信号与系统复习资料第6章IIR滤波器的设计方法
第六章IIR滤波器的设计方法
j4
数字滤波器的频率响应：
H
(e
j
)
1
0.318e j 0.4177e j 0.01831e
j
2
冲激响应不变法的优缺点
优点： h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)
时域逼近良好 保持线性关系：=T
线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
缺点： 频率响应混迭
只适用于限带的低通、带通滤波器
通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带 为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通 带与阻带之间为过渡带。
滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。
阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量
带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
后各频率成分的衰减情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
通带： c
1 1 H (e j ) 1
阻带： st H (e j ) 2
过渡带： c st
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
：通带容限
Ha(s) Ha(-s)的零极点分布
由 Ha ( j) 2 确定Ha (s)的方法
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 对比 Ha ( j) 和 Ha (s) ，确定增益常数 由零极点及增益常数，得Ha (s)
低通
2π
π
高通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带阻
H (e j ) π
第六章-IIR-DF的设计方法
取前三个根，s1
1 2
j
3 2
,
s2
1,
s3
1 2
j
3 2
Ha (s)
s3
K0 2s2
2s
1
求常数K。
代入s 0时，Ha (0) A(0) 1,则可得K0 1
Ha (s)
s3
1 2s2 2s
1
4、归一化旳系统函数
假如将系统函数旳s 用滤波器旳截止频率清除，这
7.4641016S2 3.8637033S 1)
1/[(S2 0.51763809S 1)(S2 1.4142135S 1)
(S2 1.931851652S 1)]
将s用
S C
S / 7.0321103代入，可得 Ha (s)
Ha (S) 120923.1108 /[S2 3.64003103S 49.4504106 )
j
S1
S4 4
S2
S3
N2
N=3时，
j2
S1 Ce 3 ,
S2 Ce j,
j5
S4 Ce 3 ,
S5 Ce j2
j4
S3 Ce 3 ,
j7
S6 Ce 3
j
S1 S2
S3
S6 S5
S4
N3
取 H a (S)H a (S) 左半平面旳极点为 Ha (S) 旳极点，
这么极点仅有N个，即
j[ 1 2k 1]
四、设计举例（巴特沃思filter）
1、技术指标
20lg Ha ( j2103) 1 20lg Ha ( j3103) 15
2、计算所需旳阶数及截止频率
IIR数字滤波器的设计方法
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej
1 2
22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
信号处理课件第6章无限冲激响应(IIR)滤波器设计
3. 滤波器的技术要求
低通：
：通带允许的最大衰减； ：阻带内应达到的最小衰减
单位 (dB)
若幅度下降到 0.707, 则幅平方下降 0.5 （半 功率点）：
若幅度下降到 0.01：
高通：
：通带允许的最大衰减； ：阻带内应达到的最小衰减
带通：
：通带允许的最大衰减； ： 阻带内应达到的最小衰减
带阻：
最直接到方法，将：
p ,s , p ,s
利用：
利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器
G( p), G(s)
H(z)
H (z) G(s) s 1 ln z Ts
但这样做，H (z) 将不再是 z 的有理多项式，给
极－零分析带来困难。
数字滤波器的 单位抽样响应
模拟滤波器 的冲激响应
令：
冲激响应 不变法
（2）
b, a 是AF LP 的分子、分母的系数向量，B, A是转换后 的的分子、分母的系数向量；在（1）中，Wo是低通或 高通滤波器的截止频率；在（2）中，Wo是带通或带阻 滤波器的中心频率，Bw是其带宽。
4．bilinear.m ：双线性变换，由模拟滤波器 得到数字滤波器。
[Bz, Az]=bilinear(B, A, Fs) 式中B, A分别是G（s）的分子、分母多项式 的系数向量，Bz, Az分别是H(z)的分子、分 母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。
