倒立摆控制系统设计报告

控制系统综合设计

倒立摆控制系统

院（系、部）：

组长：

组员

班级：

指导教师：

2014年1月2日星期四

目录

摘要

----------------------------------------------------------------------------------3

引言

----------------------------------------------------------------------------------3

一、整体方案设计

--------------------------------------------------------------3

1、需求

-----------------------------------------------------------------------------3

2、目标

-----------------------------------------------------------------------------3

3、概念设计

----------------------------------------------------------------------3

4、整体开发方案设计

---------------------------------------------------------3

5、评估

----------------------------------------------------------------------------4

二、系统设计

--------------------------------------------------------------------4

（一）系统设计

-----------------------------------------------------------------4

1、功能分析

----------------------------------------------------------------------4

2、设计规和约束

------------------------------------------------------------6

3、详细设计

----------------------------------------------------------------------7

（二）机械系统设计

--------------------------------------------------------

---8

三、理论分析

---------------------------------------------------------------------9

1、控制系统建模

----------------------------------------------------------------9

2、时域和频域分析

------------------------------------------------------------13

3、设计PID或其他控制器

---------------------------------------------------21 四、元器件、设备选型

--------------------------------------------------------

30

五、加工制作

--------------------------------------------------------------------33

1、加工图纸

---------------------------------------------------------------------38

2、材料选择

----------------------------------------------------------------------38

3、加工方案

----------------------------------------------------------------------38

六、安装调试

--------------------------------------------------------------------38

七、经济性分析

-----------------------------------------------------------------39

八、结论

---------------------------------------------------------------------------39

1、课程设计总结

----------------------------------------------------------------39

2、感悟和体会

-------------------------------------------------------------------39

3、致

--------------------------------------------------------

---------------------40

九、参考文献

----------------------------------------------------------------------40

倒立摆控制系统设计

摘要：在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单，便于实现多种不同类型的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。本文采用频率响应控制方式和PID控制方式对倒立摆的控制过程进行分析和研究，最终使倒立摆立起并保证其稳定。

关键词：倒立摆最优控制 PID调节频率响应

引言：自动控制理论在当前的工程技术界，主要解决如何面向工程的实际应用问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，因而，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验是极其重要的。倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中的被控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。因此说，倒立摆为科技研究提供了一个从控制理论通往实践的桥梁。

一整体方案设计

1、需求

随着科学技术的不断进步，人们在生产和生活中越来越注重事物的精确性，因此，不确定因素就开始引起人们的广泛关注。提及不确定性，控制领域的人都会想起倒立摆系统，因为倒立摆系统是典型的多变量、非线性、不稳定系统，通过对它的研究，能有效的反映出许多抽象的控制理论及概念。其控制方法在军事、航空航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。目前，倒立摆已经成为控制领域的一项热门研究。

2、目标

倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡、过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

3、概念设计

倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象在引入适当的控制策略的基础上而成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。

4、整体开发方案设计

通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论，推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化，得到倒立摆的状态方程和输出方程，再设计出PID控制器实现对其的控制。实验参数自己选定，但要合理，符合实际情况，使用模糊控制方式，并利用 MATLAB 软件，用simulink对相应的模块进行仿真。

5、评估

对自然不稳定物体，人为地施加一定的控制手段，使之稳定，达到人们的需求。这正是倒立摆的控制思想，不仅如此，日常生活中，所有重心在上、支点在下的物体的控制思想都源于此。一般而言，对倒立摆的控制目的就是通过控制力F的作用，使小车左右运动，从而带动摆杆的摆动，将单摆控制在倒立点附近，在这样的单摆系统中，摆杆的平衡位置有两个，一个是自然下垂位置，另一个是竖直向上的倒立位置，因此倒立点是一个不稳定的平衡位置，摆杆一旦偏离倒立点，即使很小的角度，也会使整个系统失去平衡。

二系统设计

（一）

1、功能分析

（1）被控对象

倒立摆的被控对象为摆杆和小车。摆杆通过铰链连接在小车上，并可以围绕连接轴自由旋转。通过给小车施加适当的力可以将摆杆直立起来并保持稳定的状态。

（2）传感器

倒立摆系统中的传感器为光电编码盘。旋转编码器是一种角位移传感器，它分为光电式、接触式和电磁感应式三种，本系统用到的就是光电式增量编码器。

光电编码器外观、剖面图和原理示意图

图为光电式增量编码器示意图，它由发光元件、光电码盘、光敏元件和信号处理电路组成。当码盘随工作轴一起转动时，光源透过光电码盘上的光栏板形成忽明忽暗的光信号，光敏元件把光信号转换成电信号，然后通过信号处理电路的整形、放大、分频、记数、译码后输出。

光电式增量编码器的测量精度取决于它所能分辨的最小角度α，而这与码盘圆周所分狭缝的线数有关：α=360°/ n，其中n为编码器线数。对于线数为n的编码器，设信号采集卡倍频数为m ，则有角度换算关系为φ= 360°N/n? m，式中φ为编码器轴转角，N 为编码器读数。对于电机编码器，在倒立摆使用中需要把编码器读数转化为小车的水平位置，因此l =180°×ΦN/n? m式中l 为小车位移，Φ为同步带轮直径。

