《直线与平面、平面与平面平行的性质定理》

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直线和平面平行,平面和平面平行的性质

直线和平面平行,平面和平面平行的性质

证明: AB // CD 过AB和CD可作平面 , 且 AC, BD. // AC // BD 故四边形ABCD为平行四边形. 即有AB CD.
B

A
D
C

6、设 // ,A , 过点A作直线 l // , 则l与的位置关系如何?为什么?
面面平行性质定理:
面面平行
线线平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
小结
讲授新课:
线面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
l // l m
β
l
l // m
m
简记为: “线面平行,则线线平行” 作用:判定直线与直线平行的重要依据。 关键: 寻找平面与平面的交线。
α
例1.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
作用: 判定直线与平面平行的重要依据。
简记为: 线线平行,则线面平行。
新课引入:
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题(即所需条件);反之,在直 线与平面平行的条件下,会得到什么结论?
问题讨论:
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a a
b
b α
c

a
c
b
a
c
a // c b // c
a // b
c
b
b //
线面平行
线线平行
判定定理 线面平行
课堂小结:
1.直线与平面平行的性质定理 a ∥ b. a b
性质定理的运用. 2.判定定理与性质定理展示的数学思想方法:

直线、平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质

[解析]
选项A,平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线;选项 B ,两个相交平面的交线与某一条直线平行,则这
条直线平行于这两个平面;选项 C,两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面;选项D,正确. [答案] D
2.(2009·福建,10)设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,
l2是平面β内的两条相交直线.则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF=F,∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF,AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点.
1.证明直线和平面平行的方法有:
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ,即想方设法在平面内找出 一条与已知直线平行的直线. (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2.证明平面与平面平行的方法有:
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,
∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一:取线段 PB 的中点 E,PC 的中点 F,连
接 AE,EF,DF,则 EF 是△PBC 的中位线. 1 1 ∴EF∥BC,EF= BC,∵AD∥BC,AD= BC, 2 2 ∴AD∥EF,AD=EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形,∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD,DF⊂平面 PCD, ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点.
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) .即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直.

直线与平面平行的性质定理

直线与平面平行的性质定理

直线与平面平行的性质定理
一、什么是直线与平面的平行性
直线与平面的平行性是一种平行性形式。

它表明,在同一平面中,存在两条异构的直线,使得这两条直线不发生相交和重合,且两条直
线的法向量方向相同。

二、直线与平面的平行性定理
直线与平面的平行性定理是关于直线与平面的平行性的定理,要
求如下:在同一平面中,任何两条平行直线都将垂直于该平面,同时
它们的法向量也将在该平面中共线。

三、定理的证明
证明:假设这两条直线分别是l1和l2,他们的法向量分别是N1
和N2,平面P的法向量是N。

根据已证l1与l2的平行,有
$$\overrightarrow{N_1}=\lambda \overrightarrow{N_2}$$
其中$\lambda$为不为0的常数。

因此,
$$\overrightarrow{N_1}\cdot \overrightarrow{N}=\lambda \overrightarrow{N_2}\cdot \overrightarrow{N}=0$$ 可得l1、l2垂直于P,同时它们的法向量N1、N2共线。

四、定理的应用
直线与平面的平行性定理在几何中有很多应用,如:
1、关于三角形斜边、垂直边、斜角、切点等。

2、求解不定线性规划问题。

3、空间向量运算,平面立体几何。

4、各种物理运算,如电场、重力场、热传导等。

五、结论
如前所述,在意义上,直线与平面的平行性定理指出,任何两条平行直线都将垂直于同一平面,同时它们的法向量也将在该平面中共线,在几何世界中,它具有广泛的应用价值,值得我们深入的研究。

线面平行和面面平行的性质定理

线面平行和面面平行的性质定理

a // b
结论:直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直
线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行。
aHale Waihona Puke ,aa ,a // b
b
b
注意:
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线面平行,则线线平行。
巩固练习:
判断下列命题是否正确(其中a,b表示直线,
表示平面)
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行,那么这条直线和这个平面平行。
a
a
b
a∥ b 注意:
a∥
b
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线线平行,则线面平行。
3、定理告诉我们:要证线面平行,得在面内找一 条线,使线线平行。
二:如何判断平面和平面平行?
答:有两种方法,一是用定义法,须 判断两个平面没有公共点;二是用 平面和平面平行的判定定理,须判 断一个平面内有两条相交直线都和 另一个平面平行.
∵ 直线a与平面 α内任何直线都没有公共点, ∴过直线a 的某一个平面 ,若与平面α
相交,则这一条交线b就平行于直线a.
a
b
已 知 :直 线 a,a,b
求 证 :a//b
证明: a//
a 与 没 有 公 共 点
∵ ∩ =b,∴ b在 内。
a
b
又 a与b都在平面内
且没有公共点 a 与 b 没 有 公 共 点
AB//CD,
∩β= CD
AB//平面
AB
∩ = EF
AB//EF
于是,CD//EF。
探究新知
探究1. 如果两个平面平行,那么一个平 面内的直线与另一个平面有什么位置关 系?

直线与平面,平面与平面平行的判定及其性质

直线与平面,平面与平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定:知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种1 根据定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行 . ( 一般用反证法. )2. 判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平 面平行.(符号表示为: a ,b ,a//b a// . 图形如图所示) . 二:例题判定定理证明:已知: a α, b α,且 a ∥b求证: a∥α例 1 :求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。

已知:如图空间四边形 ABCD 中,E 、F 分别是 AB 、 求证: EF ∥平面 BCD 证明:例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为 DD 1的中点,试判断 BD 1与平面AEC 的位置 关系,说明理由a AF点 BC1CB三练习:1. 判断下列说法是否正确,并说明理由.○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行;○2平面 外的两条平行直线 a,b ,若 a// ,则b// ;○3 直线a 和平面 平行,则直线 a 平行于平面 内任意一条直线; ○4 直线 a 和平面 平行,则平面 中必定存在直线与直线 a 平行. A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3.以下说法(其中 a ,b 表示直线, 表示平面)①若 a ∥b , b ,则 a ∥ ②若 a ∥ ,b ∥ ,则 a ∥b ③若 a ∥b , b ∥ ,则 a ∥ ④若 a ∥ ,b ,则 a ∥b 其中正确说法的个数是( ) .A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个4.已知a ,b 是两条相交直线, a ∥ ,则 b 与 的位置关系是( ). A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交5. 如果平面 外有两点 A 、B ,它们到平面 的距离都是 a ,则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是( ) .A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. AB 6.平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ,且 AD ∶DB=AE ∶EC ,求证: BC ∥平面 .7.P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, E 为PB 的中点, O 为 AC ,BD 的交点. (1)求证:EO ‖平面PCD ; (2)图中EO 还与哪个平 面平行?8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中, E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证: EF ∥平面 BB 1D 1D2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是( ).2.2 平面与平面平行的判定:知识要点平面与平面平行的判断方法有三种 1. 定义:两平面没有公共点,则两平面平行2. 判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行. 用符号表示为: a ,b ,a b P // a// ,b// 图形如图所示图形如图所示 3. 推论:①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行 . ③平行与同一平面的两个平面平行 . 二:例题 判定定理证明 : 已知:如图, m , n , 求证://mn ( 思考 1 :如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线, 那么这两个平面平行吗 ?为什么? )(思考 2:.在判断一个平面是否水平时,把水准器在这个平 面内交叉地放两次,如果水准器的气泡都是居中的,就 可以判定这个平面和水平面平行,你能说出理由吗?) 例 2:已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1, 求证:平面 AB 1D 1 // 平面 C 1BD 。