2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器
3. 切比雪夫II型滤波器
4. 椭圆滤波器
Un2() ：Jacobian 函数 本课程只讨论 Butterworth 和 Chebyshev-I
滤波器的设计
二、Butterworth滤波器的设计
iir滤波器设计方法
iir滤波器设计方法IIR滤波器设计方法数字信号处理中的滤波器是一项重要的技术，用于滤除数字信号中的噪声和干扰，并对信号进行平滑处理。
IIR滤波器作为数字滤波器的一种，被广泛应用于音频处理、图像处理等领域。
下面将介绍IIR滤波器的设计方法。
一、数字滤波器的基本原理数字滤波器是一种按照某种规律改变信号频率和幅度的系统。
数字滤波器的基本原理是，将输入信号x(n)通过一定的滤波器系统后，得到输出信号y(n)。
滤波器系统可以是连续时域滤波器，也可以是离散时域滤波器。
其中，IIR滤波器是离散时域滤波器的其中一类。
二、IIR滤波器的分类IIR滤波器可以分为两类：低通滤波器和高通滤波器。
低通滤波器用于滤除高频噪声，保留低频信息，常用于音频等信号处理。
高通滤波器则用于滤除低频噪声，保留高频信息，常用于图像边缘检测等处理。
三、IIR滤波器设计方法1. 选择滤波器类型首先需要选择合适的滤波器类型，通常是根据所要处理的信号类型选择，“低通”或“高通”滤波器。
2. 确定滤波器参数在选定滤波器类型后，需要确定滤波器参数。
通常包括切-off频率、通带增益、阻带增益等。
其中，切-off频率是指信号经过滤波器后的频率处理效果，通带增益和阻带增益是指滤波器在信号传输过程中增益的波动程度。
3. 设计滤波器传递函数设计滤波器传递函数的目的是，确定在滤波器系统中所要使用的传递函数，以实现所要求的滤波效果。
根据IIR滤波器的设计方法，通常采用应用差分方程来实现传递函数。
4. 设置初始滤波器系数通过选择合适的初始滤波器系数，可以影响整个滤波器系统的滤波效果。
在确定了滤波器的传递函数后，设计人员可以根据所要求的滤波效果来选择合适的初始滤波器系数。
5. 优化滤波器系数通过不断的调节和优化滤波器系数，可以提高整个滤波器系统的滤波效果。
优化的过程通常需要根据实际的滤波效果进行多次调整和修改。
四、总结IIR滤波器是数字信号处理中一种常用的滤波器类型，其设计方法可以通过选择合适的滤波器类型、确定滤波器参数、设计滤波器传递函数、设置初始滤波器系数和优化滤波器系数等步骤来实现。
IIR滤波器的设计方法
把H(z)单位圆外的零点：z 1/ z0, 1/z0*, z0 1 映射到单位圆内的镜像位置：z z0, z0*
构成Hmin(z)的零点。
而幅度响应不变：
P231 图6－6
H (e j ) Hmin (e j ) Hap (e j ) Hmin (e j )
2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成 一个稳定滤波器
相位响应：
(e
j
)
arctan
Im[H Re[H
(e (e
j j
)] )]
H *(e j ) H (e j ) e j (e j )
H (e j ) H *(e j )
e2 j (e j )
(e j )
1 2j
H (e j )
ln
H
*
(e
j
)
1 2j
ln
H(z)
H
(
z
1
)
z
阻带最小衰减： 2
H (e j0 )
2 20lg H (e jst ) 20lg H (e jst ) 20lg2
其中： H (e j0 ) 1
当 H (e jc ) 2 / 2 0.707 时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
6、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e j ) 2 H (e j )H *(e j )
2π ω
2π
π
π
2π ω
2、LP到其他滤波器的变换 由LP实现的HP
LP实现的BP
LP实现的BRF
3、 滤波器的性能指标
带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为
滤波器的带宽（3dB带宽）
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
x(n m) e
X (e
)
上页
下页
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近（以低通为例）
通带： c 阻带：
st
1 1 H (e
H (e
j
j
) 1
2
)
过渡带： c st
c
：通带截止 （cutoff）频率 ：通带容限 ：阻带（stop）截止 频率 ：阻带容限
j
)] )]
j j
H (e ) H (e ) e
*
j
j
j (e
)
H (e H (e
*
) )
e
2 j (e
j
)
(e
j
H (e 1 ) ln * 2 j H (e
j
H (z) 1 ) ln 1 2 j j ) H ( z ) z e j
上页 下页
6.2、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统
LSI系统的系统函数：
H (z) K
M M
m 1 N
(1 c m z (1 d k z
M
