甘肃省天水一中2020-2021学年高一(上)期中数学试题
甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
甘肃省天水市第一中学【最新】高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁U A )∪(∁U B )等于( ) A ．{1,6} B ．{4,5} C ．{2,3,4,5,7} D ．{1,2,3,6,7} 2．已知集合2{|560},{|10}A x x x B x mx =-+==-=，若,A B B ⋂=，则m 的值是( )A ．12B ．13或12C ．0或13D ．0或12或 13 3．下面各组函数中为相同函数的是（ ）A ．()f x =()1g x x =-B ．0()f x x =，()1g x =C ．()3x f x =，1()3x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()1f x x ，21()1x g x x -=+ 4．已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 5．若函数y ＝a x +b ﹣1（a ＞0且a ≠1 ）的图象经过一、三、四象限，则正确的是（） A ．a ＞1且b ＜1B ．0＜a ＜1 且b ＜0C ．0＜a ＜1 且b ＞0D ．a ＞1 且b ＜06．函数()f x x =的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1，＋∞) 7．函数||()2x x f x x=⋅的图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．8．设函数2? 0(){()? 0.x x f x g x x <=>，，，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是（ ） A ．14- B ．4- C ．14 D ．49．已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ）A ．(1,1)-B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)210．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则函数()f x 在[],m n 上有（ ）A ．最小值()f mB ．最大值()f nC ．最大值2m n f +⎛⎫⎪⎝⎭ D ．最小值()f n二、填空题11．计算213—02644127π⎛⎫++ ⎪⎝⎭－（），所得结果为____________12．函数2()2(1)2f x ax a x =+-+在区间(),4-∞上为减函数，则a 的取值范围为______.13．函数11()()2x f x -=，x ∈R 的单调递增区间为__________．14．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14％纳税；超过4000元的按全稿酬的11％纳税.某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为______元.三、解答题15． 已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+. （1）当0a =时，求A B ； （2）若A B =∅，求a 的取值范围.16．已知()()x f x x a x a=≠- （1）若2a =-，试证明()f x 在区间(),2-∞-内单调递增；（2）若0a >，且()f x 在区间1,内单调递减，求a 的取值范围. 17．（1）已知()2m 31x f x =+-是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数31x y =-的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程31x k -= 无解？有一解？有两解？18．已知二次函数()f x 的图象过点()0,4，对任意x 满足()()3f x f x -=，且有最小值为74. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()()23h x f x t x =--在区间[0,1]上的最小值，其中t R ∈；（3）在区间[－1,3]上，()y f x =的图象恒在函数2y x m =+的图象上方，试确定实数m 的范围．参考答案1．D【分析】由题意首先求解补集，然后进行并集运算即可.【详解】由补集的定义可得：∁U A={1,3,6},∁U B={1,2,6,7},所以(∁U A )∪(∁U B )={1,2,3,6,7}.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查补集的运算，并集运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．D【分析】求解出集合A ；分别在0m =和0m ≠两种情况下根据交集运算结果构造方程可求得结果.【详解】()(){}{}2302,3A x x x =--==当0m =时，B =∅ AB B ∴=，满足题意 当0m ≠时，1B x x m ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭A B B = 12m ∴=或13m=，即12m =或13 综上所述，m 的值为：0或12或13本题正确选项：D【点睛】 本题考查根据交集运算结果求解参数值的问题，易错点是忽略集合B 为空集的情况，造成丢根.3．C【分析】对四个选项中的两个函数分别求定义域和对应关系，即可得出正确选项.【详解】对于选项A ：()f x =R ，()1f x x ==-，而()1g x x =-定义域为R ，对应关系不同，所以不是相同函数，故选项A 不正确；对于选项B ：0()f x x =定义域为{}|0x x ≠，函数()1g x =定义域为R ，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数，故选项B 不正确；对于选项C ：()3x f x =，1()33x x g x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭，所以两个函数是相同函数，故选项C 正确； 对于选项D ：()1f x x 定义域为R ，21()1x g x x -=+的定义域为{}|1x x ≠，定义域不同，所以不是相同函数，故选项D 不正确.故选：C4．A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案.详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333x x x x x x f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即函数()f x 是奇函数， 又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.5．D【解析】试题分析：对于指数函数y=a x （a ＞o 且a≠1），分别在坐标系中画出当0＜a ＜1和a ＞1时函数的图象如下：∵函数y=a x +b-1的图象经过第一、三、四象限，∴a ＞1，由图象平移知，b-1＜-1，解得b ＜0，故选D ．考点：本题主要是考查指数函数的图象和图象的平移，即根据图象平移的“左加右减”“上加下减”法则，求出m 的范围，考查了作图和读图能力．点评：解决该试题的关键是先在坐标系中画出当0＜a ＜1和a ＞1时指数函数的图象，由图得a ＞1，再由上下平移求出m 的范围．6．C【解析】【分析】用换元法转化为求二次函数的值域求解或根据函数的单调性求解．【详解】方法一：设)0t t =≥，则212t x -=， ∴()2221111t (1)12222t g t t t t -=+=+-=+-， ∴函数()g t 在[0,)+∞上单调递增，∴()1(0)2g t g ≥=-， ∴函数()f x 的值域是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 故选C ．方法二：由210x +≥得21x ≥-， ∴函数()f x 的定义域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，又由题意得函数()f x x 为增函数，∴()1122f x f ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的值域是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 故选C ．【点睛】对于一些无理函数，可通过换元转化为有理函数（如二次函数），再利用有理函数求值域的方法解决问题，“换元法”的实质是等价转化的思想方法，解题中要注意新元的范围． 7．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置即可得到结果．【详解】函数f （x ）•2x x x=是奇函数，判断出B ，D 不符合题意； 当x ＝1时，f （1）2=，选项C 不成立，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．A【解析】21(2)(2)(2)24g f f -==--=-=-. 9．B【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．10．D【分析】根据函数增减性的定义证明函数是减函数，即可求解.【详解】设12,,x x R ∀∈且12x x <，则120x x x ∆=-<，212222()()()()()()()()y f x f x f x f x x f x f x f x f x ∆=-=-∆+=-∆-=-∆， 因为0x <时，()0f x >，所以()0f x ∆>，所以21()()()0y f x f x f x ∆=-=-∆<，即21()()f x f x <，所以函数()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在[],m n 上有最小值()f n .