（3）电控箱：

电控箱安装有以下主要部件：1）交流伺服驱动器;2)I/O接口板：3）开关电源：4）开关、等电器元件

（4）执行机构

倒立摆系统的执行机构为松下伺服电机和与之连接的皮带轮。电机的转矩和速度通过皮带轮传送到小车上，从而带动小车的运动。电机的驱动由与其配套的伺服驱动器提供。松下伺服电机及其

驱动器如图所示。

电机的控制是通过固高公司的GT 系列运动控制器（见图）实现的。该控制器可以同步控制四个运动轴，实现多轴协调运动。运动控制器以计算机为主机，提供标准的ISA 总线或PCI 总线接口，并且可以提供RS232 串行通讯和PC104 通讯接口。运动控制器同时具有A/D 信号采集功能，从而能够将光电编码盘的信号传递到计算机。

2、设计规和约束

用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，它的局限性是显而易见的。只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。这就是说，满足稳定极点配置的状态反馈阵很多，而能使倒立摆稳定竖立的状态反馈阵只有很少的一个围，这个围要花大量的时间去寻找。

3、详细设计

原料清单：

器件名称单价/加工费用数量

倒立摆基座100元1

角编码器520元1

松下伺服电机2700元1

滑杆25元2

摆杆15元1

小车160元1

同步带28元1

限位开关2元2

带轮50元2

运动控制器6300元1

带轮基座65元2

滑杆基座50元2

电线拖链30元1

设计原型：

产品分析：

我们所使用的是固高科技直线二级倒立摆，型号为GLIP2002，它具有工业化、模块化、开放性和创新性的特点。工业化即它的机械结构是按照工业标准设计及制造，所有产品零部件均采用工业级产品；模块化即只需增减摆杆组件就可实现同类倒立摆单级与多级之间的转换，不同类别倒立摆的转换只需要更换基座；开放性是指基于PC和DSP 运动控制器的开放式硬件控制平台，固高Simulink通用软件实验平台，可直接对系统进行建模、仿真和实际控制；创新性即随意配置独具个

性的实验平台，开发和验证自己的控制算法。

（二）机械系统设计

倒立摆系统中的计算机、运动控制卡、伺服驱动器、倒立摆本体（包含摆杆、小车、伺服电机、光电码盘）几大部分组成了下图所示的一个闭环系统。

倒立摆系统框图

倒立摆硬件组成方框图

光电码盘1 将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，而光电码盘2 将摆杆的位置、速度信号反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移

动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。

三理论分析

1、控制系统建模

微分方程的推导：

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图4.1所示。

图4.1 直线一级倒立摆系统

我们不妨做以下假设：

M 小车质量

m 摆杆质量

b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度

I 摆杆惯量

F 加在小车上的力

x 小车位置

φ摆杆与垂直向上方向的夹角

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

倒立摆模型受力分析图

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

.

..N x b F x M --=

对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

)sin (22

θl x dt

d m N +=

把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

F ml

ml x b x m M =-+++?θθθθsin cos )(2

.....

.

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

)cos (22

θl dt

d m mg P =-

力矩平衡方程如下：

..

cos sin θθθI Nl Pl =--

注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+?，cos ?=-cos θ,sin ?=-sin θ,故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去和，得到第二个运动方程：

θθθcos sin )(..

..2

x ml mgl ml I -=+=

设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，

即φ《1，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2

=dt

d θ，用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下:

?????=-++=-+u ml x b x m M x

ml mgl ml I ..

.....

..2

)()(???

令a=..

x ,拉氏变换后为)()()()(2

2

s mlV s mg s s ml I =-+φφ 角度与加速度之间传递函数为：

mgl

s ml I ml

S V s -+=

22)()

()

(φ

对方程组(1.3)进行拉普拉斯变换，得到 :

????

?=-++=-+)

()()()()()()()(2

22

..

22

s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX mgl s s ml I φφφ 把方程组化简得到一级倒立摆的传递函数为:

s

q

bmgl

s q mgl m M s q ml I b s s

q

ml s U s -+-++=23)

242

)(()()(φ 其中q=[(M+m)(I+ml 2

)-(ml)2

]

实际系统的模型参数如下:

M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg

b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m

T 采样频率 0.005秒

校正前系统动态性能分析:mgl

s ml I ml

s G -+=

2

20)()( 将参数值带入得到系统开环传递函数为26705.00102125.002725

.0)(20-=s s G

起摆时系统建模

起摆演示操作模块

采用能量控制策略和时间最优控制法来实现倒立摆的起摆控制。摆杆的初始位置是自然下垂状态，要使摆杆从初始位置起摆直到竖直向上位置，且速度减少到0，所需的能量为 mgl E 20= 而倒立摆系统在任意角度时的能量为

)1(cos 2

1.2

-+=θθmgl I E

对其求微分可得：

θθθθθθcos sin .....mul mgl I dt

dE

-=-=

由于倒立摆本身系统特点，刚开始运动的摆杆具有摆动能量小于2mgl ，只有经过能量反馈，调整小车的加速度，从而增加摆杆的摆动能量，最终达到mgl 2。能量反馈表达式为： )(0E E k u -= 其中，K 为系数。

摆杆相对于初始位置有四种不同运动状态，如下： （1）θ>0,.