2.2.3-2.2.4_直线与平面,平面与平面平行的性质定理-悠

2.2.3-2.2.4_直线与平面,平面与平面平行的性质定理-悠

b α
内找出和直线a (2)已知直线 ∥平面 ,如何在平面 内找出和直线 )已知直线a∥平面α,如何在平面α内找出和直线 平行的一条直线? 平行的一条直线?
思考
如图, 直线A 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 1B1//面CDD1C1. 面
D1 A1
E
C1 由长方体性质,我们知道A1B1 // C1D1.
β b α a
⊂ β.
又因为a 又因为 ∥α, 所以a,b无公共点. 所以 , 无公共点. 无公共点 又因为a β 所以a∥ 又因为 ⊂ ,b ⊂β,所以 ∥b
back
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 例 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证另一条也平行于这个平面. 求证另一条也平行于这个平面.
α
(2)该定理作用:“线面平行⇒线线平行” 该定理作用: 线面平行⇒线线平行” 该定理作用 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据. 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据 (3)应用该定理,关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相 应用该定理,关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相 应用该定理 并找出两平面的交线. 交,并找出两平面的交线 (4)平面外的两平行线同平行于同一个平面 平面外的两平行线同平行于同一个平面. 平面外的两平行线同平行于同一个平面
O
C1
E
D
在 DBD1中,O为DB的中点,BD1 // OE. 所以点E为DD1的中点.
A
B
练习
三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上的点,A1B//平面 上的点, 平面ADC1 . 三棱柱 是 上的点 平面 求证:点 为 的中点 的中点. 求证 点D为BC的中点

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1.直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备,缺一不可. 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行.符号表示:a ⊂α,b ⊂α,a ∩b =O ,a ′⊂β,b ′⊂β,a ∥a ′,b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图,在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,点M ,N 分别为线段A 1B ,AC 1的中点.求证:MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图,连接A 1C .在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C 为平行四边形.又因为N 为线段AC 1的中点,所以A 1C 与AC 1相交于点N ,即A 1C 经过点N ,且N 为线段A 1C 的中点.因为M 为线段A 1B 的中点,所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ,BC ⊂平面BB 1C 1C , 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图,在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证:FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D,所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1,平面CEC1与平面BB1D交于FG,所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1.(2018·浙江高考)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A∵若m⊄α,n⊂α,且m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α,但若m⊄α,n⊂α,且m∥α,则m与n有可能异面,∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.2.如图,在四棱锥P­ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM =2MC.求证:BM ∥平面P AD .证明:法一:如图,过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ,连接AN . ∵PM =2MC ,∴MN =23CD .又AB =23CD ,且AB ∥CD ,∴AB 綊MN ,∴四边形ABMN 为平行四边形, ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ,AN ⊂平面P AD , ∴BM ∥平面P AD .法二:如图,过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ,连接BN . ∵PM =2MC ,∴DN =2NC , 又AB ∥CD ,AB =23CD ,∴AB 綊DN ,∴四边形ABND 为平行四边形, ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ,MN ⊂平面MBN ,BN ∩MN =N , AD ⊂平面P AD ,PD ⊂平面P AD ,AD ∩PD =D , ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ,∴BM ∥平面P AD .3.如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G ,过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证:P A ∥GH .证明:如图所示,连接AC 交BD 于点O ,连接MO , ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴O 是AC 的中点,又M 是PC 的中点,∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ,P A ⊄平面BMD , ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD =GH , P A ⊂平面P AHG , ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图,在三棱柱ABC­A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.证明:如图所示,连接A1C,AC1,设交点为M,∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点,连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1,A1B⊂平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又∵DC1∩DM=D,DC1⊂平面AC1D,DM⊂平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点,求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.证明:(1)如图,连接AE,设DF与GN的交点为O,则AE必过DF与GN的交点O.连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,DE ∩BD =D , 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1.已知直线a 与直线b 平行,直线a 与平面α平行,则直线b 与α的关系为( ) A .平行 B .相交C .直线b 在平面α内D .平行或直线b 在平面α内解析:选D 依题意,直线a 必与平面α内的某直线平行,又a ∥b ,因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内.2.若平面α∥平面β,直线a ∥平面α,点B ∈β,则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A .不一定存在与a 平行的直线B .只有两条与a 平行的直线C .存在无数条与a 平行的直线D .存在唯一与a 平行的直线解析:选A 当直线a 在平面β内且过B 点时,不存在与a 平行的直线,故选A. 3.在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB 和BC 上的点,若AE ∶EB =CF ∶FB =1∶2,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A .平行B .相交C .在平面内D .不能确定解析:选A 如图,由AE EB =CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ,AC ⊄平面DEF , 所以AC ∥平面DEF .4.(2019·重庆六校联考)设a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( )A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥βB .存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥βC .存在两条平行直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥αD .存在两条异面直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α解析:选D 对于选项A ,若存在一条直线a ,a ∥α,a ∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a ,使得a ∥α,a ∥β,所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件;同理,选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项D ,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.5.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:①没有水的部分始终呈棱柱形;②水面EFGH 所在四边形的面积为定值; ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行; ④当容器倾斜如图所示时,BE ·BF 是定值. 其中正确命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C 由题图,显然①是正确的,②是错误的; 对于③,∵A 1D 1∥BC ,BC ∥FG ,∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ,FG ⊂平面EFGH , ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面). ∴③是正确的;对于④,∵水是定量的(定体积V ), ∴S △BEF ·BC =V ,即12BE ·BF ·BC =V .∴BE ·BF =2VBC(定值),即④是正确的,故选C.6.如图,平面α∥平面β,△P AB 所在的平面与α,β分别交于CD ,AB ,若PC =2,CA =3,CD =1,则AB =________.解析:∵平面α∥平面β,∴CD ∥AB , 则PC P A =CDAB ,∴AB =P A ×CD PC =5×12=52. 答案:527.设α,β,γ是三个平面,a ,b 是两条不同直线,有下列三个条件: ①a ∥γ,b ⊂β;②a ∥γ,b ∥β;③b ∥β,a ⊂γ.如果命题“α∩β=a ,b ⊂γ,且________,则a ∥b ”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填序号).解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当b ∥β,a ⊂γ时,a 和b 在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③.答案:①或③8.在三棱锥P ­ABC 中,PB =6,AC =3,G 为△P AC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC ,则截面的周长为________.解析:如图,过点G 作EF ∥AC ,分别交P A ,PC 于点E ,F ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ,过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,连接MN ,则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面),且EF =MN =23AC =2,FM =EN =13PB =2,所以截面的周长为2×4=8.答案:89.如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点.求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明:(1)如图,取B 1D 1的中点O ,连接GO ,OB , 因为OG 綊12B 1C 1,BE 綊12B 1C 1,所以BE 綊OG ,所以四边形BEGO 为平行四边形, 故OB ∥EG ,因为OB ⊂平面BB 1D 1D , EG ⊄平面BB 1D 1D , 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ,D 1F ,因为BH 綊D 1F , 所以四边形HBFD 1是平行四边形, 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1=D 1,BD ∩BF =B , 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10.(2019·南昌摸底调研)如图,在四棱锥P ­ABCD 中,∠ABC = ∠ACD =90°,∠BAC =∠CAD =60°,P A ⊥平面ABCD ,P A =2,AB =1.设M ,N 分别为PD ,AD 的中点.(1)求证:平面CMN ∥平面P AB ; (2)求三棱锥P ­ABM 的体积.解:(1)证明:∵M ,N 分别为PD ,AD 的中点, ∴MN ∥P A ,又MN ⊄平面P AB ,P A ⊂平面P AB , ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中,∠CAD =60°,CN =AN , ∴∠ACN =60°.又∠BAC =60°,∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ,AB ⊂平面P AB , ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN =N , ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知,平面CMN ∥平面P AB ,∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离. ∵AB =1,∠ABC =90°,∠BAC =60°,∴BC =3,∴三棱锥P ­ABM 的体积V =V M ­P AB =V C ­P AB =V P ­ABC =13×12×1×3×2=33.B 级1.如图,四棱锥P ­ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,P A =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.(1)求证:MN ∥平面P AB ; (2)求四面体N ­BCM 的体积. 解:(1)证明:由已知得AM =23AD =2.取BP 的中点T ,连接AT ,TN , 由N 为PC 的中点知TN ∥BC , TN =12BC =2.又AD ∥BC ,故TN 綊AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ,MN ⊄平面P AB , 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ,N 为PC 的中点,所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ,连接AE .由AB =AC =3,得AE ⊥BC ,AE =AB 2-BE 2= 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5,故S △BCM =12×4×5=2 5. 所以四面体N ­BCM 的体积V N ­BCM =13×S △BCM ×P A 2=453.2.如图所示,几何体E ­ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB =CD ,EC ⊥BD .(1)求证:BE =DE ;(2)若∠BCD =120°,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 证明:(1)如图所示,取BD 的中点O ,连接OC ,OE .∵CB =CD ,∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ,EC ∩CO =C ,∴BD ⊥平面OEC ,∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点.∴OE 为BD 的中垂线,∴BE =DE .(2)取BA 的中点N ,连接DN ,MN .∵M 为AE 的中点,∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形,N 为AB 的中点,∴DN ⊥AB .∵∠DCB =120°,DC =BC ,∴∠OBC =30°,∴∠CBN =90°,即BC ⊥AB ,∴DN ∥BC .∵DN ∩MN =N ,BC ∩BE =B ,∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ,∴DM ∥平面BEC .。