【点睛】本题主要考查了定义法证明抽象函数的单调性及单调性的应用，属于中档题.11．2318【分析】根据指数幂运算性质即可求解.【详解】213—02644127π⎛⎫++ ⎪⎝⎭－（）2633121232318⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=【点睛】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）12．105a ≤≤【分析】先讨论0a =时的情况，再考虑0a ≠，此时，函数()f x 是二次函数，利用二次函数的对称轴公式求出()f x 的对称轴，据对称轴与单调区间的关系，令14a a -≥，求出a 的范围即可. 【详解】（1）当0a =时，()22f x x =-+，在区间(),4-∞上为减函数，符合题意；（2）当0a ≠时，由函数()f x 在区间(),4-∞上为减函数，故0a >，函数()f x 的对称轴为：1a x a-=， 函数()f x 在区间(),4-∞上为减函数，14a a -∴≥， 解得15a ≤，即105a <≤. 综上所述，105a ≤≤. 故答案为: 105a ≤≤. 【点睛】本题考查二次函数的单调性和分类讨论思想的运用，属中档题.解决二次函数的有关问题：单调性、最值，首先要解决二次函数的对称轴与所给区间的位置关系.13．(－∞，1]【解析】法一：由指数函数的性质可知f (x )＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 在定义域上为减函数，故要求f (x )的单调递增区间，只需求y ＝|x －1|的单调递减区间．又因为y ＝|x －1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1]．法二：f (x )＝111(),11222,1x xx x x --⎧≥⎪⎛⎫=⎨⎪⎝⎭⎪<⎩可画出f (x )的图象求其单调递增区间． 答案：(－∞，1].点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”. 14．3800 【解析】若稿费为4000元，则纳税14(4000800)448100-⨯=元，设此人的稿费为x 元，则纳税14(800)420,3800100x x -⨯==元. 解本小题的关键是读懂题意，建立正确的数学模型．注意先确定420元的稿费在哪个收入段中．15．（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）求解指数不等式，解得集合A ；根据集合交运算即可容易求得结果； （2）分集合B 是否为空集，根据题意，列出不等式，即可容易求得参数范围. 【详解】 （1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意； 当B φ≠时，即3a <时，只需1212a +≤-或324a ->即可. 解得34a ≤-或23a ≤<， 综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查集合的交运算，以及由集合交集得结果求参数范围，涉及指数不等式的求解，属综合基础题.16．（1）证明见解析；（2）(]0,1 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可；（2）根据单调性的定义得到12()()>0x a x a --在1,内恒成立，然后求解即可.【详解】（1）证明：当2a =-时()()22xf x x x =≠-+ 设任意的()12,,2x x ∈-∞-且12x x <()()()12121212122()22(2)2x x x x f x f x x x x x -=+++--=+ ∵()12(2)20x x ++>，12()<0x x -，∴()()12f x f x < ∴()f x 在(),2-∞-内单调递增.（2）任设121x x <<，则()()12f x f x -=12211212().()()x x a x x x a x a x a x a -----=- ∵0a >，21>0x x -，∴要使()()120f x f x -> 只需12()()>0x a x a --在1,内恒成立,∴1a ≤综上所述：a 的取值范围是(]0,1 【点睛】用定义证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形（分式一般进行通分，多项式一般分解因式）、判断符号、下结论.17．(1)见解析； （2）当k=0或k ≥1时,方程有一解; 当0<k<1时,方程有两解． 【分析】(1)先求出函数的定义域,再利用奇函数的定义,代入一对相反变量即可直接求常数m 的值; (2)先取绝对值画出分段函数图象,再利用函数的零点即为对应的两个函数图象的交点，把y=k 在图象上进行上下平移由两个函数图象交点个数即可找到结论. 【详解】 （1）310,0x x -≠≠∴函数定义域是{}x x 0≠又函数是奇函数，()()11f f ∴-=- ，即11223131m m -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭解得：m=1（2）函数图像如图：方程31x k -=根的个数即为函数31xy =-与函数y=k 交点的个数，由（1）中函数图像可知：当k<0时，直线y=k 与函数31xy =-的图象无交点,即方程无解;当k=0或k ≥1时, 直线y=k 与函数31xy =-的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当0<k<1时, 直线y=k 与函数31xy =-的图象有两个不同交点，所以方程有两解. 综上所述：k<0时，方程无解；k=0或k ≥1方程有一解; 0<k<1方程有两解. 【点睛】本题第一问主要考查函数的奇偶性,第二问主要研究函数的图象,都是考查基础知识,综合在一起属于中档题目，函数奇偶性的应用是高考的高频率考点，大家要熟悉，最好是结合函数图象分析，确保答题的正确率.18．（1）2()34f x x x =-+；（2）()2min4,04,0152,1t h x t t t t ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩；（3）94m <-.【分析】（1）由题中条件可得函数的对称轴是32x =，再根据函数最小值为74可设出函数方程，再将(0,4)代入可得解析式；（2）先得出函数()h x 含未知数t 的解析式，讨论t 的取值范围，在对应范围内分析单调性，得出最小值；（3）函数()f x 的图象在2y x m =+的上方，则在[1,3]-上()2x m f x >+恒成立，即254m x x <-+，即求函数2()54g x x x =-+的最小值，从而求得结果.【详解】（1）由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74， 则可设237()()(0)24f x a x a =-+≠，又图象过点(0,4)，解得a ＝1. 所以2237()()=3424f x x x x =-+-+； （2）h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t . ①t ≤0时，函数h (x )在[0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4； ②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；③当t ≥1时，函数h (x )在0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以2min4,0()4,0152,1t h x t t t t ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩； （3）由已知：f (x )>2x ＋m 对x ∈[1,3]-恒成立， ∴m <x 2－5x ＋4对x ∈[1,3]-恒成立． ∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈[1,3]-)．∵g (x )＝x 2－5x ＋4在x ∈[1,3]-上的最小值为94-， ∴m <94-. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，当二次函数的对称轴不确定而区间是固定时，需讨论对称轴与区间的位置关系，属难题.。
甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第一学段段考（期中）试题 理
甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第一学段段考（期中）试题 理一．选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．已知等差数列的前项之和为，那么=++876a a a （）A.6B.9C.12D.18 2．以下命题的说法错误．．的是（） A ．命题“若则”的逆否命题为“若, 则”．B ．“”是“”的充分没必要要条件．C ．关于命题则D ．假设为假命题，那么均为假命题．3．将函数的图象上所有的点向右平行移动2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）．A ．y ＝sin （2xB ．y ＝sin （2xC ．y ＝sinD ．y ＝sin4．x ，y 知足约束条件，假设取得最大值的最优解不唯一，那么实数a 的值为( )-1 B.2 C.2或1 D.2或-15，在处取最小值，那么=（） C.3 D.4 6．假设曲线在点处的切线方程是，那么（）A ．B ．C ．D ．7．当时，不等式恒成立，那么的取值范围为（） A.B.C. D.a x a =zy ax=-20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩x y sin =q p ,q p ∧210.x x ++≤:,p x R ⌝∃∈210,x x ++>:,p x R ∀∈2320x x -+=1=x 2320x x -+≠1≠x 1=x 2320,x x -+=3913{}n a8，且α≠kk∈Z）A9．在正方体中，点，别离是线段，的中点，那么直线与所成角的余弦值是（）A D10．若，那么函数在区间上恰好有（）A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点11．如图，四面体中，，面平面，假设四面体的四个极点在同一个球面上，那么该球的体积为（）A B．C D．12．设奇函数在上是增函数，且，当时，对所有的恒成立，那么的取值范围是（）A．或或B．或C．或或D．二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知向量，且，那么．14．假设某几何体的三视图如下，该几何体的体积为，那么俯视图中的.15．数列的前项和记为，，，那么的通项公式为 .16．已知函数至少有一个值为正的零点，那么实数的取值范围_____________。
