高中数学概率(递推数列应用)

概 率
从原点出发的某质点M ，按向量a ＝（0，1）移动的概率为23
，按向量b ＝（0，2）移动的概率为13
，设M 可到达点（0，n ）(n=1,2,3,…)的概率为n P 。

（1）求1P 和2P 的值；
（2）求证：2111()3
n n n n P P P P +++-=--
（3）求n P 的表达式.
解: (1)1227,39
P P == (2) (0,n+2)=(0,n+1)+(0,1)=(0,1)+(0,2), ∴2121
33
n n n P P P ++=+,2111133n n n n P P P P +++-=-+111()33
n n P P +=--. (3)311()443n n P =+-
在一个边长为1m 的正四面体的3个顶点上，3个粒子同时以1m/s 的速度沿着棱向另一个顶点运动，若每一个粒子运动时，向3个顶点运动的概率一样，且任意2个或3个粒子相遇即合为一个（若在棱上相遇，则粒子间无任何影响），设P （n,k ）为经过n s 后剩下k 个粒子的概率，求：
（1）P(1,1), P(1,2), P(1,3);
(2) P(n,3)
解答：（1）要1s 后剩1个粒子，即要1s 后3个粒子都运动到0s 时无粒子的顶点处，从而合三为一，故P(1,1)=
10
111112101
01910112152112())()223663223111022
5331010n n n n n n i i P P P P P P P P PPPPPP ----=-=⨯-+-⨯-⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦⨯∑ ＝＋＝＋＋＋222（－）＋（－）＋＋（－）＋3332－（－）3
31()3=127
. 要1s 后剩2个粒子，即3个粒子中有两个粒子都运动到0s 时无粒子的顶点处，从而要1s 后剩2个粒子，即3个粒子中有两个粒子在1s 后合二为一。

有两种情况：
○
1能合二为一的两个粒子都运动到0s 时无粒子的顶点处，合二为一，同时另一粒子不运动到此；
○
2能合二为一的两个粒子都运动到0s 时无粒子的第三个粒子处，合二为一，同时第三个
粒子离开（第三个粒子离开时必然事件）。

故P(1,2)=2222331
1
1
5()(1)()13339
C C -+⋅= ∴P(1,3)=1-P(1,1)-P(1,2)=
1127. (2)经过ns 后剩下3个粒子，即要每经过1s 后都剩下3个粒子， ∴P(n,3)=[]11(1,3)()27
n n P =
甲、乙二人拿出两颗骰子作抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和补小于10时，原来掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和小于10时，就由对方接着掷，第一次由甲开始掷，记第n 次由甲掷的概率为n P .
（1）求2P 、3P
（2）试用1n P -表示n P （
2n ≥）,并证明12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （3）求10
1i
i P =∑ 解答：（1）掷两颗骰子，有36种可能结果，其中和不小于10的有（6，6），（5，6），（6，
5），（4，6），（5，5），（6，4）共6种结果，∴掷出的点数之和不小于10的概率为16；反之，掷出的点数之和小于10 的概率为56。

第二次由甲掷，则甲第一次所掷点数不小于10，216
P =； 第三次由甲掷，指第二次甲掷且得点数之和不小于10，或第二次由乙掷且得点数之和小于
10，∴3115513666618
P =
⨯+⨯= （2）第n 次（2n ≥）由甲掷，指第(n-1)次甲掷且得点数之和不小于10，或第(n-1)次由乙
掷且得点数之和小于10，∴概率1115(1)66n n n P P P --=+-＝15263
n P --， ∴1112()223n n P --=⨯-，即12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是首项为112P -＝12，公比为23-得等比数列。

（3）1112()223n n P --=⨯-，1112()223n n P -⨯-＝＋，∴1012101
i i P P P P =∑ ＝＋＋＋ ＝019111022
⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦ 222（－）＋（－）＋＋（－）＋333 ＝105331010⨯2－（－）3。