第八章 §8.3 直线、平面平行的判定与性质

第八章 §8.3 直线、平面平行的判定与性质

§8.3直线、平面平行的判定与性质考试要求从定义和公理出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,并加以证明.1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β=b⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b=Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ=aβ∩γ=b⇒a∥b3.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.(3)若α∥β,a⊂α,则a∥β.微思考1.设m,l表示两条不同的直线,α表示平面,若m⊂α,l∥α,则l与m的位置关系如何?提示平行或异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.(×)(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(×)(3)若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,a∥b,则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√)题组二教材改编2.下列说法中,与“直线a∥平面α”等价的是()A.直线a上有无数个点不在平面α内B.直线a与平面α内的所有直线平行C.直线a与平面α内无数条直线不相交D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案 D解析因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为________.答案平行解析连接BD,则AC∩BD=O,连接OE(图略),则OE∥BD1,OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,∴BD1∥平面ACE.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过直线AC1的平面交直线BB1于点E,交直线DD1于点F,则四边形AEC1F的形状为________.答案平行四边形解析由面面平行的性质定理可得AE∥C1F,AF∥C1E.故四边形AEC1F为平行四边形.题组三易错自纠5.已知直线a,b和平面α,β,若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α,β的位置关系是________.答案平行或相交6.考查下列两个命题,在“__________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中a,b为不同的直线,α,β为不重合的平面),则此条件为____________.①⎭⎪⎬⎪⎫b⊂αa∥b⇒a∥α;②⎭⎪⎬⎪⎫a∥bb∥α⇒a∥α.答案a⊄α解析根据线面平行的判定定理可知,判断线面平行需要三个条件:面内一线,面外一线,线线平行,分析已知中的条件,可知①缺少的条件是“a为平面α外的直线”,②同样缺少平面外直线.题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图,P A⊥矩形ABCD所在的平面,E,F分别为AB,PD的中点.求证:AF∥平面PCE.证明 方法一 如图,设M 为PC 的中点,连接EM ,MF , ∵E 是AB 的中点, ∴AE ∥CD ,且AE =12CD ,又∵MF ∥CD ,且MF =12CD ,∴AE 綊FM ,∴四边形AEMF 是平行四边形, ∴AF ∥EM ,又∵AF ⊄平面PCE ,EM ⊂平面PCE , ∴AF ∥平面PCE .方法二 如图,设G 为CD 的中点,连接FG ,AG ,∵F ,G 分别为PD ,CD 的中点, ∴FG ∥PC .同理AG ∥EC , 又FG ⊄平面PCE ,AG ⊄平面PCE , PC ⊂平面PCE ,EC ⊂平面PCE , ∴FG ∥平面PCE ,AG ∥平面PCE , 又FG ,AG ⊂平面AFG ,FG ∩AG =G , ∴平面AFG ∥平面PCE ,又AF ⊂平面AFG , ∴AF ∥平面PCE .命题点2 直线与平面平行的性质例2如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和P A作平面交BD于点H.求证:P A∥GH.证明如图所示,连接AC交BD于点O,连接OM,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴P A∥OM,又OM⊂平面BMD,P A⊄平面BMD,∴P A∥平面BMD,又平面P AHG∩平面BMD=GH,∴P A∥GH.思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.跟踪训练1如图,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点F,求证:四边形BCFE是梯形.证明∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD,BC⊄平面P AD,∴BC∥平面P AD.∵平面BCFE∩平面P AD=EF,BC⊂平面BCFE,∴BC∥EF.∵AD=BC,AD≠EF,∴BC≠EF,∴四边形BCFE是梯形.题型二平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綊AB,∴A1G綊EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EF A1,∴平面EF A1∥平面BCHG.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.跟踪训练2如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,证明:B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綊DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B=B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,平面ABCD∩平面A1BD=直线BD,所以直线l ∥直线BD ,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形BDD 1B 1为平行四边形, 所以B 1D 1∥BD ,所以B 1D 1∥l . 题型三 平行关系的综合应用例4 如图所示,四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面,若截面为平行四边形.(1)求证:AB ∥平面EFGH ,CD ∥平面EFGH ;(2)若AB =4,CD =6,求四边形EFGH 周长的取值范围. (1)证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形, ∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ,EF ⊄平面ABD , ∴EF ∥平面ABD .又∵EF ⊂平面ABC ,平面ABD ∩平面ABC =AB , ∴EF ∥AB ,又∵AB ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH , ∴AB ∥平面EFGH .同理可证,CD ∥平面EFGH . (2)解 设EF =x (0<x <4), ∵EF ∥AB ,FG ∥CD ,∴CF CB =x4,则FG 6=BF BC =BC -CF BC =1-x 4,∴FG =6-32x . ∵四边形EFGH 为平行四边形,∴四边形EFGH 的周长l =2⎝⎛⎭⎫x +6-32x =12-x . 又∵0<x <4,∴8<l <12,即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12).思维升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.跟踪训练3 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为对角线BD ,CD 1上的点,且CQ QD 1=BP PD =23.(1)求证:PQ ∥平面A 1D 1DA ;(2)若R 是AB 上的点,ARAB 的值为多少时,能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA ?请给出证明.(1)证明 连接CP 并延长与DA 的延长线交于M 点,如图,连接MD 1,因为四边形ABCD 为正方形, 所以BC ∥AD , 故△PBC ∽△PDM , 所以CP PM =BP PD =23,又因为CQ QD 1=BP PD =23,所以CQ QD 1=CP PM =23,所以PQ ∥MD 1.又MD 1⊂平面A 1D 1DA ,PQ ⊄平面A 1D 1DA , 故PQ ∥平面A 1D 1DA .(2)解 当AR AB 的值为35时,能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA .如图,证明:因为AR AB =35,即BR RA =23,故BR RA =BP PD. 所以PR ∥DA .又DA ⊂平面A 1D 1DA ,PR ⊄平面A 1D 1DA , 所以PR ∥平面A 1D 1DA ,又PQ ∥平面A 1D 1DA ,PQ ∩PR =P ,PQ ,PR ⊂平面PQR , 所以平面PQR ∥平面A 1D 1DA .课时精练1.(2020·哈尔滨第九中学模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥β B .存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥βC .存在两条平行直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥αD .存在两条异面直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α 答案 D解析 对于A ,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行.故A 不对; 对于B ,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B 不对; 对于C ,两个平面中的两条直线分别平行于另一个平面,不能保证两个平面平行,故C 不对; 对于D ,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D 正确.2.(2020·泸州模拟)已知a ,b 是互不重合的直线,α,β是互不重合的平面,下列四个命题中正确的是( )A .若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥αB .若a ∥α,a ∥β,α∩β=b ,则a ∥bC .若a ∥α,α∥β,则a ∥βD .若a ∥α,a ∥β,则α∥β 答案 B解析 A 选项,若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α或a ⊂α,所以A 选项错误;B选项,若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b,所以B选项正确;C选项,若a∥α,α∥β,则a∥β或a⊂β,所以C选项错误;D选项,若a∥α,a∥β,则α∥β或α∩β=b,所以D选项错误.3.