2020-2021学年甘肃省天水一中高一(上)第一次段考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年甘肃省天水一中高一（上）第一次段考数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|2≤x +1<5}，B ={x ∈N|x ≤2}，则A ∩B =( )A. {x|1≤x ≤2}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1，2}2. 下列各组函数中，f(x)与g(x)相等的是( )A. f(x)=x 3x ，g(x)=x 2(x−1)x−1B. f(x)=x −1，g(x)=x 2−1x+1C. f(x)=√x 2，g(x)=√x 33D. f(x)=x +1x ，g(x)=x 2+1x3. 已知函数f(x)=x 3+3x.若f(−a)=2，则f(a)的值为( )A. 2B. −2C. 1D. −14. 定义在R 上的偶函数f(x)，对任意的x 1，x 2∈(−∞,0)，都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0，f(−1)=0，则不等式xf(x)<0的解集是( )A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(−,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)5. 函数f(x)=√1−x 2|x+3|−3的奇偶性是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数也是偶函数6. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲比乙先到达终点7. 已知二次函数f(x)=x 2+bx +c ，且f(x +2)是偶函数，若满足f(2−a)>f(4)，则实数a 的取值范围是( )A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. 由b 的范围决定D. 由b ，c 的范围共同决定8. 设函数f(x)={ax −6,x <a |x 2−x−2|,x≥a是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A. [2,+∞)B. [0,3]C. [2,3]D. [2,4]9.函数f(x)=(x−2)(ax+b)为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(2−x)>0的解集为()A. {x|−2<x<2}B. {x|x>2，或x<−2}C. {x|0<x<4}D. {x|x>4，或x<0}10.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=12f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1).若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≥−89，则m的最小值是()A. −43B. −53C. −54D. −65二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知3a2+b=1，则a b√3a=______ ．12.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是______ 元．13.若函数f(x)=(4−x)(x−2)在区间(2a,3a−1)上单调递增，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，若对任意x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−1 x ]=2，则f(15)的值是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）15.f(x)=x2+(m−2)x−2m(m∈R)．(1)已知f(x)在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围；(2)求f(x)<0的解集．16.已知函数f(x)=x+bx2+1是定义域(−1,1)上的奇函数．(1)确定f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(−1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．17.养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).注：空闲率=养鱼场中鱼群的最大养殖量−实际养殖量．养鱼场中鱼群的最大养殖量(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．18.已知定义域为I=(−∞,0)∪(0,+∞)，的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)设g(x)=f(x)，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x−2)>g(x)的解．x答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|1≤x<4}，B={0,1，2}；∴A∩B={1,2}．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：对于A，f(x)=x3x =x2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)=x2(x−1)x−1=x2的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，两函数的定义域不同，不是相等函数；对于B，f(x)=x−1的定义域是R，g(x)=x2−1x+1=x−1的定义域(−∞,−1)∪(−1,+∞)，两个函数的定义域不同，不是相等函数；对于C，f(x)=√x2=|x|定义域是R，g(x)=√x33=x的定义域是R，两函数的对应关系不同，不是相等函数；对于D，f(x)=x+1x 的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)=x2+1x=x+1x定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．本题主要考查了相等函数的判断问题，利用函数的定义域和对应法则相同判断即可．3.【答案】B【解析】解：∵f(x)是奇函数，且f(−a)=2；∴f(−a)=−f(a)=2；∴f(a)=−2．故选：B．容易看出f(x)是奇函数，从而根据f(−a)=2即可求出f(a)=−2．本题考查奇函数的定义及判断方法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：若对任意的x 1，x 2∈(−∞,0)，都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0， 则此时f(x)为减函数，∵f(x)是偶函数，∴当x >0时，f(x)是增函数，∵f(−1)=0，∴f(1)=0， 则f(x)的图象如图：则不等式xf(x)<0等价为{x <0f(x)>0或{x >0f(x)<0， 即x <−1或0<x <1，即不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)， 故选：D ．根据条件判断函数f(x)的单调性，根据函数奇偶性和单调性作出函数的草图，利用分类讨论思想进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件作出函数f(x)的图象是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】 【分析】先求出函数的定义域关于原点对称，可得f(x)=√1−x 2x ，再由f(−x)=√1−x 2−x =−f(x)，可得f(x)是奇函数．本题主要考查判断函数的奇偶性的方法，注意应先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看f(−x)与f(x)的关系，从而根据函数的奇偶性的定义，做出判断．当函数的定义域不关于原点对称时，此函数一定是非奇非偶函数，属于基础题． 【解答】解：∵函数f(x)=√1−x 2|x+3|−3，∴{1−x 2 ≥ 0| x +3| ≠ 3，解得−1≤x ≤1，且x ≠0．故函数f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]，关于原点对称， ∴f(x)=√1−x 2|x+3|−3=√1−x 2x+3−3=√1−x 2x．