甘肃省天水一中2020-2021学年高一(上)期中数学试题
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A．55B．50C．56D．48
4．如图，长方体 中， ， ，点 分别是 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成的角是
A． B． C． D．
5．已知函数 是定义域上的单调增函数，则 的取值范围是（）
A． ， B． C． D．
6．已知 ,函数 与函数 的图象可能是( )
A． B． C． D．
7．若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
精确度为 ，且 ，故方程 的一个近似根为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了用二分法求方程的近似解问题，属于基础题.
8．A
【解析】
根据给定的三视图可知，该几何体是一个底面为直角边分别为 和 的直角三角形，侧棱为 的直三棱柱，以及一个底面半径为 ，母线长为 的半个圆柱的组合体，所以该几何体的体积为 ，故选A．
【详解】
设商品的售价应为 元,
则利润为：
当 时，取得取大值，
故选A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．A
【分析】
由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角．
【详解】
由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，
17．已知函数 ， ,
⑴若 有零点，求m的取值范围；
⑵确定m的取值范围，使得 有两个相异实根.
18．已知 在区间 ， 上的值域 ， .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得到.
综上可得， .
故选：A.
【点睛】
本题考查对数函数的图象和性质，注意运用复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于中档题.
10．C
【解析】
作函数 图像，由图可知所有交点的横坐标之和为 ，选C.
点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需考虑函数的单调性．
那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
8．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
9．已知 且 在 ， 上是增函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． 0， C． ， D． ，
10．已知函数 与 ，则它们所有交点的横坐标之和为（ ）
9．A
【分析】
令 ，则 ，讨论 ， ，运用对数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，解不等式即可得到所求范围.
【详解】
且 在 ， 上是增函数，
若 ，则 在 递减，
可得 在 ， 递减，
即有 ，且 ，
解得 且 ，可得 ；
若 ，则 在 递增，
可得 在 ， 递增，
即有 ，且 ，
解得 且 ，可得 .
5．A
【分析】
利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】
解：函数 是定义域上的单调增函数，
可得 ，
解得： ， .
故选：A.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性的应用，指数函数以及对数函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
6．C
【分析】
根据 得到 互为倒数，故 的单调性相同，由此得出正确选项.
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数 的定义域是___________.
12．计算： __________．
13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的体积为_________.
14．给出下列四个命题：
（1）函数 的图象过定点 ；
（2）函数 与函数 互为反函数；
（3）若 ，则 的取值范围是 或 ；
（4）函数 在区间 ， 上单调递减，则 的范围是 ；
其中所有正确命题的序号是___________.
三、解答题
15．已知指数函数 （ ，且 ）．
（1）求 的反函数 的解析式；
（2）解不等式： ．
16．已知函数 定义域为 .
（1）求定义域 ；
（2）当 时，求 的最值及相应的 的值.
【详解】
解： ， ， ，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.
2．B
【解析】
由表达式得到原函数是增函数，根据函数零点存在定理得到 ， ，
故函数在这个区间上一定有一个零点，由函数单调性知到零点是唯一的．
故答案选B.
3．A
【分析】
先设商品的售价应为 元,根据题意得利润为： ，再利用二次函数求最值求解.
∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．
连接FB1，
在三角形FB1G中，AA1＝AB＝2，AD＝1，
B1F
B1G ，
FG ，
B1F2＝B1G2+FG2．
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°．
故选A．
【点睛】
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
甘肃省天水一中2020-2021学年高一（上）期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
2．函数 在区间 内的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．某商品进货价格为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的售价应是（）
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对几何体直观图的影响.
【详解】
由于 ，故 互为倒数，而 ， ，故 的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C.
【点睛】
本小题主要考查对数的加法运算，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.
7．C
【分析】
由表中参考数据可得， ， ，又精确度为 ，由二分法定义即可得答案.