1
) Kz
(N M )
m 1 N
( z cm ) (z dk )
k 1
1
)
k 1
频率响应：
H (e
j
上页 下页
因果稳定系统
H (e a rg K
j
z r, r 1
n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
) 2 m i 2 p i 2 ( N M ) 2
IIR滤波器的设计方法
实验六 IIR 滤波器的设计方法⏹ 实验学时：2学时 ⏹ 实验类型：设计、验证一、实验目的IR 数字滤波器的常用指标和设计过程的理解；响应不变法和双线性变换法设计IIR 滤波器的原理，设计方法，步骤； 现象，比较脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR 滤波器的特点熟悉Matlab 信号处理工具箱中的常用函数二、实验原理与方法IIR 数字滤波器设计步骤：（一）先设计模拟低通原型滤波器（二）AF 数字化为DF1． 脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列)(n h 模仿模拟滤波器的冲激响应)(t h a ,让)(n h 正好等于)(t h a 的采样值，即)()(nT h n h a =，其中T 为采样间隔，如果以)(s H a 及)(z H 分别表示)(t h a 的拉式变换及)(n h 的Z 变换，则)2(1)(m Tj s H T z H m a e z sT ∑∞-∞==+=π2．双线性变换法S 平面与z 平面之间满足以下映射关系：11112--+-⋅=zz T s （***） s 平面的虚轴单值地映射于z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射到z 平面的单位圆内。
双线性变换不存在混叠问题。
双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。
双线性变换法特别适合用于设计常见的选频性滤波器，下面以双线性变换法设计低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下：（1）根据需要确定数字滤波器的性能指标：通带截止频率p f 、阻带截止频率p f 、通带最大衰减αp 、阻带内的最小衰减αs ，采样频率s f ； (2) 确定相应的数字角频率，T f p p πω2=；T f s s πω2=； (3) 计算经过预畸的相应模拟低通原型的截止频率，)2(2pp tg T ω=Ω，)2(2s s tg T ω=Ω；(4)根据Ωp ，αp 和Ωs ，αs 计算模拟低通原型滤波器的传递函数)(s H a ； (5)用上述（***）表示的双线性变换公式代入)(s H a ，求出)(z H ；分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。
iir数字滤波器的设计步骤
IIR数字滤波器的设计步骤1.简介I I R（In fi ni te Im pu l se Re sp on se）数字滤波器是一种常用的数字信号处理技术，它的设计步骤可以帮助我们实现对信号的滤波和频率选择。
本文将介绍I IR数字滤波器的设计步骤。
2.设计步骤2.1确定滤波器的类型I I R数字滤波器的类型分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
根据信号的要求，我们需确定所需滤波器的类型。
2.2确定滤波器的规格根据滤波器的应用场景和信号特性，我们需确定滤波器的通带范围、阻带范围和衰减要求。
2.3选择滤波器的原型常用的I IR数字滤波器有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器等。
根据滤波器的需求，我们需选择适合的滤波器原型。
2.4设计滤波器的传递函数根据滤波器的规格和选定的滤波器原型，我们需计算滤波器的传递函数。
传递函数表示了输入和输出之间的关系，可以帮助我们设计滤波器的频率响应。
2.5对传递函数进行分解将滤波器的传递函数进行分解，可得到II R数字滤波器的差分方程。
通过对差分方程进行相关计算，可以得到滤波器的系数。
2.6滤波器的稳定性判断根据滤波器的差分方程，判断滤波器的稳定性。
稳定性意味着滤波器的输出不会无限增长，确保了滤波器的可靠性和准确性。
2.7选择实现方式根据滤波器的设计需求和实际应用场景，我们需选择I IR数字滤波器的实现方式。
常见的实现方式有直接I I型、级联结构和并行结构等。
2.8优化滤波器性能在设计滤波器后，我们可以对滤波器的性能进行优化。
优化包括滤波器的阶数和抗混淆能力等方面。
3.总结I I R数字滤波器的设计步骤包括确定滤波器的类型和规格、选择滤波器的原型、设计滤波器的传递函数、对传递函数进行分解、判断滤波器的稳定性、选择实现方式和优化滤波器性能等。
通过这些步骤的实施，我们可以有效地设计出满足信号处理需求的II R数字滤波器。
数字信号处理 第六章-IIR数字滤波器的设计
系统函数逼近的思路
频域逼近： 系统函数的幅度响应和相位响应满 足要求。主要应用在滤波领域。 时域逼近： 系统函数的单位抽样响应满足要求。 主要应用在成形领域。
二、性能指标的描述
几类典型理想滤波器的幅频特性
H a (jΩ) H a (jΩ)
1
低通 0
Ωc
1