又f(−x)=√1−x 2−x=−f(x)，故f(x)是奇函数．故选：A ．6.【答案】D【解析】解：从图中直线的看出：K 甲>K 乙；S 甲=S 乙； 甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达． 故选：D ．根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S 相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．本题考查函数的表示方法，图象法．7.【答案】B【解析】解：根据题意，二次函数f(x)=x 2+bx +c ，是开口向上的二次函数， 若f(x +2)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x =2， 若f(2−a)>f(4)，则必有|2−a −2|>2，即|a|>2， 解可得：a <−2或a >2，即实数a 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)； 故选：B ．根据题意，分析f(x)的对称轴，结合二次函数的性质可得|2−a −2|>2，即|a|>2，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数单调性的判断与性质，属于中档题．判断y =|x 2−x −2|的单调性，再根据f(x)的单调性列不等式组得出a 的范围． 【解答】解：令x 2−x −2=0可得x =−1或x =2， 又当x =12时，(12)2−12−2<0，∴y =|x 2−x −2|在[2,+∞)上单调递增， ∵f(x)={|x 2−x −2|,x ≥aax −6,x <a 是R 上的增函数，∴{a ≥2a 2−6≤a 2−a −2，解得2≤a ≤4．故选D ．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质求出a ，b 的关系和符号是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的关系，判断a ，b 的关系和符号，进而解一元二次不等式即可． 【解答】解：f(x)=(x −2)(ax +b)=ax 2+(b −2a)x −2b ， ∵函数f(x)=(x −2)(ax +b)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即ax 2−(b −2a)x −2b =ax 2+(b −2a)x −2b ， 得−(b −2a)=(b −2a)，即b −2a =0，则b =2a ， 则f(x)=ax 2−4a ， ∵f(x)在(0,+∞)单调递增， ∴a >0，由f(2−x)>0得a(2−x)2−4a >0， 即(2−x)2−4>0，得x 2−4x >0，得x >4或x <0， 即不等式的解集为{x|x >4，或x <0}， 故选：D ．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，考查了数学结合，属于中档题．由f(x+1)=12f(x)得f(x)=2f(x+1)，画出图形利用数形结合求出结果即可，【解答】解：∵f(x+1)=12f(x)，∴f(x)=2f(x+1)当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1)∈[−14,0]，x∈(−1,0]时，x+1∈(0,1]，f(x)=2f(x+1)=2(x+1)x∈[−12,0]，x∈(−2,−1]时，x+1∈(−1,0]，f(x)=2f(x+1)=4(x+2)(x+1)∈[−1,0]，将函数大致图象在数值上画出，如图：x∈(−2,−1]时，令4(x+2)(x+1)=−89，解得：x1=−53，x2=−43，若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≥−89，所以m≥−43，故选：A．11.【答案】3【解析】解：∵3a2+b=1，∴a b√3a =32a3b3a2=32a−a2⋅3b=33a2+b=31=3，故答案为：3．由题意，化简a b√3a=32a3b3a2=32a−a2⋅3b=33a2+b=31=3．本题考查了有理指数幂的化简与求值，属于基础题．12.【答案】2250【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．设出每台彩电的原价，从而可得方程，即可求得结论．【解答】解：设每台彩电的原价是x元，则有：(1+40%)x·0.8−x=270，解得：x=2250，故答案为：2250．13.【答案】(1,43]【解析】解：f(x)=(4−x)(x−2)=−x2+6x−8，其单调递增区间为(−∞,3]，根据题意得(2a,3a−1)⊆(−∞,3]，∴3a−1≤3且2a<3a−1，解得：1<a≤43．故答案为：(1,43].f(x)=(4−x)(x−2)=−x2+6x−8，其单调递增区间为(−∞,3]，由(2a,3a−1)⊆(−∞,3]可解决此题．本题考查二次函数图象及性质，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】6【解析】【解答】解：∵函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且f(f(x)−1x)=2，∴f(x)−1x 为一个常数，令这个常数为n，则有f(x)=n+1x，且f(n)=2．再令x=n可得n+1n =2，解得n=1，因此f(x)=1+1x，所以f(15)=6．故答案为：6．由函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且f(f(x)−1x )=2，知f(x)−1x为一个常数，令这个常数为n，则有f(x)−1x =n，f(n)=2，所以n+1n=2，解得n=1，由此能求出f(15)=6．【分析】本题考查利用函数的单调性求函数值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．15.【答案】(1)函数f(x)=x2+(m−2)x−2m(m∈R)的对称轴为：x=2−m2，因在f(x)在[2,4]上是单调函数，所以有或2−m2≤2或2−m2≥4，解得m≤6或m≥−2；(2)方程x2+(m−2)x−2m=0的两个根为：2，−m．当m=−2时，不等式f(x)<0的解集为空集，当m>−2时，不等式f(x)<0的解集为：(−m,2)，当m<−2时，不等式f(x)<0的解集为：(2,−m)．【解析】(1)结合函数f(x)图象可解决此问题；(2)由方程x2+(m−2)x−2m=0的两个根为：2，−m，再对m进行讨论可解决此问题．本题考查二次函数图象及性质、一元二次不等式解法，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x+bx 2+1是定义域(−1,1)上的奇函数，则有f(0)=b1=0，则b =0；此时f(x)=xx 2+1，为奇函数，符合题意， 故f(x)=xx 2+1．(2)证明：设−1<x 1<x 2<1， f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(1+x 22)−x 2(1+x 12)(1+x 12)(1+x 22)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，又由−1<x 1<x 2<1，则x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，即函数f(x)在(−1,1)上为增函数；(3)根据题意，f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t)⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<−t <1t −1<−t， 解可得：0<t <12，即不等式的解集为(0,12).【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算及不等式求解，属于中档题．(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=b1=0，解可得b 的值，验证即可得答案； (2)根据题意，设−1<x 1<x 2<1，由作差法分析可得结论；(3)根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于{−1<t −1<1−1<−t <1t −1<−t ，解可得t 的取值范围，即可得答案．17.【答案】(1)由题意得，空闲率为m−x m，由于鱼群的年增长量y 和实际养殖量xt 与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k >0)， 所以y =kx ⋅m−x m=kx(1−xm)(0≤x <m)；(2)由(1)可得，y =−km x 2+kx =−km (x −m2)2+km 4，所以当x =m2时，y 取得最大值km 4，即鱼群年增长量的最大值为km 4t ；(3)由题意可得，0≤x +y <m ，即0≤m 2+km 4<m ，所以−2≤k <2，又因为k >0，则0<k <2， 故k 的取值范围是(0,2)．【解析】(1)先求出空闲率，然后利用题意，列出函数关系式即可； (2)利用二次函数的性质求解最值即可； (3)由题意，0≤x +y <m ，即0≤m 2+km 4<m ，求解k 的范围即可．本题考查了函数模型的选择与应用，函数解析式的求解，二次函数性质的应用，不等式的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：令x 1=x 2=1，得f(1)=0，令x 1=x 2=−1，得f(−1)=−12f(1)=0，令x 1=x ，x 2=−1，得f(−x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)， 所以f(x)是奇函数．(2)解：因为f(x 1x 2)=x 1f(x 2)+x 2f(x 1)， 所以f(x 1x 2)x 1x 2=f(x 1)x 1+f(x 2)x 2，则g(x 1x 2)=g(x 1)+g(x 2)，设x 1>x 2>0，则x 1x 2>1，所以g(x1x 2)<0， 因为g(x 1)=g(x 2⋅x 1x 2)=g(x 2)+g(x1x 2)<g(x 2)，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数， 因为g(x)是偶函数， 所以g(|x −2|)>g(|x|)，则{x −2≠0x ≠0|x −2|<|x|，解得1<x <2或x >2， 所以不等式g(x −2)>g(x)的解集为{x|1<x <2或x >2}．【解析】(1)利用赋值法，先求出f(1)和f(−1)的值，再证明f(−x)=−f(x)即可； (2)利用赋值法以及函数单调性的定义，证明函数g(x)的单调性，然后利用偶函数以及函数的单调性转化不等式，求解即可．本题考查了抽象函数的理解与应用，函数奇偶性定义以及性质的运用，函数单调性的证明，对于抽象函数问题，赋值法是常用的解题方法，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．。