【详解】
由表中参考数据可得， ， ，
所以 ，由二分法定义得零点应该存在于区间 内，又
4．如图，长方体 中， ， ，点 分别是 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成的角是
A． B． C． D．
5．已知函数 是定义域上的单调增函数，则 的取值范围是（）
A． ， B． C． D．
6．已知 ,函数 与函数 的图象可能是( )
A． B． C． D．
7．若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
精确度为 ，且 ，故方程 的一个近似根为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了用二分法求方程的近似解问题，属于基础题.
8．A
【解析】
根据给定的三视图可知，该几何体是一个底面为直角边分别为 和 的直角三角形，侧棱为 的直三棱柱，以及一个底面半径为 ，母线长为 的半个圆柱的组合体，所以该几何体的体积为 ，故选A．
【详解】
设商品的售价应为 元,
则利润为：
当 时，取得取大值，
故选A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．A
【分析】
由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角．
【详解】
由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，
17．已知函数 ， ,
⑴若 有零点，求m的取值范围；
⑵确定m的取值范围，使得 有两个相异实根.
18．已知 在区间 ， 上的值域 ， .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得到.
综上可得， .
故选：A.
【点睛】
本题考查对数函数的图象和性质，注意运用复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于中档题.
10．C
【解析】
作函数 图像，由图可知所有交点的横坐标之和为 ，选C.
点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需考虑函数的单调性．
那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
8．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
9．已知 且 在 ， 上是增函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． 0， C． ， D． ，
10．已知函数 与 ，则它们所有交点的横坐标之和为（ ）
9．A
【分析】
令 ，则 ，讨论 ， ，运用对数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，解不等式即可得到所求范围.
【详解】
且 在 ， 上是增函数，
若 ，则 在 递减，
可得 在 ， 递减，
即有 ，且 ，
解得 且 ，可得 ；
若 ，则 在 递增，
可得 在 ， 递增，
即有 ，且 ，
解得 且 ，可得 .
5．A
【分析】
利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】
解：函数 是定义域上的单调增函数，
可得 ，
解得： ， .
故选：A.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性的应用，指数函数以及对数函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
6．C
【分析】
根据 得到 互为倒数，故 的单调性相同，由此得出正确选项.
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数 的定义域是___________.
12．计算： __________．
13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的体积为_________.
14．给出下列四个命题：
（1）函数 的图象过定点 ；
（2）函数 与函数 互为反函数；
（3）若 ，则 的取值范围是 或 ；
（4）函数 在区间 ， 上单调递减，则 的范围是 ；
其中所有正确命题的序号是___________.
三、解答题
15．已知指数函数 （ ，且 ）．
（1）求 的反函数 的解析式；
（2）解不等式： ．
16．已知函数 定义域为 .
（1）求定义域 ；
（2）当 时，求 的最值及相应的 的值.
【详解】
解： ， ， ，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.
2．B
【解析】
由表达式得到原函数是增函数，根据函数零点存在定理得到 ， ，
故函数在这个区间上一定有一个零点，由函数单调性知到零点是唯一的．
故答案选B.
3．A
【分析】
先设商品的售价应为 元,根据题意得利润为： ，再利用二次函数求最值求解.
∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．
连接FB1，
在三角形FB1G中，AA1＝AB＝2，AD＝1，
B1F
B1G ，
FG ，
B1F2＝B1G2+FG2．
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°．
故选A．
【点睛】
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
甘肃省天水一中2020-2021学年高一（上）期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
2．函数 在区间 内的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．某商品进货价格为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的售价应是（）
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对几何体直观图的影响.
【详解】
由于 ，故 互为倒数，而 ， ，故 的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C.
【点睛】
本小题主要考查对数的加法运算，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.
7．C
【分析】
由表中参考数据可得， ， ，又精确度为 ，由二分法定义即可得答案.
【详解】
由表中参考数据可得， ， ，
所以 ，由二分法定义得零点应该存在于区间 内，又