(2020·金华十校联考)已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为AC,B1C1的中点,E,F分别为BC,B1B的中点,则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为() A.平行、平行B.异面、平行C.平行、相交D.异面、相交答案 B解析∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为AC,B1C1的中点,E,F分别为BC,B1B的中点,∴EF⊂平面BCC1B1,MN∩平面BCC1B1=N,N∉EF,∴由异面直线判定定理得直线MN与直线EF是异面直线.取A1C1的中点P,连接PM,PN,如图,则PN∥B1A1,PM∥A1A,∵AA1∩A1B1=A1,PM∩PN=P,∴平面PMN∥平面ABB1A1,∵MN⊂平面PMN,∴直线MN与平面ABB1A1平行.4.(2020·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能答案 B解析在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1.∵AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE,∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.5.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,P,Q分别为棱AB,C1D1,D1A1,D1D,C1C的中点.则下列叙述中正确的是()A.直线BQ∥平面EFGB.直线A1B∥平面EFGC.平面APC∥平面EFGD.平面A1BQ∥平面EFG答案 B解析过点E,F,G的截面如图所示(H,I分别为AA1,BC的中点),∵A1B∥HE,A1B⊄平面EFG,HE⊂平面EFG,∴A1B∥平面EFG.6.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()答案 A解析A项,作如图①所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD与平面MNQ相交,∴直线AB与平面MNQ相交;B项,作如图②所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ;C项,作如图③所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ;D项,作如图④所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,∴AB∥NQ,又AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF=________.答案 2解析根据题意,因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC.又E是AD的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE=DF=1,故EF= 2.8.在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN 平行的是________.答案平面ABC,平面ABD解析如图,连接AM并延长交CD于点E,连接BN并延长交CD于点F,由重心性质可知,E,F重合,且E为CD的中点,∵EMMA=ENBN=12,∴MN∥AB,又AB⊂平面ABD,MN⊄平面ABD,∴MN∥平面ABD,又AB⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,∴MN∥平面ABC.9.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号).答案 ①或③解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当m ∥γ,n ∥β时,n 和m 可能平行或异面,②错误;当n ∥β,m ⊂γ时,n 和m 在同一平面内,且没有公共点,所以m ∥n ,③正确. 10.(2020·安阳模拟)如图所示,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =2,AA 1=1.一平面截该长方体,所得截面为OPQRST ,其中O ,P 分别为AD ,CD 的中点,B 1S =12,则AT =________.答案 25解析 设AT =x ,则A 1T =1-x ,由面面平行的性质可知PO ∥SR ,TO ∥QR ,TS ∥PQ , ∴△DOP ∽△B 1RS ,∵DP =OD =1,∴B 1S =B 1R =12,∴A 1S =C 1R =32,由△ATO ∽△C 1QR ,可得AO AT =C 1RC 1Q ,即1x =32C 1Q ,故C 1Q =3x2, 由△A 1TS ∽△CQP ,可得CQ CP =A 1T A 1S ,即1-3x 21=1-x 32,解得x =25.11.如图,在四棱锥P -ABCD 中,AD ∥BC ,AB =BC =12AD ,E ,F ,H 分别为线段AD ,PC ,CD 的中点,AC 与BE 交于O 点,G 是线段OF 上一点.(1)求证:AP ∥平面BEF ;(2)求证:GH ∥平面P AD .证明 (1)如图,连接EC ,因为AD ∥BC ,BC =12AD ,所以BC ∥AE ,BC =AE ,所以四边形ABCE 是平行四边形,所以O 为AC 的中点. 又因为F 是PC 的中点, 所以FO ∥AP ,因为FO ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF , 所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ,OH ,因为F ,H 分别是PC ,CD 的中点, 所以FH ∥PD ,因为PD ⊂平面P AD ,FH ⊄平面P AD , 所以FH ∥平面P AD .又因为O 是BE 的中点,H 是CD 的中点, 所以OH ∥AD ,因为AD ⊂平面P AD ,OH ⊄平面P AD , 所以OH ∥平面P AD .又FH ∩OH =H ,FH ,OH ⊂平面OHF , 所以平面OHF ∥平面P AD . 又因为GH ⊂平面OHF , 所以GH ∥平面P AD .12.(2020·宁夏银川市兴庆区长庆高级中学模拟)如图,在四棱锥S -ABCD 中,∠ADC =∠BCD =90°,AD =DC =SA =12BC =2,点E ,G 分别在线段SA ,AD 上,且SE =AE ,AG =GD ,F为棱BC 上一点,且CF =1.证明:平面SCD∥平面EFG.证明因为点E,G分别在线段SA,AD上,且SE=AE,AG=GD,故EG∥SD,又EG⊄平面SCD,SD⊂平面SCD,故EG∥平面SCD;因为∠ADC=∠BCD=90°,故AD∥BC,因为GD=FC=1,故四边形GDCF为平行四边形,故GF∥CD;又GF⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,故GF∥平面SCD,因为GF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面SCD∥平面EFG.13.如图所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件______时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN,FH,FN(图略),则FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1,只需M ∈FH , 则MN ⊂平面FHN ,∴MN ∥平面B 1BDD 1.14.在三棱锥P -ABC 中,PB =6,AC =3,G 为△P AC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC ,则截面的周长为________. 答案 8解析 如图,过点G 作EF ∥AC ,分别交P A ,PC 于点E ,F ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ,过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,连接MN ,则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面),且EF =MN =23AC =2,FM =EN =13PB =2,所以截面的周长为2×4=8.15.(2020·合肥第一中学模拟)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M ,N 分别是棱BC ,CC 1的中点,动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动,且P A 1∥平面AMN ,则P A 1的长度范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤1,52 B.⎣⎡⎦⎤324,52 C.⎣⎡⎦⎤324,32D.⎣⎡⎦⎤1,32 答案 B解析 取B 1C 1的中点E ,BB 1的中点F ,连接A 1E ,A 1F ,EF ,取EF 的中点O ,连接A 1O ,如图所示,∵点M ,N 分别是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中棱BC ,CC 1的中点,∴AM ∥A 1E ,MN ∥EF ,∵AM ∩MN =M ,A 1E ∩EF =E ,AM ,MN ⊂平面AMN ,A 1E ,EF ⊂平面A 1EF , ∴平面AMN ∥平面A 1EF ,∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动, 且P A 1∥平面AMN , ∴点P 的轨迹是线段EF , ∵A 1E =A 1F =12+⎝⎛⎭⎫122=52, EF =1212+12=22, ∴A 1O ⊥EF ,∴当P 与O 重合时,P A 1的长度取最小值A 1O , A 1O =⎝⎛⎭⎫522-⎝⎛⎭⎫242=324,当P 与E (或F )重合时,P A 1的长度取最大值A 1E 或A 1F , A 1E =A 1F =52. ∴P A 1的长度范围为⎣⎡⎦⎤324,52. 16.(2020·宜昌模拟)如图,在四棱锥P -ABCD 中,侧棱P A ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是直角梯形,BC ∥AD ,AB ⊥AD ,P A =AB =2,AD =3BC =3,E 在棱AD 上,且AE =1,若平面CEF 与棱PD 相交于点F ,且平面CEF ∥平面P AB .(1)求PFFD的值; (2)求点F 到平面PBC 的距离. 解 (1)∵平面CEF ∥平面P AB ,且平面CEF ∩平面P AD =EF ,平面P AB ∩平面P AD =P A , ∴P A ∥EF ,又AE =1=13AD ,∴PF =13PD ,∴PF FD =12.(2)∵F 为PD 的三等分点,∴F 到平面PBC 的距离等于D 到平面PBC 的距离的13,设D 到平面PBC 的距离为h , ∵P A ⊥平面ABCD , ∴P A ⊥BC ,又∵BC ∥AD ,AB ⊥AD ,∴BC ⊥AB , ∵P A ∩AB =A ,P A ,AB ⊂平面P AB , ∴BC ⊥平面P AB ,∴BC ⊥PB , 由等体积法得V D -PBC =V P -BCD , 即13S △PBC ·h =13S △DBC ·P A , ∵P A =AB =2,AD =3BC =3, ∴PB =22,BC =1,∴S △PBC =12PB ·BC =2,S △DBC =12BC ·AB =1,∴h =2,∴F 到平面PBC 的距离等于23.。