甘肃省天水一中2020-2021学年高一数学上学期第一学段考试试题【含答案】
14．已知函数
f
x 在定义域
0,
上是单调函数，若对任意的
x
0,
，都有
f [ f (x) 1] 2, f (1) x 则 5 的值是___．
三．解答题（每题 10 分，共 40 分）
f x x2 m 2x 2mm R
15．
(1)已知
f
x 2, 在
4 上是单调函数,求
m
的取值范围；
C． (1,0) (1,)
D． (, 1) (0,1)
f (x) 1 x2
x3 3
5．函数
的奇偶性是（）
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
6．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示，
则下列说法正确的是（）
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
f x x2 bx c f x 2
f 2 a f 4
7．已知二次函数
，且
是偶函数，若满足
，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 2, 2
B． , 2 2,
C．由 b 的范围决定
D．由 b ， c 的范围共同决定
f
(
x)
x2
C．{0,1}
D．{0,1, 2}
f x g x
2．下列各组函数中，
与
相等的是（ ）
f x x3 g x x2 x 1
A．
x，
x 1
B．
f
x
x
1
，
g
x
x2 1 x 1
2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案
2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•设全集为R，集合A = {x∖0<x<2}, B = {xlx≥l),则An(QB)=( )A.{xlθ<x≤l)B. {xlθ<x<l)C. {xll≤x<2}D. {xlθ<J<2)【答案】B【解析】由题意可得C R B = {x∣x<l}, 结合交集的泄义可得An (C R B) = {O<X<1},故本题选择B选项.2.已知幕函数/(X)过点(2,丄)，则/⑴在其定义域内( )4A.为偶函数B.为奇函数C.有最大值D.有最小值【答案】A【解析】设幕函数为fM = x∖代入点(2，1),即2u=l, Λf∕ = -2,4 4f(x) = χ-2,定义域为(-00,0)U(O,+OO),为偶函数且/(x) = x^2∈(0,+oo),故选A.3.幕函数f(x) = (m2-2m + ∖)x2m~l在(0,乜)上为增函数，则实数加的值为( )A. 0B. 1C. 1 或2D. 2【答案】D【解析】因为函数/(X)是幕函数，所以加2_2加+ 1 =],解得加=0或Hl = 2, 因为函数/(X)在(0,-KC)上为增函数，所以2∕w-l>0,即w>∣, I n = 2, 故选D・4.函数f(x) =Ig(X2-I)V-X2 +x + 2的定义域为(A. (-∞厂2) U(I,+∞) B ・(一2,1) C. (-∞,-l)U(2,+∞)D. (1,2)【答案】Dx 2-l>O 【解析】?^l<x<2, A 函数的左义域为(1,2)・【答案】Cα-lvθ OVaVl,得 ≥β≤"<l,故选 C.22(α-l)-2d ≥ IOg (I 2下而各组函数中是同一函数的是(^(Λ) = √X +1 √x -l【答案】A【解析】函数y = 4-2?与V = -X √Σ27的定义域均为(-O 0],且 y = √=2√ =^J-2x ∙ y/7 = -Xy∣-2x ‘所以两函数对应法则相同，故A 正确:函数V = (√7)2的左义域为[O, +S),函数V=IxI 的左义域为R , 所以两函数不是同一函数，故B 错误；2函数/(x) = X 的定义域为R ,函数g (X)=—的左义域为{x∣x≠O}t 所以两函数不是同一函数，故C 错误;5.若函数/U)=在R 上单调递减，则实数d 的取值范用是(-x fc +x+2>0【解析】若函数∕ω =(G-I)X-2α, X<2y = J-2χ3 与 y = -x√-2x(G-I)X -2G , x<2函数^(X) = √7+T.√7^T 的上义域为［i,4∙s),所以两函数不是同一函数，故D 错误,【解析］V fM 与gd)都是偶函数,∙∙J(χ)∙g(χ)也是偶函数, 由此可排除A 、D, 又由 X→-H>o 时，/(x)∙^(x)→→0 ,可排除 B, 故选C.8・IOg W 2 = «, IOg Jπ3 = ⅛,则加2网的值为( )A. 6B ・ 7 C. 12 D ・ 18【答案】C【解析】Tlog 川2 = α, log fπ3 = Z?, ∙∙∙"{=2, =3，Irr a ^ = 〃严〃/ = (Hi o )2Hi h =22×3 = 12,故选 C.9.若函数/(x) = log l (-x 2+4x + 5)在区间(3∕n -2√π + 2)内单调递增.则实数加的取值范围 为()函数/(x) = √2√^T的泄义域为［芈2 ,+oθ)U(-°°,-故选A.7.函数/(x) = log 2g(x) = -x 2+2 ,则函数f(x)∙g(x)的图象大致()【答案】C【答案】C【解析】解不等式-χ2+4x+5>0,即4x-5v0,解得一1VXV5, 内层函数W =→2+4.V + 5在区间(72)上单调递增，在区间(2,5)上单调递减, 而外层函数y = Iog 1 "在左义域上为减函数，2由复合函数法可知，函数fW = IOg I (→∙2÷4x + 5)的单调递增区间为(2,5), 2由于函数f(x) = IOg I (-X 2+ 4Λ∙+5)在区间(3m- 2, m + 2)上单调递增，-2≥24所以，3ιn -2<m + 2 9 解得一 Smv2,3//? + 2 ≤ 5 4因此,实数加的取值范围是［-,2),故选C.【答案】Br的+3 = 4 U-IOgM = 4【解析】因为/(α)=4,所以< C 或(C a≤0a>0故选B.11.已知定义在R 上的奇函数/(X)满足/(x+2) = -∕(x),当时［0,1］ , /(x) = 2x -l,则()A. /⑹ nV*)B. /⑹ vf(¥)v/(_7)22X^, +310.设函数fM = ↑t IIl-IOg2 九4 B. ［亍4 C. l-,2)弋，若/(¢/) = 4,则实数d 的值为( x>0A.B.D.1 16a≤0 a>0C. /(-7) < /(y) < /(6)D. /(y) < /(6) < /(-7)【答案】B【解析】由题意得,因为/(x+2) = -∕(x),则/(x+4) = ∕(x), 所以函数/S)表示以4为周期的周期函数， 又因为/⑴ 为奇函数，所以/(-X) =-/U),所以/(6) = /(4 + 2) = /(2) = -/(O) = 0, /(-7) = /(-8 + 1) = /(1) = 1,12.已知函数/(Λ-) = Iog 1 (?-av-«)对任意两个不相等的实数Λ-p x 2∈(-σ□,-l),都满3 2足不等式"" >0,则实数G 的取值范围是()A- I -I ^) B- (^-Il c∙ hl 41D ∙ [7》【答案】C瞬析嘶 詈严2>。
甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学(兰天班)试题 答案和解析
【解析】
分析：讨论函数 的性质，可得答案.
详解：函数 的定义域为 ，且 即函数 是奇函数，
又 在 都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
8．C
【解析】
由 在区间 是单调减函数可知， ，又 ，故选 .
考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
A． B．
C． D．
4．定义在 上的奇函数 在 上单调递减，若 ，则满足 的 的取值范围是（）.
A． B．
C． D．
5．方程 在区间 上的解的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，则
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
9．A
【分析】
在菱形 中，求得 ，再根据向量的线性运算，得到 ，再根据向量的数量积的运算，即可求解．
【详解】
由题意，因为 ， ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 .故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的三角形法则，以及准确利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值；
（2）将函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最小值.
17．已知向量 满足 ， ， 与 的夹角为
（1）求 与 的夹角的余弦值；
（2）当 取得最小值时，试判断 与 的位置关系，并说明理由.
