高中物理--万有引力与天体运动--最全讲义及习题及答案详解汇总

。（写出方程）
（2）天体质量，密度的估算
测出环绕天体作匀速圆周运动的半径 r，周期为 T，由
（写出方程）得出被环绕天体的质量为
（写
出表达式），密度为
（写出表达式），R 为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则密度为
（写出表达式）。
（3）环绕天体的绕行线速度，角速度、周期与半径的关系。
2
当人造卫星进入地面附近的轨道速度大于 7.9 km/s 时，它绕地球运行的轨迹就不再是圆形，而是椭圆形.
⑵第二宇宙速度: 当卫星的速度等于或大于 11.2 km/s 时，卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我 们把 v2=11.2 km/s 称为第二宇宙速度,也称脱离速度。
5.双心问题 在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星． 它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为 M1 和 M2，相距 L， 求它们的角速度． 如图 ，设 M1 的轨道半径为 r1，M2 的轨道半径为 r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律 有：
⑥应该熟记常识：地球公转周期 1 年, 自转周期 1 天=24 小时=86400s, 地球表面半径 6.4ｘ103km 表面重力加速度 g=9.8 m/s2 月球公转周
期 30 天
例题精讲 1. 对万有引力定律的理解 （1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反 比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。
①由 G
Mm r2
m
vLeabharlann Baidu r
得
②由
G
Mm r2
m
2r
得
∴r 越大，v
∴r 越大，
1
③由 G
Mm r2
m
4 2 T2
r
得
∴r 越大，T
（4）三种宇宙速度
①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v1=7.9km/s，人造卫星在
附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v2=11.2km/s，使物体挣脱地球束缚，在 附近的最小发射速度。
r2
T
GT 2
r3 (T2
恒量 )
ρ=
M 4 R3
3r 3 GR3T 2
(当
r=R
即近地卫星绕中心天体运行时) ρ= 3
GT 2
3
3 GT近 2
3 GT远2
( R h)3 R
（
M=
V
球
= 4 r3） s 球面=4 r2 s= r2 (光的垂直有效面接收，球体推进辐射) s 球冠=2 Rh
V 同步=3.08km/s﹤V 第一宇宙=7.9km/s =15o/h(地理上时区) ④运行速度与发射速度、变轨速度的区别
a=0.23m/s2
⑤卫星的能量:r 增 v 减小(EK 减小<Ep 增加),所以 E 总增加;需克服引力做功越多,地面上需要的发射速度越大
⑦卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不能进行
6.三星模型 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．现已观测到稳定的三 星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星等间距地位于同一直线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三 颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．
6
（2）公式表示：F=
Gm1m2 r2
。
（3）引力常量 G：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体（可看成质点）相距 1m 时的相互作用力。 ③ G 的通常取值为 G=6。67×10-11Nm2/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。④一个重要物理常量的意义：根据万有引力定律和牛顿第
Mm v2
GM
轨道上正常转：
G r2
=m
R
v
r
【讨论】(v 或 EK)与 r 关系，r 最小时为地球半径时，v 第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小的发射速度)； T 最小=84.8min=1.4h
①沿圆轨道运动的卫星的几个结论: v= GM ， GM ，T= 2 r 3
r
r3
GM
⑵在地面附近万有引力近似等于物体的重力
1、人造卫星的 v、ω、T、a 与轨道半径 r 的关系
r 越大，v 越小。 r 越大，ω越小。
r 越大，T 越大。
r 越大，a 向越小。
补充：V T W a 与 r 的正比关系
1 F∝ r 2
1 ；a∝ r 2 ; v∝
1 ; ∝
r
1
；T∝
r3
r3 。
规律：越高越慢
（2）万有引力定律公式：
（3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。
3、万有引力定律在天文学上的应用
（1）基本方法：
①把天体的运动看成
运动，其所需向心力由万有引力提供：
（写出方程）____________________________
②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：
2、天体质量 M、密度ρ的估算（以地球为例） ⑴若已知卫星绕地球运行的周期 T 和半径 r
3
①地球的质量：
②地球的密度（设地 球半径 R 已知）：
⑵若已知卫星绕地 球运行的线速度 v 和半径 r
①地球的质量：
②地球的密度（设地 球半径 R 已知）：
⑶若已知卫星绕地球运行的线速度 v 和周期 T（或角速度ω）
1．双星系统模型的特点： (1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等． (2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等； (3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即 r1＋r2＝L.