第八章 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课件(共58张PPT)

第八章 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课件(共58张PPT)
第八章 立体几何初步
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发,借助长方体,通过直观感知, 考情分析: 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB,所以四边形 A1EBG 是平行四边形,
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG,GB⊂平面 BCHG, 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF=E,所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1.如图,平面 α∥平面 β,△PAB 所在的平面与 α,β分别交于 CD,AB,
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题,以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据,注意定理中相关条件的检验,必须进行严密的逻辑推理. (2)如果判断某个命题错误,则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明.
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 的中点.求证:
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF=PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行.
1.(2020·深圳市统一测试)如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是平行四边形,点 M,

空间直线和平面平行

空间直线和平面平行

线、平面平行的判定及其性质2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)∵a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α,∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,∴a∥b(1)且a∥b,否则会出现错误.(2)应用线面平行性质定理的注意点:一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面.(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别:如果结论中有a∥α,则要用判定定理,在α内找与a平行的直线;如果条件中有a∥α,则要用性质定理,找(或作)过a且与α相交的平面.4)面面平行判定定理的一个推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.符号表示:a⊂α,b⊂α,a∩b=O,a′⊂β,b′⊂β,a′∩b′=O′,a∥a′,b∥b′⇒α∥β. 1.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.4.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.5.同一条直线与两个平行平面所成角相等.6.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.11.如右图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证:PC∥平面BDQ.1.如右图,P为梯形ABCD所在平面外一点,CD//2AB,E为PC的中点。

求证:BE∥平面PAD。

2.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上均有可能3.已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与平面α的关系为()A.平行B.相交C.直线b在平面α内D.平行或直线b在平面α内4.过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,如果所得的交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点1.如果直线a∥平面α,则()A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与a都平行4.以下命题(其中,a b表示直线,α表示平面)①若//,a b b α⊂,则//a α;②若//,//a b αα,则//a b ;③若//a b ,//b α,则//a α;④若//a α,b α⊂,则//a b 。