甘肃省天水一中2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题 答案和解析
甘肃省天水一中【最新】高一上学期开学考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．不等式23x -<的解为（ ）A ．{}51x x x <-或B ．{}|15x x -<<C ．{}|1x x <-D ．{}5x x2．两圆的半径分别是方程28120x x -+=的两个根，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切3．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）A ．180，160B ．160，180C ．160，160D ．180，180 4．下列等式成立的是（ ）A =B a b =-C ．=D =5．在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，等边ΔABC 的周长为12，CD 是边AB 上的中线，E 是CB 延长线上一点，且BD =BC ，则ΔCDE 的周长为（ ）A ．6+4√3B ．18+12√3C ．6+2√3D ．18+4√37．函数y ＝21x x --的图象是 ( ) A ． B ．C ．D ．8．不等式2601x x x --<-的解集为（ ） A ．{}|21x x x -或 B ．{}|213x x x <-<<或C ．{}|213x x x -<或D ．{}|2113x x x -<<<<或9．ABC ∆三边,,a b c 满足222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形10．若关于x 方程()22120x m x m +-+-=的一个实根小于-1，另一个实根大于1，则实数m 的取值范围是（ ）A．( B ．()2,0- C ．()2,1- D ．()0,1二、填空题11．计算()0034sin451π-+=__________. 12．已知x y ==,则22353x xy y -+=___________. 13．如下图ABC ∆中, P 是边AB 上一点,若ACP ABC ∆~∆,且:2:1AP PB =,则:BC PC =_________.14．若12,x x 是方程22410x x -+=的两个根,则1221x x x x +=__________.三、解答题15．（1）若1m =时，求关于x 的不等式()2220x m x m -++>的解； （2）求解关于x 的不等式()2220x m x m -++>，其中m 为常数. 16．已知()2f x x bx c =++,不等式()0f x <的解集为()0,5. (1)求()f x 的解析式.(2)若对于任意的11x -≤≤,不等式()2t f x -≤恒成立,求t 的范围.参考答案1．B【解析】分类讨论：当x −2⩾0时，原不等式化为x −2<3，解得：x <5，即2⩽x <5，当x −2<0时,原不等式化为：−(x −2)<3，解得：x >−1，即−1<x <2，综上可得，不等式的解集为：{x |−1<x <5}.本题选择B 选项.2．C【解析】∵方程x 2−8x +12=0，∴可转化为(x −2)(x −6)=0，解得x 1=2，x 2=6.∵两圆半径之和为8，两圆半径之差为4；∵圆心距d =3，6-2>3；∴两圆内含。
2020-2021学年甘肃省天水一中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年甘肃省天水一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x 2+2x −3}，B ={−2,0，2，3}，M =A ∩B ，则M 的子集共有( )A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个2. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则t =( )A. 5B. 4C. 3D. 23. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=3，a 11+a 12+a 13=12，则a 5+a 9=( )A. 15B. 10C. 5D. 14. 已知sinα+3cosα3cosα−sinα=5，则sin 2α−sinαcosα的值是( )A. 25B. −25C. −2D. 25. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a >b >0，则下列结论错误的是( )A. 1a <1bB. log 2(a −b)>0C. a 12>b 12D. 3a >3b6. 一个等比数列{a n }的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为( )A. 63B. 108C. 75D. 837. 已知函数f(x)=√3sin(2x +π3)，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象的一个对称中心为(π6,0) C. 函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π3D. 函数f(x)的图象可以由函数y =√3cos2x 的图象向右平移π12个单位长度得到8. △ABC 中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinAsinB =ac ，(b +c +a)(b +c −a)=3bc ，则△ABC 的形状为( )A. 等边三角形B. 等腰非等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9. 已知正项等比数列{a n }中a 9=9a 7，若存在两项a m 、a n ，使a m a n =27a 12，则1m +16n的最小值为( )A. 5B. 215C. 516D. 65410. 已知点P(x,y)在曲线C ：x 2+y 2−2x =0上，则x −2y 的最大值为( )A. 2B. −2C. 1+√5D. 1−√511. 已知函数f(x)定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意x 1≠x 2∈(−4,0)，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0；②f(x)=−f(x +4)；③y =f(x +4)为偶函数，则( )A. f(2019)>f(15)>f(2)B. f(15)>f(2)>f(2019)C. f(2)>f(15)>f(2019)D. f(2)>f(2019)>f(15)12. 已知函数f(x)=e x +ax −3，其中a ∈R ，若对于任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1<x 2，都有x 2⋅f(x 1)−x 1⋅f(x 2)<a(x 1−x 2)成立，则a 的取值范围是( )A. [3,+∞)B. [2,+∞)C. (−∞,3]D. (−∞,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 复数z =21+i ，则|z|=______．14. 已知实数x ，y ，则{x ≤1,x +y −2≥0,x −y +2≥0,则z =2x −y 的最大值为______．15. 已知等差数列{a n }前n 项和S n ，且S 2019>0，S 2020<0，若a k a k+1<0，则k 的值为______．16. 如图，在△ABC 中，cos∠BAC =14，点D 在线段BC 上，且BD =3DC ，AD =√152，则△ABC 的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知命题p ：∀x ∈R ，tx 2+x +t ≤0．(1)若p 为真命题，求实数t 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，当p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，求实数t 的取值范围．18.已知在等差数列{a n}中，a2+a4=10，a5=9．(1)求数列{a n}的通项公式，写出它的前n项和S n；(2)若c n=2a n⋅a n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19.设函数f(x)=(sinx+cosx)2+√3sin(2x+5π2)．(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3asinA =bcosB，求f(A)的取值范围．20.在ABC中，角A、B、C所对的边长是a、b、c，向量m⃗⃗⃗ =(b,c)，且满足|m⃗⃗⃗ |2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，求△ABC的周长的最大值．21.若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2n−1，求数列{b n}的前n顶和T n．a n+lnx−1(a∈R)．22.已知函数f(x)=ax−1(1)若函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围；<0．(2)若a>0，函数f(x)在x=t处取得极小值，证明：2f(t)−t+3t答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x|x 2+2x −3≥0}={x|x ≤−3或x ≥1}，B ={−2,0，2，3}， ∴M =A ∩B ={2,3}， ∴M 的子集共有：22=4个． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可求出M ，然后根据子集个数的计算公式即可得出M 的子集个数．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1)， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2,−1)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以2t −4−2=2，解得t =4． 故选：B ．利用已知条件，求出数量积的两个向量，然后利用数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算与应用，考查计算能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ， 若a 1+a 2+a 3=3，a 11+a 12+a 13=12，则有a 1+a 2+a 3=3a 2=3，a 11+a 12+a 13=3a 12=12，变形可得a 2=1，a 12=4， 则d =a 12−a 212−2=4−110=310，而a 5+a 9=2a 7=2(a 2+5d)=2×(1+5×310)=5， 故选：C ．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的性质可得a 1+a 2+a 3=3a 2=3，a11+a12+a13=3a12=12，变形可得a2=1，a12=4，求出公差d，又由a5+a9= 2a7=2(a2+5d)，计算可得答案．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列通项公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵sinα+3cosα3cosα−sinα=5，∴tanα+33−tanα=5，∴tanα=2．