θ>0 (2)θ>0,.

θ<0 (3)θ<0,.

θ<0 (4)θ<0,.

θ<0 当系数0=u 即,θ=0或π时，不能控制u 控制摆杆的能量。为使

dt

dE >0

当θθcos .

为负时，u 应该为正。

应用雅普夫方法我们可以得到控制策略。可设雅普诺夫函数为：

20)(2

1

E E V -= 令控制策略为：

θθcos )(.

0E E k u -= 可以得到：

2.0.00)cos )((cos )()(θθθθE E mlk mul E E dt

dE

E E dt dV --=--=-= 只要0.≠θ并且0cos ≠θ，则就有0πdt dV 。虽然在2

π

θ±=是摆杆不能控，但是由于摆杆在该位置并不是稳定点，因此将能量E 带到0E 。

为使能量尽快增加，则控制量的幅值需要尽可能大，因此可采用控制策略 ))cos ()((.

0θθsign E E k sat u ng -=

其中ng sat 代表以ng 为限幅的线性函数，()sign 为符号函数，且有

由上可以看出，摆杆自然下垂时，πθ=或πθ-=系统具有的能量为-mgl 2-，处于稳定竖直向上的状态时0=θ，所以当摆杆从自然下垂状态开始起摆时，u 的起始值始终为正才能保证能量不断增加。

2、时域和频域分析

时域分析：

用MATLAB 对此系统的动态性能进行分析。对系统施加单位阶跃输入信号，然后观察响应曲线并分析系统的动态性能。用step( )函数命令编写求单位阶跃响应的MATLAB 程序段如下： M=1.096; m=0.109;

l=0.25; I=0.0034; T=0.005; g=9.8; num=[m*l];

den=[(I+m*l*l) 0 -m*g*l]; step(num,den);

title('G(S)=ml/[(I+ml*l)s*s-mgl]的单位阶跃响应'); xlabel('时间/sec'); ylabel('幅度')

24681012

00.511.5

2

2.5

x 10

25

G(S)=ml/[(I+ml*l)s*s-mgl]的单位阶跃响应

时间/sec (seconds)

幅度

图2 单位阶跃响应图

由系统的单位阶跃响应曲线可知，此系统很不稳定，是发散的，不存在动态性能指标，因此需要对其进行校正。 频域分析： num=[0.02725];

den=[0.0102125 0 -0.26705];

bode(num,den),grid; %绘制波特图并加栅格 title('波特图')

xlabel('频域/(rad/sec)') ylabel('幅度/dB') ylabel('相位/deg')

-80-70-60-50-40-30

-20M a g n i t u d e (d B

)

10

10

1

10

2

-180

-180-180-180-180

-180相位/d e g (d e g )

波特图

频域/(rad/sec) (rad/s)

上面我们已经得到了系统的Bode 图，但是无法找到截止频率，因此增加一定比例，设

26705

.00102125.002725.0)()(2

1-=

=s K

s KG s G 根据稳态误差要求计算增益 K ，

1026705.00102125.002725.0lim

20=-=→s k

K s P

可以得到：98=k 于是有：

26705.00102125.06705

.226705.00102125.09802725.0)(22-=

-?=

s s s G

用MATLAB 求校正前系统的幅值裕量和相位裕量

用命令margin(G)可以绘制出G 的伯德图，并标出幅值裕量、相位裕量和对应的频率。用函数[kg,r,wg,wc]=margin(G)可以求出G 的幅值裕量、相位裕量和幅值穿越频率。

程序：

num=[2.6705];

den=[0.0102125 0 -0.26705]; margin(tf(num,den))

[kg,r,wg,wc]=margin(tf(num,den)) xlabel('频域/(rad/sec)') ylabel('幅度/dB') ylabel('相位/deg')

得到的幅值裕量和相位裕量如图所示：

-40-30-20-10010

20M a g n i t u d e (d B )

10

10

10

-180

-180-180-180-180

-180相位/d e g (d e g )

Bode Diagram

Gm = -20 dB (at 0 rad/s) , P m = 0 deg (at 15.3 rad/s)

频域/(rad/sec) (rad/s)

运行结果： kg=0.1000 r=0

wg=0 wc=15.3409

即相角域度?

=0γ。

对校正前系统进行仿真分析

Simulink 是可以用于连续、离散以及混合的线性、非线性控制系统建模、仿真和分析的软件包，并为用户提供了用方框图进行建模的图形接口，很适合于控制系统的仿真。

仿真后得到的结果如图所示：