《直线与平面平面与平面平行的性质定理》

《直线与平面平面与平面平行的性质定理》

直线与平面、平面与平面平行的性质定理1. 直线与平面的性质定理在几何学中,直线与平面之间的关系是很重要的。

下面将介绍一些直线与平面的性质定理:1.1 垂直定理•定理1:若直线与平面垂直,则直线上的任意一条线段与该平面上的任意一条线段垂直。

证明:设直线AB与平面平行,直线AC与平面垂直。

若直线CD与平面相交于点D,则由三角形ABD和ACD的内角和为180度可知,∠ADC=90度。

因此,直线上的任意一条线段与该平面上的任意一条线段垂直。

证毕。

1.2 平行定理•定理2:若直线与平面平行,则过直线上的任意一点,可以作该平面的一条平行线。

证明:设AB为直线,平面α与直线AB平行,并且过A点作平面α的平行线与直线AB相交于点C。

若在直线AB上任取一点D,则设直线DE与平面α相交于点E。

由平行性质可知∠CDE=∠AED,因此,直线DE与平面α平行,证明了通过直线上的任意一点可以作该平面的一条平行线。

证毕。

2. 平面与平面平行的性质定理除了直线与平面的关系,平面与平面之间的关系也是几何学中重要的内容。

下面将介绍一些平面与平面平行的性质定理:2.1 平面平行定理•定理3:若两个平面分别与一条直线垂直,则这两个平面平行。

证明:设直线AB与平面α垂直,且平面α与平面β相交于直线CD。

则根据垂直定义可知,直线CD与平面α垂直,且直线CD与平面β垂直。

根据定理1可得,直线上的任意一条线段与平面α和平面β垂直。

因此,根据垂直定理可知平面α和平面β平行。

证毕。

2.2 平行面截线定理•定理4:若两个平行面与一条直线相交,则它们分别与这条直线上的两个不同点分别平行。

证明:设平面α与平面β平行,且平面α与直线AB相交于点C,平面β与直线AB相交于点D。

连接CD。

则根据平行定理可得,直线CD与平面α平行,且直线CD与平面β平行。

因此,平面α与直线AB分别与直线AB上的两个不同点平行,平面β与直线AB分别与直线AB上的两个不同点平行。

高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质

高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质

两个防范(1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.答案 A5.(2012·衡阳质检)在正方体________.解析如图.连接AC、BD交于ACE.答案平行在四棱锥PABCD中,底面求证:PB∥平面ACM.[审题视点] 连接MO,证明证明连接BD,MO.中点,所以PB∥MO.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.在正方体ABCDA1B1C1D1求证:平面MNP∥平面[审题视点] 证明MNMP∥C1B.(1)面面平行的定义;下面给出证明:如图,取BB1的中点则DF∥B1C1.∵AB的中点为E,连接结论成立的充分条件,规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心,以多面体为载体结合平面几在四棱台ABCDA1B1C1D1BAD=60°.(1)证明:AA1⊥BD;(2)如图,连结AC,A1C1设AC∩BD=E,连结EA1因为四边形ABCD为平行四边形,明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理.如图,在多面体ABCDEF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;β=b)平行的直线②④β=则,bm不平行于平面又∵AE∥CD且∴FM綉AE,即四边形证明如下:如图,取。

高中数学直线、平面平行的判定与性质

高中数学直线、平面平行的判定与性质

例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD������ B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明 证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM������ QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交 线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.