高通 Ω 0
Ωc
Ω
H a (jΩ)
H a (jΩ)
Re[z ]
第一次变换： 频率压缩
第二次变换： 数字化
（1）频率压缩
把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。
tan(
1T ) 2
频率压缩关系：
tan
1T 2
，1
p
T
, 0，1 0
复变量变换关系：
1
s
e e
2. H(s)转换为H(z)的映射方法
•冲 激 响 应 不 变 法 典型映射方法： •阶跃响应不变法 •双 线 性 变 换 法
2.1 冲激响应不变法
数 字 滤 波 器 的冲 激 响 应 h(n)
对 应
模 拟 滤 波 器h (t) 的 等 间 隔 抽 样
h(n)=h (nT)
T是抽 样周期
特点： (1)时 域 逼 近 良 好
1
带通 c Ω c1
Ωc2
1
带阻 Ω 0Ω c1
Ωc2
Ω
理想滤波器物理不可实现。（从一个频带到另一个频带之 间有突变，其单位抽样响应是非因果的）
不能由理想滤波器性能指标进行滤波器设计。
物理可实现要求：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带 ；且在通带和阻带内也不应该严格为1或零，应给以较小容限。
第6章 IIR DF
Ω
图 6-2 切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的幅度特性
切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度平方函数为
1 | G ( jΩ ) | = 2 1 + ε 2 C N (Ω / Ω p )
2
式中，ε为小于1的正数，它是表示通带波纹大小的一个参数，
ε越大，波纹也越大。Ωp为通带截止频率。
CN(x)是N阶切比雪夫多项式，定义为 ：
可见，N为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上没 有极点。但极点决不会落在虚轴上，这样滤波器才有可能是稳定 的。 为形成稳定的滤波器，G(s)G(-s)的2N个极点中只取S左半平 面的N个极点为G(s)的极点，而右半平面的N个极点构成G(-s)的 极点。G(s)的表示式为
G ( s) =
⎡ ⎤ 1 α p = −10 lg ⎢ 2N ⎥ ⎢1 + (Ω p / Ω c ) ⎥ ⎣ ⎦
（2） 在Ω=Ωs, αs = -10lg|G(jΩ)|2 或
⎡ ⎤ 1 α s = −10 lg ⎢ ⎥ 1 + (Ω s / Ω c ) 2 N ⎦ ⎣
由上两式解出N和Ωc，有：
N=
lg[(10
o
π
2π ω 带阻
H (e jω )
(d )
－2π
－π
o
π
2π
ω
6.1.2 滤波器的技术要求
滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性 的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图 6.1.3(a)（称容限图）所示， 频率响应有通 带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截 止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容 限，δ2为阻带的容限。
6.6.3 切比雪夫低通逼近
• 巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都 随频率变换而单调变化，因而如果在通带边缘满 足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就会超 过指标的要求，因而并不经济。所以，更有效的 办法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内， 或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通 带与阻带内。这样，在同样通带、 阻带性能要求 下，就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均 匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近 函数来实现。
数字信号处理第六章8设计IIR滤波器的频率变换法
频率变换法可以根据不同的设计需求，灵活地调 整滤波器的频率响应特性，实现多种多样的滤波 效果。
数学基础坚实
频率变换法基于严格的数学推导，具有坚实的理 论基础，保证了设计结果的准确性和可靠性。
频率变换法的局限性
对初值敏感
频率变换法对初值的选择较为敏感，初值选取不当可能导致设计 结果偏离预期目标。
模糊、锐化、边缘检测等效果。
控制系统
03
在控制系统中，频率变换法可用于设计IIR滤波器，以改善系统
的动态性能和稳定性。
04
CATALOGUE
结论
频率变换法的总结
频率变换法是一种有效的设计IIR滤波器的方法 ，通过将原始滤波器的频率响应转换为易于实 现的形式，从而简化了滤波器的设计过程。
该方法基于频率域的变换，通过一系列的数学 推导，将原始滤波器的频率响应转换为易于实 现的形式，从而得到滤波器的系数。
选择合适的频率变换方法
根据滤波器类型和性能指标，选择合 适的频率变换方法，如巴特沃斯、切 比雪夫等。
