AFH =120°，∴∠AFC +∠GFH =60°，∵∠GFH +∠FHG =180°-∠HGF =60°，∴∠AFC =∠FHG ，在△AEF 和△FGH 中，120AFE FHG AEF FGH AF FH Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△AEF ≌△FGH （AAS ），∴HG =EF ，∴EF =CE +CF =CF +BD 即CF =EF -BD ．故答案为：CF =EF -BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．9.（2021·云南昆明·八年级期中）阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在V ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 平分∠ACB ，AD ＝2.2，AC ＝3.6，求BC 的长．【思考引导】因为CD 平分∠ACB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．这样很容易得到V DEC ≌V DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）．【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知V ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，BD 平分∠ABC ，BD ＝2.3，BC ＝2．求AD 的长．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD ≌△ECD ，得到AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，由于∠A ＝2∠B ，推出∠DEC ＝2∠B ，等量代换得到∠B ＝∠EDB ，得到△BDE 是等腰三角形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．10．（2022·广东东莞·八年级期末）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F分∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证2明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并＝12证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，见解析【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG ＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．【详解】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG 和△ADF 中，90AB AD ABG D BG DF °=ìïÐ=Ð=íï=î，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，∴∠GAE ＝∠BAG +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，在△GAE 和△FAE 中，AG AF GAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴EF ＝EG ，∵EG ＝BG +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +FD ，故答案为：EF ＝BE +FD ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠1＝180°，∴∠1＝∠D ，在△ABM 和△ADF 中，1AB AD D BM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠3＝∠2，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠2+∠4＝∠EAF ，∴∠EAM ＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，AM AF MAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MAE ≌△FAE （SAS ），∴EF ＝EM ，∵EM ＝BM +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +FD ；（3）（1）中的结论不成立，EF ＝BE ﹣FD ，理由如下：如图3，在EB 上截取BH ＝DF ，连接AH ，同（2）中证法可得，△ABH ≌△ADF ，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF ，∴∠HAE ＝∠FAE ，在△HAE 和△FAE 中，AH AF HAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△HAE ≌△FAE （SAS），EF EH\=∵EH ＝BE ﹣BH ＝BE ﹣DF ，∴EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．11．（2022·四川南充·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC Ð，180A C Ð+Ð=°．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC Ð=°时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C Ð+Ð=°，DA DC =，过点D 作DE BC ^，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC=+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，RtΔRtΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD Q 平分ABC Ð，ABD CBD \Ð=Ð．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔABD MBD \≌，A BMD \Ð=Ð，AD MD =．180BMD CMD °Ð+Ð=Q ，180C A °Ð+Ð=．C CMD \Ð=Ð．DM DC \=，DA DC \=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD Q 平分ABC Ð，NBD CBD \Ð=Ð．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔNBD CBD \≌．BND C \Ð=Ð，ND CD =．180NAD BAD °Ð+Ð=Q ，180C BAD °Ð+Ð=．BND NAD \Ð=Ð，DN DA \=，DA DC \=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC °Ð=Q ．ΔADC \为等边三角形．AC AD \=，60ADC °Ð=．180BCD BAD °Ð+Ð=Q ，36018060120ABC °°°°\Ð=--=．18060PBA ABC °°\Ð=-Ð=．BP BA =Q ，ΔABP \为等边三角形．60PAB °\Ð=，AB AP =．60DAC °Ð=Q ，PAB BAC DAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即PAC BAD Ð=Ð．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔPAC BAD \≌．PC BD \=，PC BP BC AB BC =+=+Q ，AB BC BD \+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，如图3所示．180BAD C °Ð+Ð=Q ，180BAD FAD °Ð+Ð=．FAD C \Ð=Ð．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ΔΔDFA DEC \≌，DF DE \=，AF CE =．在RtΔBDF 和RtΔBDE 中，BD BD DF DE =ìí=î，RtΔRtΔ\≌．BDF BDE\=，BF BE\=+=++=+，2BC BE CE BA AF CE BA CE\-=．BC BA CE2【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．。