∴sin2α−sinαcosα=sin2α−sinαcosα sin2α+cos2α=tan2α−tanα tan2α+1=4−24+1=25，故选：A．由已知条件求出tanα值，化简sin2α−sinαcosα=tan2α−tanα tan2α+1，把tanα值代入运算．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，1的代换，把所求的sin2α−sinαcosα变形为sin2α−sinαcosα sin2α+cos2α是解题的难点．5.【答案】B【解析】解：令a=2，b=1，得选项B错误，故选：B．根据特殊值法判断即可．本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．6.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60−48=12，∴第三个n项的和为：12248=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n 项的和和第二个n 项的和，求得第三个n 项的和，进而把前2n 项的和加上第三个n 项的和，即可求得答案．本题主要考查了等比数列的前n 项的和．解题的关键是利用等比数列每k 项的和也成等比数列的性质．7.【答案】D【解析】解：对于函数f(x)=√3sin(2x +π3)，它的周期为2π2=π，故A 错误； 当x =π6时，求得f(x)=32，故f(x)的图象的对称中心不会是(π6,0)，故B 错误； 令x =π3，求得f(x)=0，故f(x)的图象的对称轴不会是x =π3，故C 错误； 把函数y =√3cos2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y =√3cos(2x −π6)=√3sin(2x +π3)的图象， 故选项D 正确， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵(b +c +a)(b +c −a)=3bc ， ∴(b +c)2−a 2=3bc ， ∴b 2+c 2+2bc −a 2=3bc ， ∴b 2+c 2−a 2=bc ， 由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，A ∈(0,π)，∴A =π3，∵△ABC 中，由正弦定理得：asinA =bsinB ， ∴sinAsinB =ab ，又sinAsinB =ac ， ∴ab =ac ，∴b=c，综合可知三角形为等边三角形．故选：A．把(b+c+a)(b+c−a)=3bc整理课求得b2+c2−a2和bc的关系式，代入余弦定理中可求得cos A的值，进而取得A，同时利用正弦定理和sinAsinB =ac整理后可知b=c，最后可判断出三角形的形状．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成角和边的问题的转化．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，还考查了利用乘1法在基本不等式的应用条件配凑中的应用，属于中档试题．由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正项等比数列{a n}中a9=9a7，所以q2=a9a7=9，即q=3，若存在两项a m、a n，使a m a n=27a12，则a12⋅3n+m−2=27a12，所以m+n=5，m>0，n>0，m≠n，则1m +16n=15(m+nm+16(m+n)n)=15(17+nm+16mn)≥15(17+8)=5，当且仅当nm =16mn且n+m=5即m=1，n=4时取等号，故选：A．10.【答案】C【解析】解：根据题意，设x−2y=t，则有x=2y+t，可以看成一条直线，将其代入圆的方程x2+y2−2x=0中，可得5y2+(4t−4)y+t2−2t=0，则有△≥0，可得t2−2t−4≤0，解−√5+1≤t≤√5+1；则x−2y的最大值为√5+1；故选：C．根据题意，设x−2y=t，将其代入圆的方程中，变形，由直线与圆的位置关系分析可得△≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，把几何问题转化为代数问题是解题的关键，是中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，若对任意的x1，x2∈(−4,0)，当x1<x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0，则函数f(x)在区间(−4,0)上为增函数，若f(x+4)=−f(x)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为8，故(4,8)上也递增，若y=f(x+4)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=4对称，∵f(2)=f(6)，f(15)=f(1)=f(7)，f(2019)=f(252×8+3)=f(3)=f(5)，又由函数f(x)在区间[4,8]上为增函数，则有f(2019)<f(2)<f(15)．故选：B．根据题意，由①分析可得函数f(x)在区间(−4,0)上为增函数，由②分析可得函数f(x)的周期为8，由③分析可得函数f(x)的图象关于直线x=−4和x=4对称，进而分析可得f(2)=f(6)，f(15)=f(7)，f(2019)=f(5)，结合函数在[4,8]上的单调性，分析可得答案．本题考查抽象函数的应用，关键是依据题意，分析函数的单调性和周期性．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．将不等式变形为：f(x1)+ax1<f(x2)+ax2恒成立，构造函数ℎ(x)=f(x)+ax，转化为当x1<x2时，ℎ(x1)<ℎ(x2)恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2，都有x2⋅f(x1)−x1⋅f(x2)<a(x1−x2)成立，∴不等式等价为f(x1)+ax1<f(x2)+ax2恒成立，令ℎ(x)=f(x)+ax，则不等式等价为当x1<x2时，ℎ(x1)<ℎ(x2)恒成立，即函数ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数；ℎ(x)=e x+ax−3+ax，则ℎ′(x)=xe x−e x+3−ax2≥0在[1,+∞)上恒成立；∴xe x−e x+3−a≥0；即a−3≤xe x−e x恒成立，令g(x)=xe x−e x，∴g′(x)=xe x>0；∴g(x)在[1,+∞)上为增函数；∴g(x)>g(1)=0；∴3−a≥0；∴a≤3．∴a的取值范围是(−∞,3]．故选：C．13.【答案】√2【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．【解答】解：∵复数z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i．∴|z|=√12+(−1)2=√2．故答案为：√2．14.【答案】1第11页，共17页【解析】解：由z =2x −y 得y =2x −z作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小，此时z 最大， 由{x =1x +y −2=0，解得{x =1y =1，即A(1,1)． 代入目标函数z =2x −y ， 得z =2×1−1=1，∴目标函数z =2x −y 的最大值是1． 故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键．15.【答案】1010【解析】解：等差数列{a n }中，S 2019=2019×(a 1+a 2019)2>0，所以a 1+a 2019>0，即2a 1010>0，即a 1010>0， 同理S 2020=2020×(a 1+a 2020)2<0，所以a 1+a 2020<0，即a 1011<0， 所以a 1010⋅a 1011<0， 又因为a k a k+1<0， 所以k =1010． 故答案为：1010．利用等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质可得a 1010>0，a 1011<0，结合a k a k+1<0，可求k 的值．本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，掌握等差数列的性质是解题的关键，属于基础题．16.【答案】√15【解析】解：设∠BAD=θ，则0<θ<∠BAC．∵BD=3DC，AD=√152，∴S△ABD=34S△ABC，∴12AB⋅ADsinθ=34×12×AB⋅ACsin∠BAC，∴AC=83sinθ，同理AB=8sin(∠BAC−θ)，∴S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=8√153sinθsin(∠BAC−θ)=8√153sinθ(√154cosθ−14sinθ)=5sin2θ+√153cos2θ−√153=√153(√15sin2θ+cos2θ)−√153=√153[4sin(2θ+φ)−1]，(其中tanφ=√1515)，∵0<θ<∠BAC，∴当2θ+φ=π2时，sin(2θ+φ)max=1，∴(S△ABC)max=√15．故答案为：√15．设∠BAD=θ，则0<θ<∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC=1 2AB⋅AC⋅sin∠BAC=√153[4sin(2θ+φ)−1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴当t=0时，x≤0，与x∈R矛盾，舍去；当t<0且△=1−4t2≤0，解得t≤−12．∴p为真命题时，t≤−12．第12页，共17页第13页，共17页(2)∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，，即，∴∃x ∈[2,16]，t ≥−1log 2x 有解．又x ∈[2,16]时，−1log2x∈[−1,−14]，∴t ≥−1，∴q 为真命题时，t ≥−1．∵p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真， 当p 假q 真，有{t ≥−1t >−12解得t >−12； 当p 真q 假，有{t <−1t ≤−12解得t <−1；∴p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，t <−1或t >−12．【解析】(1)利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可． (2)求出命题q 成立时，t 的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可． 本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．18.【答案】解：(1)设首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }中，a 2+a 4=10，a 5=9． 所以{a 2+a 4=10a 5=9，整理得{2a 1+4d =10a 1+4d =9，解得{a 1=1d =2，所以a n =1+2(n −1)=2n −1． 则S n =1+3+5+⋯+(2n −1)=n(1+2n−1)2=n 2．(2)由(1)得c n =2an ⋅a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，所以T n =1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．