《直线与平面、平面与平面平行的性质定理》

又 ∵ a∥ b ∴ b∥ c
∵ b α, c
β
a
b
α
c
α
∴b∥α.
例2、有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′． 要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和 棱BC将木料锯开，应怎样画线？ 所画的线和面AC有什么关系？
D
A
P
C
Leabharlann BaiduD A
B
C
B
已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外 一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，画 出过G和AP的平面。

β,α∩β= m
β
l
又 l 和 m 都在平面β内，且没有公共点；
∴l ∥m.
∵l ∥α 证明： ∴l 和α没有公共点； 又∵m α α ∴l 和 m 也没有公共点；
m
线线平行
线面平行
线面平行

线线平行
a b a∥α a b
证线面平行关键
l l m∥ l m
a
b
证明
a
//
b
a, b没有公共点 a, b都在平面内
a // b
平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的交线平行。
α
a
β
b
例题分析
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条
平行线段相等
D
α
A
C
β
B
面面平行的几条性质： 1．性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
在于找线线平行
（中位线、平行四边形）
练习: (1).如果一条直线和一个平面平行, 这个平 面 内是否只有一条直线和已知直线平行呢?
(不是)
平面内哪些直线都和已知直线平行 ? 有几条?
(有无数条)
(2).如果a∥α, 经过a 的一组平面分别和α相 交于b、c、d …,b、c、d …是一组平行线 吗？为什么？
问题1：若两个平面平行，则一个平面 内的直线a与另一个平面内的直线有 什么位置关系
a

c

b
异面、平行
问题2：平面ABCD内哪些直线会与直线 B D 平行？怎么样找到这些直线？
A′ D′
C′
' '
D A
' '
B′
C
B
平面ABCD内的直线只要与B D 共面即可
已知平面，， ， // , a, b 求证：a // b
// // ,
BG // CH , AD // GE // HF. AB AG AG DE , . BC GH GH EF AB DE . BC EF
G
H
l
m
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
面面平行
线面平行
例2、求证：如果过平面内一点的直线平行于 与此平面平行的一条直线，那么这条直线在 此平面内。 已知：l ∥α，点 P ∈α, P ∈m 且 m∥l 求证：m α β 证明：设 l 与P 确定的平 面为β，且α∩β= m'
S
CD=34，求SC。
α
A
S
C
A
C
α
β
D
B
β
B
D
例3、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，
画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
练习、如果两个相交平面分别经过两条平行直线 中的一条，那么它们的交线和这两条直线平行.
已知:平面α∩ 平面β= l, a a∥l , b∥l. 证明：∵a∥b，b β，a
（2）直线 a∥平面α，平面α内有无数条直线 交于 一点，那 么这无数条直线中与直线 a 平行的（ B ） （A）至少有一条 （C）有且只有一条 （B）至多有一条 （D）不可能有
练习： 点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A E C
课内练习： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，
b α,
β
β, a∥b（如图）求证：
∴a∥β 又∵a α，平面α∩ 平面β= l
∴a∥l
l
同理b∥l
故a∥l , b∥l .
a
b
β
α
(平行，线面平行的性质定理)
(3). 平行于同一平面的两条直线是否平行 ？ (不一定)
(4).过平面外一点与这平面平行的直线
有多少条？
(无数条)
例题讲解： 例1、已知直线 a∥直线b，直线 a∥平面α, b α 求证：b∥平面α 证明：过a 作平面β交 平面α于直线 c
∵ a∥ α ∴ a∥ c
β
b
α r
a
面面平行的几条性质： 2． 两个平面平行，其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面
可根据两个平面平行与直线和平面平行的定义证明
面面平行转化 为线面平行或 线线平行
这个结论可作为两个 平面平行的性质
例2: P是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、 PD两点M、N满足AM：MB=ND：NP。 求证：MN∥平面PBC。
a b
a b α
α
平行
异面
（4）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内找 出和直线 a 平行的一条直线？
过直线a作一平面与已知平面相交，则 交线为所求.
二、 直线和平面平行的性质定理
如果一直线和一个平面平行，经过这条直线的平 面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
已知：l ∥α, l 求证：l ∥m
N D E A M B C P
两个平面平行的几条性质
性质3：夹在两个平行平面间的平行线段相等． 性质4：平行于同一平面的两平面平行
2.已知三个平行平面 , , 与两条直线l , m 分别相并于点A, B, C和点D, E, F.
AB DE 求证 : . BC EF 证明: 过A作直线AH//DF, G , H . 连结AD,GE,HF(如图).
巩固训练：如图所示，在三棱柱
ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB， AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
直线和平面平行的 性质定理
1
一、复习： (1). 直线和平面有那些位置关系?
a a
a
A
α
直线在平面α内
α
α
直线与平面α 平行
a∥α无交点
a α
有无数个交点
直线与平面α 相交 a ∩ α= A 有一个交点
（2）怎样判定直线和平面平行？
①定义. ②判定定理（线线平行
a
b α
线面平行）.
a b a // a // b
（3）如果一条直线和一个平面平行，那么这条 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
P M
G
D
C
H
A
O
B
小结：
（1）判定定理和性质定理应用时不要混淆；
（2）证线面平行，用判定定理，证线线平行，用性质
定理； （3）
判定
性质
线线平行
线面平行
线线平行
复习
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
l P ． m' m
则l ∥m' , 又 l ∥m，m∩m'= P ∴m' 和m 重合（否则过点P 有两条直线与l 平行，这与平行公理矛盾）
∴m
α

α
练习：
（1）直线 a∥平面α，平面α内有 n 条互相平行的直线， 那么这 n 条直线和直线 a ( C ) （A）全平行 （C）全平行或全异面 （B）全异面 （D）不全平行也不全异面