直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1.直线与平面平行(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行).即:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α.其他判定方法;α∥β,a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行).即:a∥α,a⊂β,α∩β=l⇒a∥l.2.平面与平面平行(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行).即:a⊂α,b⊂α,a∩b=M,a∥β,b∥β⇒α∥β.(2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.即:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时,必须满足三个条件:一是直线a在已知平面外;二是直线b在已知平面内;三是两直线平行.(2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行.考点自测1.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是().A.平行B.相交C.异面D.以上均有可能解析借助长方体模型易得.答案 D2.在空间中,下列命题正确的是().A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A,平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线;选项B,两个相交平面的交线与某一条直线平行,则这条直线平行于这两个平面;选项C,两个相交平面可以同时垂直于同一个平面;选项D,正确.答案 D3.(2013·长沙模拟)若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( ).A .b ⊂αB .b ∥αC .b ⊂α或b ∥αD .b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析 可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时,均满足直线a ⊥b ,且直线a ∥平面α的情况,故选D.答案 D4.在空间中,下列命题正确的是( ).A .若a ∥α,b ∥a ,则b ∥αB .若a ∥α,b ∥α,a ⊂β,b ⊂β,则β∥αC .若α∥β,b ∥α,则b ∥βD .若α∥β,a ⊂α,则a ∥β解析 若a ∥α,b ∥a ,则b ∥α或b ⊂α,故A 错误;由面面平行的判定定理知,B 错误;若α∥β,b ∥α,则b ∥β或b ⊂β,故C 错误.答案 D5.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,E 是DD 1的中点,则BD 1与平面ACE 的位置关系为________.解析 如图.连接AC 、BD 交于O 点,连接OE ,因为OE ∥BD 1,而OE ⊂平面ACE ,BD 1⊄平面ACE ,所以BD 1∥平面ACE .答案 平行考向一 线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图,直三棱柱ABCA ′B ′C ′,∠BAC=90°,AB =AC =2,AA ′=1,点M ,N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点.(1)证明:MN ∥平面A ′ACC ′; (2)求三棱锥A ′MNC 的体积.(锥体体积公式V =13Sh ,其中S 为底面面积,h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′,AC ′,在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′,则线面平行可证;此问也可以应用面面平行证明.(2)证A ′N ⊥平面NBC ,故V A ′MNC =V A ′NBC -V MNBC =12V A ′NBC ,体积可求.(1)证明 法一 连接AB ′,AC ′,如图由已知∠BAC =90°,AB =AC ,三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱,所以M 为AB ′中点.又因为N 为B ′C ′的中点,所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′,AC ′⊂平面A ′ACC ′, 因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二 取A ′B ′的中点P ,连接MP ,NP ,AB ′,如图,而M ,N 分别为AB ′与B ′C ′的中点,所以MP ∥AA ′,PN ∥A ′C ′,所以MP ∥平面A ′ACC ′,PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP =P ,因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ,因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解 法一 连接BN ,如图由题意A ′N ⊥B ′C ′,平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′=B ′C ′,所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N =12B ′C ′=1,故V A ′MNC =V NA ′MC =12V NA ′BC =12V A ′NBC =16.法二 V A ′MNC =V A ′NBC -V MNBC =12V A ′NBC =16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.注意说明已知的直线不在平面内.(2)证明直线与平面平行的方法:①利用定义结合反证;②利用线面平行的判定定理;③利用面面平行的性质.【训练1】 如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是矩形,P A ⊥平面ABCD ,AP =AB ,BP =BC =2,E ,F 分别是PB ,PC 的中点.(1)证明:EF ∥平面P AD ; (2)求三棱锥EABC 的体积.(1)证明 在△PBC 中,E ,F 分别是PB ,PC 的中点, ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ,∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ,EF ⊄平面P AD , ∴EF ∥平面P AD .(2)解 连接AE ,AC ,EC ,过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,则EG ⊥平面ABCD ,且EG =12P A .在△P AB 中,AP =AB ,∠P AB =90°,BP =2, ∴AP =AB =2,EG =22. ∴S △ABC =12AB ·BC =12×2×2= 2.∴V EABC =13S △ABC ·EG =13×2×22=13.考向二 面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图,在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 分别为所在边的中点.求证:平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可. 证明如图,连接D 1C ,则MN 为△DD 1C 的中位线,∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ,∴MN ∥A 1B . 同理可证,MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交,MN ,MP 在平面MNP 内,A 1B ,C 1B 在平面A 1C 1B 内, ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行,要证线面平行需证线线平行,因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决.【训练2】 如图,在三棱柱ABCA 1B 1C 1中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点,求证:(1)B ,C ,H ,G 四点共面; (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线,∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ,∴GH ∥BC , ∴B ,C ,H ,G 四点共面.(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点,∴EF ∥BC ,∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F,证明平面DEF∥平面AB1C1即可.解存在点E,且E为AB的中点.下面给出证明:如图,取BB1的中点F,连接DF,则DF∥B1C1.∵AB的中点为E,连接EF,则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线,∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF,∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.【训练3】如图,在四棱锥P ABCD中,底面是平行四边形,P A⊥平面ABCD,点M、N分别为BC、P A的中点.在线段PD上是否存在一点E,使NM∥平面ACE?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.解在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE.证明如下:如图,取PD 的中点E ,连接NE ,EC ,AE , 因为N ,E 分别为P A ,PD 的中点, 所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中,CM 綉12AD .所以NE 綉MC ,即四边形MCEN 是平行四边形.所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ,NM ⊄平面ACE ,所以MN ∥平面ACE , 即在PD 上存在一点E ,使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐,多以多面体为载体,证明线面平行和面面平行,题型为解答题,题目难度不大.【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图,几何体EABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB =CD ,EC ⊥BD . (1)求证:BE =DE ;(2)若∠BCD =120°,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审 取BD 的中点O ,证明BD ⊥EO ;二审 取AB 中点N ,证明平面DMN ∥平面BEC ;找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ,证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a),取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD,(2分)又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,(4分)因此BD⊥EO,又O为BD的中点,所以BE=DE.(6分)(2)法一如图(b),取AB的中点N,连接DM,DN,MN,图(b)因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°,所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c),延长AD,BC交于点F,连接EF.图(c)因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD =30°. 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD =60°,∠ABC =90°, 因此∠AFB =30°, 所以AB =12AF .(8分)又AB =AD ,所以D 为线段AF 的中点.连接DM ,由点M 是线段AE 的中点,因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ,EF ⊂平面BEC , 所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入,不能将已知条件与所证问题联系起来; (2)识图能力差,不能观察出线、面之间的隐含关系,不能作出恰当的辅助线或辅助面; (3)答题不规范,跳步、漏步等.证明线面平行问题的答题模板(一)第一步:作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线; 第二步:证明线线平行;第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行; 第四步:反思回顾.检查关键点及答题规范. 证明线面平行问题的答题模板(二)第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面;第二步:利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行;第三步:证明所作平面与所证平面平行; 第四步:转化为线面平行; 第五步:反思回顾.检查答题规范. 【试一试】如图,在几何体ABCDEFG 中,下底面ABCD 为正方形,上底面EFG 为等腰直角三角形,其中EF ⊥FG ,且EF ∥AD ,FG ∥AB ,AF ⊥面ABCD ,AB =2FG =2,BE =BD ,M 是DE 的中点.(1)求证:FM ∥平面CEG ; (2)求几何体GEFC 的体积. (1)证明取CE 的中点N ,连接MN ,GN ,则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形. ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ,GN ⊂平面CEG , ∴FM ∥平面CEG .(2)解 在Rt △ABD 中,AB =AD =2,BD =22, ∴BE =2 2.∵AF ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中,AB ⊥AD . 又AD ∩AF =A ,∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ,∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中,AE =8-4=2.又在Rt △AEF 中,EF =1,∴AF =4-1= 3. 又EF ∥AD ,EF ⊄平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD , ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ,可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG =F ,EF ⊂平面EFG ,FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ,AF =3, ∴点C 到平面EFG 的距离等于3, ∴V GEFC =V CEFG =13×S △EFG ·d=13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3=36A级基础演练(时间:30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是().A.l∥αB.l⊥αC.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α解析l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等;l⊂α时,直线l上所有的点到α的距离都是0;l⊥α时,直线l上有两个点到α距离相等;l与α斜交时,也只能有两个点到α距离相等.答案 D2.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是().A.AB∥CD B.AD∥CB C.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面解析充分性:A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.答案 D3.(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是().①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,b⊂α,则a平行于平面α内的无数条直线.A.1 B.2 C.3 D.4解析命题①l可以在平面α内,不正确;命题②直线a与平面α可以是相交关系,不正确;命题③直线a可以在平面α内,不正确;命题④正确.答案 A4.(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是().A.若m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线B.若m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线C.已知α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥βD.若m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行解析A中,m、n可为相交直线;B正确;C中,n可以平行β,也可以在β内;D中,m、n也可能异面.故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)5.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.答案 66.α、β、γ是三个平面,a 、b 是两条直线,有下列三个条件:①a ∥γ,b ⊂β;②a ∥γ,b ∥β;③b ∥β,a ⊂γ.如果命题“α∩β=a ,b ⊂γ,且________,则a ∥b ”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上).解析 ①中,a ∥γ,a ⊂β,b ⊂β,β∩γ=b ⇒a ∥b (线面平行的性质).③中,b ∥β,b ⊂γ,a ⊂γ,β∩γ=a ⇒a ∥b (线面平行的性质).答案 ①③三、解答题(共25分)7.(12分)如图,在四面体ABCD 中,F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点,G 为DE 的中点.证明:直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图,连接BH ,BH 与CF 交于K ,连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点,∴K 是△ABC 的重心,∴BK BH =23.又据题设条件知,BE BG =23,∴BK BH =BE BG ,∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ,GH ⊄平面CEF ,∴直线HG ∥平面CEF .法二如图,取CD 的中点N ,连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点,∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ,GN ⊄平面CEF ,∴GN ∥平面CEF .连接FH ,EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点, ∴FH 綉12BC ,EN 綉12BC ,∴FH 綉EN ,∴四边形FHNE 为平行四边形,∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ,HN ⊄平面CEF ,∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN =N ,∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ,∴直线HG ∥平面CEF .8.(13分)如图,已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体,点E 在AA 1上,点F 在CC 1上,G 在BB 1上,且AE =FC 1=B 1G =1,H 是B 1C 1的中点.(1)求证:E ,B ,F ,D 1四点共面;(2)求证:平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE =B 1G =1,∴BG =A 1E =2,∴BG =A 1E ,∴A 1G =BE .又同理,C 1F 綉B 1G ,∴四边形C 1FGB 1是平行四边形, ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1,∴四边形A 1GFD 1是平行四边形. ∴A 1G 綉D 1F ,∴D 1F 綉EB ,故E 、B 、F 、D 1四点共面.(2)∵H 是B 1C 1的中点,∴B 1H =32.又B 1G =1,∴B 1G B 1H =23.又FC BC =23,且∠FCB =∠GB 1H =90°,∴△B 1HG ∽△CBF ,∴∠B 1GH =∠CFB =∠FBG , ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ,且HG ∩A 1G =G , FB ∩BE =B ,∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。