【解析】(1)首先利用等差数列的性质求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式和数列的和；(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=2sinxcosx +√3cos2x +1=sin2x +√3cos2x +1第14页，共17页=2sin(2x +π3)+1，所以函数f(x)的最小正周期为T =2π2=π；令2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)； (2)在锐角△ABC 中，由√3a sinA =b cosB，利用正弦定理得√3bsinB=bcosB ， 所以tanB =√3，其中A ∈(0,π)， 所以B =π3； 由{0<A <π20<2π3−A <π2， 得π6<A <π2， 所以2A +π3∈(2π3,4π3)，所以sin(2A +π3)∈(−√32,√32)，所以2sin(2A +π3)+1∈(1−√3,1+√3)， 即f(A)的取值范围是(1−√3,1+√3)．【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间； (2)利用正弦定理求出tan B 和B 的值，再利用三角恒等变换求出f(A)的取值范围． 本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)向量m ⃗⃗⃗ =(b,c)，且满足|m ⃗⃗⃗ |2=a 2+bc ， 可得b 2+c 2=a 2+bc ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)， ∴A =π3．(2)由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−3bc ≥(b +c)2−34(b +c)2=14(b+c)2，当且仅当b=c时取等号，∴(b+c)2≤12，∴b+c≤2√3∴△ABC的周长为a+b+c≤√3+2√3=3√3．【解析】(1)根据向量的模和余弦定理即可求出，(2)利用余弦定理和基本不等式即可求出．本题考查了余弦定理和基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1①，当n=1时，解得a1=1，当n≥2时，S n−1=2a n−1−1②，①−②得：a n=2a n−2a n−1，所以a na n−1=2(常数)，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以a n=1×2n−1=2n−1．(2)由于b n=2n−1a n =(2n−1)⋅(12)n−1，所以T n=1×120+3×(12)1+⋯+(2n−1)⋅(12)n−1①，1 2T n=1×121+3×(12)2+⋯+(2n−1)⋅(12)n②，①−②得：12T n=1+2(12+14+⋯+12n−1)−(2n−1)⋅12n=1+2×12(1−12n−1)1−12−(2n−1)⋅12n，整理得T n=6−2n+32n−1．【解析】(1)利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．第15页，共17页22.【答案】解：(1)∵函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0,1)上恒成立，即f′(x)=−a(x−1)2+1x≥0，∵x∈(0,1)，∴a≤(x−1)2x =x+1x−2在(0,1)上恒成立，令g(x)=x+1x−2，x∈(0,1)，则g′(x)=1−1x2<0，故g(x)在(0,1)递减，g(x)>g(1)=0，故a≤0时，f(x)在(0,1)递增，故a的取值范围是(−∞,0]；(2)证明：∵函数f(x)在x=t处取极小值，故f′(t)=0即f′(t)=−a(t−1)2+1t=0，即a=(t−1)2t ，故f(t)=t−1t+lnt−1，f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=−a(x−1)2+1x=x2−(a+2)x+1x(x−1)2，∵a>0，∴△=(a+2)2−4>0，设f′(x)=0的两根为x1，x2(x1<x2)，解得：x1=a+2−√a2+4a2，x2=a+2+√a2+4a2，由x1+x2=a+2，x1x2=1，得0<x1<1<x2，故x∈(0,x1)，(x2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(x1,1)，(1,x2)时，f′(x)<0，∵f(x)在x=t处取得极小值，故t>1，要证2f(t)−t+3t <0，只需证明2lnt−t+1t<0(t>1)成立即可，令ℎ(t)=2lnt−t+1t<0(t>1)，则ℎ′(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t2<0，故ℎ(t)在(1,+∞)递减，ℎ(t)<ℎ(1)=0，故2f(t)−t+3t<0．【解析】(1)求出函数的导数，问题转化为a≤(x−1)2x =x+1x−2在(0,1)上恒成立，令g(x)=x+1x−2，x∈(0,1)，根据函数的单调性求出a的范围即可；(2)求出a=(t−1)2t ，故f(t)=t−1t+lnt−1，问题转化为只需证明2lnt−t+1t<0(t>1)第16页，共17页<0(t>1)，根据函数的单调性证明即可．成立即可，令ℎ(t)=2lnt−t+1t本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．第17页，共17页。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
2．函数 在区间 内的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．某商品进货价格为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的售价应是（）
【详解】
解： ， ， ，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.
2．B
【解析】
由表达式得到原函数是增函数，根据函数零点存在定理得到 ， ，
故函数在这个区间上一定有一个零点，由函数单调性知到零点是唯一的．
故答案选B.
3．A
【分析】
先设商品的售价应为 元,根据题意得利润为： ，再利用二次函数求最值求解.
【详解】
设商品的售价应为 元,
则利润为：
当 时，取得取大值，
故选A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．A
【分析】
由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角．
【详解】
由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数 的定义域是___________.
12．计算： __________．
13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的体积为_________.
14．给出下列四个命题：
（1）函数 的图象过定点 ；
（2）函数 与函数 互为反函数；
综上可得， .
故选：A.
【点睛】
本题考查对数函数的图象和性质，注意运用复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于中档题.
10．C
【解析】
作函数 图像，由图可知所有交点的横坐标之和为 ，选C.
点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需考虑函数的单调性．
精确度为 ，且 ，故方程 的一个近似根为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了用二分法求方程的近似解问题，属于基础题.
8．A
【解析】
根据给定的三视图可知，该几何体是一个底面为直角边分别为 和 的直角三角形，侧棱为 的直三棱柱，以及一个底面半径为 ，母线长为 的半个圆柱的组合体，所以该几何体的体积为 ，故选A．
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
8．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
9．已知 且 在 ， 上是增函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． 0， C． ， D． ，
10．已知函数 与 ，则它们所有交点的横坐标之和为（ ）
∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．
连接FB1，
在三角形FB1G中，AA1＝AB＝2，AD＝1，
B1F
B1G ，
FG ，
B1F2＝B1G2+FG2．
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°．
故选A．
【点睛】
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
（3）若 ，则 的取值范围是 或 ；
（4）函数 在区间 ， 上单调递减，则 的范围是 ；
其中所有正确命题的序号是___________.
三、解答题
15．已知指数函数 （ ，且 ）．
（1）求 的反函数 的解析式；
（2）解不等式： ．
16．已知函数 定义域为 .
（1）求定义域 ；
（2）当 时，求 的最值及相应的 的值.
【详解】
由于 ，故 互为倒数，而 ， ，故 的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C.
【点睛】
本小题主要考查对数的加法运算，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.
7．C
【分析】
由表中参考数据可得， ， ，又精确度为 ，由二分法定义即可得答案.
【详解】
由表中参考数据可得， ， ，
所以 ，由二分法定义得零点应该存在于区间 内，又
17．已知函数 ， ,
⑴若 有零点，求m的取值范围；
⑵确定m的取值范围，使得 有两个相异实根.
18．已知 在区间 ， 上的值域 ， .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得到.
9．A
【分析】
令 ，则 ，讨论 ， ，运用对数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，解不等式即可得到所求范围.
【详解】
且 在 ， 上是增函数，
若 ，则 在 递减，
可得 在 ， 递减，
即有 ，且 ，
解得 且 ，可得 ；
若 ，则 在 递增，
可得 在 ， 递增，
即有 ，且 ，
解得 且 ，可得 .
A．55B．50C．56D．48
4．如图，长方体 中， ， ，点 分别是 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成的角是
A． B． C． D．
5．已知函数 是定义域上的单调增函数，则 的取值范围是（）
A． ， B． C． D．
6．已知 ,函数 与函数 的图象可能是( )
A． B． C． D．
7．若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
5．A
【分析】
利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】
解：函数 是定义域上的单调增函数，
可得 ，
解得： ， .
故选：A.
【点睛】
本题考查分，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
6．C
【分析】
根据 得到 互为倒数，故 的单调性相同，由此得出正确选项.