(完整版)08级第3次习题参考答案

第三次习题参考答案
1. 一维无限长同种原子链和一维无限长异种原子链是从实际中抽象出来的模型，试在简单 立方、体心立方、面心立方、氯化钠、氯化铯晶体中找到原型
答：简单立方、体心立方、面心立方都是由同种原子构成的，立方体的各个边方向、 面心立方、体心立方的体对角线方向，面心立方的面对角线上都能抽象出一维无限长同种原 子链；氯化钠、氯化铯是由两种’原子’构成的，在氯化钠元胞的各个边上、氯化铯元胞的 体对角线上都能抽象出一维无限长异种原子链。

2. 弓I 入玻恩卡门条件的理由是什么？
答：(1)方便于求解原子运动方程。

由书中可知，除了原子链两端的两个原子外， 其它 任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关，
即除了原子链两端的两个原子外， 其它
原子的运动方程构成了个联立方程组， 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子， 其运动 方程仅与一个相邻原子的运动相关， 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同。

与其它原子 的运动方程不同的这两个方程，给整个联立方程组的求解带来了很大的困难。

(2)与实验结果吻合得较好。

对于原子的自由运动，边界上的原子与其它原子一样，无 时无刻不在运动。

对于有 N 个原子构成的的原子链，硬性假定 5=0, U N =O 的边界条件是不
符合事实的。

其实不论什么边界条件都与事实不符。

但为了求解近似解， 必须选取一个边界
条件。

晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证。

玻恩卡门条件是晶格振动理 论的前提条件。

实验测得的振动谱与理论相符的事实说明， 玻恩卡门周期性边界条件是目前
较好的一个边界条件。

3•什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？
答：为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，
在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力
的泰勒级数中的高阶非线性项忽略掉的近似称为简谐近似。

在简谐近似下，由 N 个原子构
成的晶体的晶格振动，可等效成
3N 个独立的谐振子的振动。

每个谐振子的振动模式称为简
正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动， 它是晶格振动模式中最简单最 基本的振动方式。

原子的振动，或者说格波振动通常是这
3N 个简正振动模式的线性迭加。

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事， 这个数目等于晶体中所有原子
的自由度数之和，即等于 3N 。

4. 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？
答：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子， 它是一种玻色子， 服从玻色-爱因斯
坦统计，即具有能量为 h j (q)的声子平均数为
n j (q)
h j (q)/( K B T)'
e
1
对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的, 变化。

而是在一定的条件下发生
5. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?
答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，
振动频率较高，它包含
了晶格振动频率最高的振动模式。

长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移， 原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。

任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格
(非复式格子)晶体不存在光学支格波。

6. 晶体中声子数目是否守恒？
答：频率为 心的格波的(平均)声子数为：
n( i )
-------- 1
------- exD(
k B T ) 1
即每一个格波的声子数都与温度有关，因此，晶体中声子 数目不守恒，它是温度的变量。

7. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？
答：频率为3的格波的(平均)声子数为：
因为光学波的频率 3。

比声学波的频率 3高，(e o/kBT 1)大于(e A/kBT 1)，所以在温度 一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。

8. 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多？
答：设温度T H >T L ，由于(e /kBTH 1)小于(e /kBTL 1)，所以温度高时的声子数目多于 温度低时的声子数目。

9. 咼温时，频率为 3的格波的声子数目与温度有何关系？
答：温度很高时，e /kBT 1
/k p T ，频率为3的格波的(平均)声子数为: 1
^k B T 7
e B 1
可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。

10.
长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？
答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化， 其根源是长光学格波使得原胞内不同 的原子(正负离子)产生了相对位移。

长声学格波的特点是，原胞内所有的原子没有相对位移。

因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。

11.
金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等？对 KCI 晶体，结论
又是什么？
答：长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移，
离子的相对位移产生出宏观极化
电场，电场的方向是阻滞离子的位移，使得有效恢复力系数变大，对应的格波的频率变高。

长光学格横波不引起离子的位移，
不产生极化电场，格波的频率不变。

金刚石不是离子晶体，
n()
/k p T
e
n()
k B T
1 i
2
其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等。

而 KCI 晶体是离子晶体，它的长光
学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等， 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横
波频率。

12•何谓极化声子？ 何谓电磁声子？
答：长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移，
离子的相对位移产生出宏观极化
电场，称长光学纵波声子为极化声子。

长光学横波与电磁场相耦合，使得它具有电磁性质， 人们称长光学横波声子为电磁声子。

13. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？
答：实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波。

这种现象产生的根源是离子晶体
中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合。

简单晶格中不存在光学波，所以简单晶格
不会吸收远红外光波。

14. 对于光学横波，3T T 0对应什么物理图象？
答：格波的频率3与厂成正比，3T T 0说明该光学横波对应的恢复力系数 戸0。

3=0
时，恢复力消失，发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置，
而到达另一平衡位置，即
离子晶体结构发生了改变(称为相变)。