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b α,
β
β, a∥b(如图)求证:
∴a∥β 又∵a α,平面α∩ 平面β= l
∴a∥l
l
同理b∥l
故a∥l , b∥l .
a
b
β
α
a
b
证明
a
//
b
a, 面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个 平面相交,那么它们的交线平行。
α
a
β
b
例题分析
例1、求证:夹在两个平行平面间的两条
平行线段相等
D
α
A
C
β
B
面面平行的几条性质: 1.性质定理:如果两个平行平面同时和第 三个平面相交,那么它们的交线平行.
问题1:若两个平面平行,则一个平面 内的直线a与另一个平面内的直线有 什么位置关系
a

c

b
异面、平行
问题2:平面ABCD内哪些直线会与直线 B D 平行?怎么样找到这些直线?
A′ D′
C′
' '
D A
' '
B′
C
B
平面ABCD内的直线只要与B D 共面即可
已知平面,, , // , a, b 求证:a // b
l P . m' m
则l ∥m' , 又 l ∥m,m∩m'= P ∴m' 和m 重合(否则过点P 有两条直线与l 平行,这与平行公理矛盾)
∴m
α

α
练习:
(1)直线 a∥平面α,平面α内有 n 条互相平行的直线, 那么这 n 条直线和直线 a ( C ) (A)全平行 (C)全平行或全异面 (B)全异面 (D)不全平行也不全异面
巩固训练:如图所示,在三棱柱
ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB, AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG.
直线和平面平行的 性质定理
1
一、复习: (1). 直线和平面有那些位置关系?
a a
a
A
α
直线在平面α内
α
α
直线与平面α 平行
(2)直线 a∥平面α,平面α内有无数条直线 交于 一点,那 么这无数条直线中与直线 a 平行的( B ) (A)至少有一条 (C)有且只有一条 (B)至多有一条 (D)不可能有
练习: 点P在平面VAC内,画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A E C
课内练习: 1、已知α∥β,AB交α、β于A、B,CD交 α、β于C、D,AB∩CD=S,AS=8,BS=9,
推论:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行
面面平行性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行。
面面平行
线面平行
例2、求证:如果过平面内一点的直线平行于 与此平面平行的一条直线,那么这条直线在 此平面内。 已知:l ∥α,点 P ∈α, P ∈m 且 m∥l 求证:m α β 证明:设 l 与P 确定的平 面为β,且α∩β= m'
β
b
α r
a
面面平行的几条性质: 2. 两个平面平行,其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面
可根据两个平面平行与直线和平面平行的定义证明
面面平行转化 为线面平行或 线线平行
这个结论可作为两个 平面平行的性质
例2: P是长方形ABCD所在平面外的一点,AB、 PD两点M、N满足AM:MB=ND:NP。 求证:MN∥平面PBC。
又 ∵ a∥ b ∴ b∥ c
∵ b α, c
β
a
b
α
c
α
∴b∥α.
例2、有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′. 要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和 棱BC将木料锯开,应怎样画线? 所画的线和面AC有什么关系?
D
A
P
C
D A
B
C
B
已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,画 出过G和AP的平面。
在于找线线平行
(中位线、平行四边形)
练习: (1).如果一条直线和一个平面平行, 这个平 面 内是否只有一条直线和已知直线平行呢?
(不是)
平面内哪些直线都和已知直线平行 ? 有几条?
(有无数条)
(2).如果a∥α, 经过a 的一组平面分别和α相 交于b、c、d …,b、c、d …是一组平行线 吗?为什么?
N D E A M B C P
两个平面平行的几条性质
性质3:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 性质4:平行于同一平面的两平面平行
2.已知三个平行平面 , , 与两条直线l , m 分别相并于点A, B, C和点D, E, F.
AB DE 求证 : . BC EF 证明: 过A作直线AH//DF, G , H . 连结AD,GE,HF(如图).
a b
a b α
α
平行
异面
(4)已知直线 a∥平面α,如何在平面α内找 出和直线 a 平行的一条直线?
过直线a作一平面与已知平面相交,则 交线为所求.
二、 直线和平面平行的性质定理
如果一直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
已知:l ∥α, l 求证:l ∥m
(平行,线面平行的性质定理)
(3). 平行于同一平面的两条直线是否平行 ? (不一定)
(4).过平面外一点与这平面平行的直线
有多少条?
(无数条)
例题讲解: 例1、已知直线 a∥直线b,直线 a∥平面α, b α 求证:b∥平面α 证明:过a 作平面β交 平面α于直线 c
∵ a∥ α ∴ a∥ c

β,α∩β= m
β
l
又 l 和 m 都在平面β内,且没有公共点;
∴l ∥m.
∵l ∥α 证明: ∴l 和α没有公共点; 又∵m α α ∴l 和 m 也没有公共点;
m
线线平行
线面平行
线面平行

线线平行
a b a∥α a b
证线面平行关键
l l m∥ l m
S
CD=34,求SC。
α
A
S
C
A
C
α
β
D
B
β
B
D
例3、已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD
外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,
画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
练习、如果两个相交平面分别经过两条平行直线 中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.
已知:平面α∩ 平面β= l, a a∥l , b∥l. 证明:∵a∥b,b β,a
P M
G
D
C
H
A
O
B
小结:
(1)判定定理和性质定理应用时不要混淆;
(2)证线面平行,用判定定理,证线线平行,用性质
定理; (3)
判定
性质
线线平行
线面平行
线线平行
复习
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行。
定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行
// // ,
BG // CH , AD // GE // HF. AB AG AG DE , . BC GH GH EF AB DE . BC EF
G
H
l
m
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面,那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
a∥α无交点
a α
有无数个交点
直线与平面α 相交 a ∩ α= A 有一个交点
(2)怎样判定直线和平面平行?
①定义. ②判定定理(线线平行
a
b α
线面平行).
a b a // a // b
(3)如果一条直线和一个平面平行,那么这条 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
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