截长补短模型结论及证明

截长补短模型结论及证明

截长补短模型结论及证明
截长补短模型是处理线段间数量关系的一种重要的解题方法，常用于解决三角形中的线段关系问题。

其基本思想是通过截取或延长线段，构造出全等三角形或其他易于处理的图形，从而得到所需的线段关系。

以下是截长补短模型的一些常见结论及证明：
1.
截长法：
结论：在一条线段上截取一条与它相等的线段，剩下的部分与另一条线段相等。

证明：设线段AB，要在AB上截取AC=BC，证明AD=DB。

证明：在AB上截取AC=BC，连接CD。

由于AC=BC且∠ACD=∠BCD（对顶角相等），CD=CD（公共边），根据SAS全等条件，得△ACD≌△BCD。

因此，AD=DB。

2.
补短法：
结论：将一条较短的线段延长至与另一条线段相等，再用其他条件证明新构造的图形与原图形全等。

证明：设线段AB和CD，AB<CD，要在CD上截取CE=AB，证明BF=DE。

证明：在CD上截取CE=AB，连接BE。

由于CE=AB，∠CEB=∠AEB（对顶角相等），BE=BE（公共边），根据SAS全等条件，得△CEB≌△AEB。

因此，BF=DE。

这些结论可以通过截取或延长线段，然后利用全等三角形的性质（SAS、ASA、AAS、SSS等）进行证明。

截长补短法在处理线段关系问题时非常灵活，需要根据具体问题的条件选择合适的截取或延长方式。

截长补短模型证三角形全等

截长补短模型证三角形全等

截长补短模型证三角形全等一、截长补短法：包含截长法和补短法，即a=b+c 和a=b-c截长补短法适用于求证线段的和差倍分关系。

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

当出现等腰三角形、角平分线等关键词句时，常采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在EF =AB +CD ，可以考虑截长补短法。

截长法：如图②，在EF 上截取EG =AB ，再证明GF =CD 即可。

补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH =CD ，再证明AH =EF 即可。

二、模型实例例1：在△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，试说明AB=AC+CD ．例2：如图1，△ABC 是正三角形，△BDC 是等腰三角形，BD=CD ，∠BDC=120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ． （1）探究BM 、MN 、NC 之间的关系，并说明理由； （2）若△ABC 的边长为2，求△AMN 的周长；（3）若点M 、N 分别是线段AB 、CA 延长线上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由．例3：已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE ．求证：BE+DF=AE ．32HA B FE1G E F D C B A截长补短模型演练题1、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E．求证： CE=BD．2、已知，如图AB//CD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

3、如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD．求证：AD平分∠CDE．。

三角形全等几何模型1截长补短知识讲解20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练北师大版

三角形全等几何模型1截长补短知识讲解20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练北师大版

专题4.17 三角形全等-几何模型1（截长补短）（知识讲解）有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。