2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比． (3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．
3
轨道上正常转：
Mm
v2
F 引=G
r2
= F 心= ma 心= m
R
m
2
R=
m
4 2 T2
R m4 2 n2 R
Mm
v2
地面附近： G R 2 = mg GM=gR2 (黄金代换式)
mg = m v R
gR =v 第一宇宙=7.9km/s
题目中常隐含：(地球表面重力加速度为 g)；这时可能要用到上式与其它方程联立来求解。
第四节 万有引力与天体运动
轨道定律
开普勒行星运动定律 面积定律
定律 万有引力定律 万有引力定律
周期定律 发现 表述
G 的测定
应用
天体质量的计算 发现未知天体 人造卫星、宇宙速度
［本章要点综述］
1、开普勒行星运动定律
第一定律：
。
第二定律：
。
第三定律：
。即：
2、万有引力定律
（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。
二定律可得：G
Mm r2
＝mr
(
2 T
)2
∴
r T
3 2
GM 4 2
k
.这实际上是开普勒第三定律。它表明
r T
3 2
k 是一个与行星无关的物理量，它仅
仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时， 只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。 （4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接 使用万有引力定律计算。 ②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的 r 是指两球心间的距离。 ③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后 求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性： ①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相 互作用之一。 ②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。 ③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的 质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。天体间的主要作用力就是万有引力了。 【例 1】设地球的质量为 M，地球的半径为 R，物体的质量为 m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是： A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。
3、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离．
二．万有引力定律的应用
1、行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力．
⑴表面重力加速度：因
则
⑵轨道上的重力加速度：因
则
2、人造卫星 ⑴万有引力提供向心力：人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力是地球对它的万有引力提供的，因此解决卫星问题 最基本的关系是：
⑵同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期 ①周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T＝24 h. ②角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度． ③轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内． ④高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度 约为 h=3.6×104 km. ⑤环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是 3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同． 3、三种宇宙速度 ⑴第一宇宙速度: 要想发射人造卫星，必须具有足够的速度，发射人造卫星最小的发射速度称为第一宇宙速度，v1=7.9 km/s。但却是绕地球做匀速圆周运动 的各种卫星中的最大环绕速度。
互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。
⑵轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度
虽小，但发射速度越大。
⑶解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解
①若 F 供＝F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动．
③第三宇宙速度：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在
附近的最小发射速度。
一．万有引力定律 1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小 F 与这两个物体质量的乘积 m1m2 成正比， 与这两个物体间距离 r 的平方成反比．
2、公式：
其中 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，称为引力常量．
A
于远地点的向心加速度。
加速(离心)或减速(向心)实现． 率越大． 一轨道上，近地点的向心加速度大
B
4.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题 近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同： 1．轨道半径：r 同>r 近＝r 物 2．运行周期：T 同＝T 物>T 近 3．向心加速度：a 近>a 同>a 物
②若 F 供＜F 求，供不应求——物体做离心运动．
③若 F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．
4
卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目的，可以通过
⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行星)越近速 ⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速度大；同
②理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r 最小时为地球半径、 最大的运行速度=v 第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T 最小=84.8min=1.4h
③同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极仍有盲区)
轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高 h=3.56ｘ104km(为地球半径的 5.6 倍)
⑶第三宇宙速度: 当物体的速度等于或大于 16.7 km/s 时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把 v3=16.7 km/s 称为第三宇 宙速度，也称逃逸速度。
说明：宇宙速度是指发射速度，不是卫星的运行速度。
三、万有引力定律的应用例析 基本方法： ⑴天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供
①地球的质量：
②地球的密度（设地球半径 R 已 ⑷若已知地球半径 R 和地球表面 ①地球的质量：
知）： 的重力加速度 g
②地球的密度（设地球半径 R 已
知）：
3、卫星变轨和卫星的能量问题
⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是
主动或由于其他原因使速度
发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相
5
附录：万有引力相关公式 1 思路和方法:①卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, ② F 心=F 万 (类似原子模型)
2 公式：G Mm r2
=man，又 an= v 2 r
2 r ( 2)2 r ， T
则 v=
GM ， r
GM ，T= 2 r 3
r3
GM
3 求中心天体的质量 M 和密度ρ
由 G Mm ==m 2 r =m ( 2)2 r M= 42 r 3