在这一新的结构中，正负离子存在固定的位移偶极矩， 即产生了自发极化，产生了一个稳定的极化电场。

15. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？
答：按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为 1013H Z ，属于光学
支频率。

但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，
低温下对热容贡献大的主要是长声学格
波。

也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差 的根源。

16. 在甚低温下，不考虑光学波对热容的贡献合理吗？
答：在简谐近似下，光学波的模式密度与温度无关。

在甚低温下，ex )(
)/T 0 , k B T
即光学波对热容的贡献可以忽略， 也就是说，在甚低温下，不考虑光学波对热容的贡献是合 理的。

17.
在甚低温下，德拜模型为什么与实验相符？ 答：在甚低温下，不仅光学波得不到激发, 得到激发的只
是声子能量较小的长声学格波。

对热容的贡献。

因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。

18. 在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗? 答：频率为3的格波的振动能为：
n i 其中n i i 是由n i 个声子携带的热振动能，(一)是零点振动能，声子数：
而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，
长声学格波即弹性波。

德拜模型只考虑弹性波
2
1
exp( -) 1
k p T
绝对零度时，n i=0，频率为心的格波的振动能只剩下零点振动能。

格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的，绝对零度时，声子消失，格波间不再交换能量。

19.温度很低时，声子的自由程很大，当T T0时，—，问T T0时，对于无限长的晶
体，是否成为热超导材料？
答：对于电绝缘体，热传导的载流子是声子，当T T0时，声子数n T0,因此，T T0时, 不论晶体是长还是短，都自动成为热绝缘材料。

20.试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？
答：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，
但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒
子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。

“声子气体”与真实理想气体的相同之处是
粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。

21.声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U过程物理图像是
什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？
答：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式
q1 q2 q3 G n
其中上式中的G n表示一倒格子矢量。

对于G n 0的情况，即有q1 q2 q3，在
碰撞过程中声子的动量没有发生变化，这种情况称为正规过程，或N过程，N过程只是改
变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。

对于G n 0的情况，称
为翻转过程或U过程，其物理图像可由下图1来描述：
q i + q 2
q i +q z +G
t ___ - ___ ______ _ _
图1U 过程物理示意图
在上图1中，q i q 2是向“右”的，碰撞后 q 3是向“左”的，从而破坏了热流的方向，所 以U 过程对热阻是有贡献的。

U 过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量
子，所以其满足的是准动量守恒关系。

间的振动模式的数目就是 n 。

由于晶格振动模在q 空间分布是均匀的，密度为V/(2 )3(V
为晶体体积)，因此有
n J (频率为和+
的等频率面间的体积)
(2 )3
dSdq
将(2)式代入(1)式可得到状态密度的一般表达式为
V dS (2 )3 q (q)
(3)式中 q (q)表示沿法线方向频率的改变率。

2
当 cq 时，将之代入(3)式可得
q 2
q i
22.
若格波的色散关系为 cq 2和 0 cq
2
，试导出它们的状态密度表达式。

答：根据状态密度的定义式可知
()
n
lim -
(1)
其中 n 表示在
间隔内晶格振动模式的数目。

如果在q 空间中，根据
(q) con st 作出等频率面，那么在等频率面
dS
亠
V 1 1/2
(2 )2 c 3/2
2
)
当 0 cq ,将之代入（3）式可得
23•具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为
2X 10-10m ，由于非线性相互作用，一个沿
[100]方向传播，波矢大小为q 1.3 1010m -1的声子同另一个波矢大小相等当沿 [110]方向传
播的声子相互作用，合成为第
3个声子，试求合成后的声子波矢。

解：易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢
b 1、b 2和b 3互相
垂直，长度为 —
——3.14 1010 m -1，第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连
a 2 10 10
线的垂直平分面围成的立方体。

又因为
10
V 2 10
咄 2
10
q 1 q 2 1.3 10i （1.3
10i 1.3
10j ）
2 2
10 10
2.22 10 i 0.92 10 j
由此可知q 1 q 2落在第一布里渊区之外，
即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转
过程或U 过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有
q 1 q 2 q 3 G n （其中G n 表示一倒格矢）
10
为使q 3落在第一布里渊区里，取 G n 3.14 10 i ，则有
10 10 10
q 3 q 1 q 2 G n
2.22 10 i 0.92 10 j
3.14 10 i
10 10
(2 )3
q (q)
dS
V
(27 —4 q 2 2cq
V (2T 2
1
3/2
1/2
2
)
0.92 10 i 0.92 10 j
其大小为 q 3
0.92 1010i 0.92 1010j 1.3 1010m -1。