所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。

所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。

有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。

【典型例题】1、（2020·全国九年级专题练习）已知：如图所示，在ABC D 中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG D D ≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∵在ABC D 中，AD 为中线，∴BD=CD ，在△ADC 和△GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =ìïÐ=Ðíï=î∴BDE CDG D D ≌，BE CG \=，BED CGD Ð=Ð，BE AC =Q ，AC GC \=，AGC CAG \Ð=．又BED AEF Ð=ÐQ ，∴AEF EAF Ð=Ð，∴AF EF =.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．举一反三：【变式】 （2020·全国八年级课时练习）如图，在ABC V 中，,AC BC AD =平分BAC Ð交BC 于点D ，若AC CD AB +=，求C Ð的度数．【答案】90C Ð=°【分析】在AB 上截取AE AC =，连接DE ，证明ADC ADE △≌△，再证明DE BE =，设B x Ð=，再得到Ð=Ð=Ð=BAC B EDB x ，证明2,C x Ð= 然后利用内角和定理求解即可．解：如图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AD 平分BAC Ð，EAD CAD Ð=Ð．∵,==AE AC AD AD ，ADC ADE \V V ≌，∴,,CD DE AED C =Ð=Ð∵AC CD AB +=，AE BE AB +=，∴CD BE =，∴DE BE =，∴B EDB Ð=Ð．∵AC BC =，∴BAC B =∠∠．设Ð=Ð=Ð=BAC B EDB x ，则2Ð=Ð+Ð==ÐAED B EDB x C ．∵在ABC V 中，2180x x x ++=°，解得45x =°，∴90C Ð=°．【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．2、（2019·浙江嘉兴市·八年级期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是 ．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．解答：（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD °=ìïÐ=Ð=íï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由如下：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式】 （2020·全国八年级单元测试）在△ABC 中，∠ACB=2∠B ，（1）如图①，当∠C=90°，AD 为∠ABC 的角平分线时，在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，易证AB=AC+CD ．请证明AB=AC+CD；（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．（1）证明：∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（3）①AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．3、（2020·黑龙江大庆市·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD．【答案】证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．【变式1】 （2020·大庆市万宝学校七年级期末）如图，AB CD ∥，BE 平分ABC Ð，CE平分BCD Ð，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+.【答案】详见解析【分析】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，由角平分线的性质可以得出∠1=∠2，从而可以得出△ABE ≌△FBE ，可以得出∠A=∠5，进而可以得出△CDE ≌△CFE ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．证明：在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，∵BE 、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE 和△FBE 中，12AB FB BE BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△FBE(SAS)，∴∠A=∠5，∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D ，在△CDE 和△CFE 中，634D CE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△CDE ≌△CFE(AAS)，∵BC=BF+CF ，∴BC=AB+CD ．【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．举一反三：【变式2】（2020·剑阁县公兴初级中学校八年级月考）如图，在△ABC 中，60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：（1）BQ CQ =；（2）BQ AQ AB BP +=+．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC ＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∠QBC ＝40°，就有∠QBC ＝∠C 而得出结论；（2）延长AB 至M ，使得BM ＝BP ，连结MP ，根据条件就可以得出∠M ＝∠C ，进而证明△AMP ≌△ACP 就可以得出结论．（1）证明：∵BQ 是ABC Ð的角平分线，∴12QBC ABC Ð=Ð．∵180ABC ACB BAC Ð+Ð+Ð=°，且60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，∴80ABC Ð=°，∴180402QBC Ð=´°=°，∴QBC C Ð=Ð，∴BQ CQ =；（2）证明：延长AB 至M ，使得BM BP =，连结MP ．∴M BPM Ð=Ð，∵△ABC 中60BAC Ð=°，40C Ð=°，∴80ABC Ð=°，∵BQ 平分ABC Ð，∴40QBC C Ð=°=Ð，∴BQ CQ =，∵ABC M BPM Ð=Ð+Ð，∴40M BPM C Ð=Ð=°=Ð，∵AP 平分BAC Ð，∴MAP CAP Ð=Ð，在△AMP 和△ACP 中，∵M C MAP CAP AP AP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AMP ≌△ACP ，∴AM AC =，∵AM AB BM AB BP =+=+，AC AQ QC AQ BQ =+=+，∴AB BP AQ BQ+=+【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、 （2019·全国八年级课时练习）如图所示，已知ΔABC 中，∠A =60°，BD 、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ．【分析】在BC 上取点G 使得CG ＝CD ，可证△COD ≌△COG ，得∠BOG ＝∠BOE ，然后证△BOE ≌△BOG ，得BE ＝BG ，可以求得BE ＋CD ＝BC ．证明：在BC 上取点G 使得CG ＝CD ，∵∠BOC ＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−60°）＝120°，∴∠BOE ＝∠COD ＝60°，∵在△COD 和△COG 中，CO =CO ∠DCO ＝∠GCO CD =CG，∴△COD ≌△COG （SAS ），∴∠COG ＝∠COD ＝60°，∴∠BOG ＝120°−60°＝60°＝∠BOE ，∵在△BOE 和△BOG 中，∠BOG ＝∠BOE BO =BO ∠EBO ＝∠GBO，∴△BOE ≌△BOG （ASA ），∴BE ＝BG ，∴BE ＋CD ＝BG ＋CG ＝BC．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD ＝CG 和BE ＝BG 是解题的关键．举一反三：【变式1】 （2020·全国九年级专题练习）已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=´（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．举一反三：【变式2】（2019·全国七年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形外一点，且∠ABD=60°，BD+DC=AB．求证：∠ACD=60°【分析】首先延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，由BD＋DC＝AB，易得△ABE 是等边三角形，继而证得△ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD＝∠E＝60°．证明：延长BD至E，使CD=DE，连接AE，AD，∵BD+CD=AB，BE=BD+DE，∴BE=AB，∵∠ABD=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=AC，∠E=60°，在△ACD和△ADE中，AC=AECD=DE，AD=AD∴△ACD≌△ADE（SSS），∴∠ACD=∠E=60°．Array【点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．。

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【精4】 如 图 ，在 四 边形 ABCD 中 ， AB AD ， B D 90 ， E、F 分 别 是 边 BC、CD 上 的 点， 且
1 EAF = BAD ．求证： EF BE FD ; 2
A D
F B E C
(2) 如图在四边形 ABCD 中， AB AD，B+ D 180 ， E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且
1 EAF BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？并证明． 2
A D F B
E C
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初一（下）数学暑假班全等模型课第 3 讲
【精5】 如图， ABC 中， BAC 60 ， ACB 40 ， AD 、 BE 分别平分 BAC , ABC ， 求证： AE BE AB BD
精选例题
【精1】 如图，在 ABC 中， B 2C ， BAC 的平分线 AD 交 BC 与 D ．求证： AB BD AC
A
B
D
C
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初一（下）数学暑假班全等模型课第 3 讲
【精2】 如图， BP 平分 ABC ， PD BC ， AB BC 2BD ，求证： BAP BCP 180
初一（下）数学暑假班全等模型课第 3 讲
全等三角形经典模型系列精讲—截长补短
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长 就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。 截长：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短：延长短边，通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
A E
B
D
C
【精6】 如图，过线段 AB 的两个端点作射线 AM 、 BN ，使 AM ∥ BN ， MAB , NBA 的平分线交 于E （1）求∠ AEB 的度数 （2）过点 E 作一直线交 AM 于 D ，交 BN 于 C ，证明： DE = CE ， （3）无论 DC 的两端点在 AM ， BN 上如何移动，只要 DC 经过点 E ，① AD BC AB ；②
A
D
M E B C
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初一（下）数学暑假班全等模型课第 3 讲
【精9】 已知， 如图，ABC 中，AB AC , D 是 ABC 外一点， 且 ABD ACD 60 ， 求证：BD CD AB
A
D B
C
【精10】 如图，等腰直角 ABC , AB AC ， BAC 90 ， AD AE ， AP BE 于 P ，交 BC 于点 F ，过 点 F 作 FQ CD 于 Q ，交 BE 延长线于 G ，求证： BG AF FG
AD BC CD ，谁成立，并说明理由
A D M E N B C
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初一（下）数学暑假班全等模型课第 3 讲
【精7】 已知，如图，四边形 ABCD 是正方形， 1 2 ，求证： BE DF AE
A 2 F 1 D
B
E
C
【精8】 如图所示，已知正方形 ABCD 中， M 为 CD 中点， E 为 MC 上一点，且 BAE 2DAM 求证： AE BC CE
A
P
B
D
C
【精3】 已知， D 是 ABC 的内角 ABC 与外角 ACM 的平分线 BD 与 CD 的交点，过点 D 作 DE ∥ BC ，交 AB 于点 E ，交 AC 于 F ，试确定 EF 、 EB 、 FC 的数量关系。
A E F D
B
C
M
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初一（下）数学暑假班全等模型课第 3 讲
A D E P Q B F M G
C
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