计算滤波器系数
根据选择的频率变换方法，计算滤波 器系数。
验证滤波器性能
通过仿真或实验验证滤波器的性能是 否满足设计要求。
设计实例
选择巴特沃斯频率变换方法。 通过仿真验证滤波器性能，确保满足设计要求。
03
在应用中，需要注意滤波器的 实时性要求，选择合适的算法 和实现方式以满足实时处理的 需求。
THANKS
感谢观看
数字信号处理第六 章8设计iir滤波器的 频率变换法
目录
• 引言 • 设计IIR滤波器 • 频率变换法在IIR滤波器设计中的应用 • 结论
01
CATALOGUE
引言
背景介绍
IIR滤波器的原理与设计方法
IIR滤波器的原理与设计方法IIR（Infinite Impulse Response）滤波器是一种数字滤波器，其具有无限冲激响应的特点。
与FIR（Finite Impulse Response）滤波器相比，IIR滤波器具有更高的效率和更窄的频带特性。
本文将介绍IIR滤波器的原理和设计方法。
一、IIR滤波器的原理IIR滤波器是通过对输入信号和输出信号之间的差异进行递归运算而实现滤波的。
其核心原理是利用差分方程来描述滤波器的行为。
IIR滤波器可以被表达为如下形式：y[n] = b₀x[n] + b₁x[n-1] + ... + bₘx[n-ₘ] - a₁y[n-1] - ... - aₘy[n-ₘ]其中，x[n]表示输入信号的当前采样值，y[n]表示输出信号的当前采样值，a₁，...，aₘ和b₀，...，bₘ是滤波器的系数。
二、IIR滤波器的设计方法设计IIR滤波器需要确定滤波器的阶数、截止频率和系数等参数，以下介绍一种常用的设计方法：巴特沃斯滤波器设计方法。
1. 确定滤波器阶数滤波器的阶数决定了滤波器的复杂度和频率响应的形状。
阶数越高，频率响应越陡峭。
根据需要的滤波效果和计算复杂度，选择适当的滤波器阶数。
2. 确定截止频率截止频率是滤波器在频域上的边界，用于确定滤波器的通带和阻带。
根据信号的频谱分析以及滤波器的应用要求，确定合适的截止频率。
3. 求解滤波器系数根据巴特沃斯滤波器的设计方法，可以采用双线性变换、频率抽样和极点放置等技术求解滤波器的系数。
具体方法比较复杂，需要使用专业的滤波器设计软件或者数字信号处理工具包进行计算。
4. 评估设计结果设计完成后，需要评估滤波器的性能指标，如频率响应、相位响应、群延迟等。
可以通过频域分析和时域仿真等方法来评估滤波器的设计效果。
三、结论IIR滤波器是一种常用的数字滤波器，其具有无限冲激响应的特点。
通过对输入信号和输出信号进行递归运算，可以实现滤波效果。
设计IIR滤波器需要确定滤波器的阶数、截止频率和系数等参数，并通过专业的设计方法进行求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3dB带宽
-11-
IIR 滤波器
通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带 为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通 带与阻带之间为过渡带。
-12-
IIR 滤波器
滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。
-13-
IIR 滤波器
阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量
IIR 滤波器
2、LP到其他滤波器的变换
由LP实现的HP
频域关系： 高通=全通-低通
-8-
IIR 滤波器
LP实现的BP
ωH
ωL
频域关系：
带通=低通×高通 ωH> ωL
-9-
IIR 滤波器
LP实现的BRF
ωL
频域关系：
带阻=低通+高通
ωL< ωH
ωH
-10-
IIR 滤波器
3、 滤波器的性能指标 带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为滤
(推导略 P.224-225)
若滤波器通带内 (e j ) = 常数，
则为线性相位滤波器
-22-
IIR 滤波器
7.IIR数字滤波器的设计方法
用一离散的因果稳定的LSI系统逼近给定的性能要求：
M
bk zk
H(z)
k 0 N
1 ak zk
即为求滤波器的各系数
ak , bk
k 1
s平面逼近：模拟滤波器
1/ a*
a
0 a*
Re[z]
a 1
IIR 滤波器
相位响应
H (e j ) H (e j ) e j (ej ) Re H (e j ) j Im H (e j )
相位响应：
(e
j
)
arctan
Im[ Re[
H H
(e (e
j j
)] )]
H *(e j ) H (e j ) e j (e j )
通带
过渡带 阻带
-6-
IIR 滤波器
（3） 四种基本滤波器的数字表示
H (e j )
低通 高通 带通
2 π π
H(e j ) π 2 π ω
2 π π H(e j ) π 2 π ω
H(ej0)=1
H(ej2π)? 带阻
2 π π H(e j ) π 2 π ω
2 π π
-7-
π 2 π ω
H (e j ) H *(e j )
e2
j (e j )
(e
j )
1 2j
ln
H (e j )
H
*
(e
j
)
1 2j
ln
H(z)
H
(
zபைடு நூலகம்
1
)
z
e
j
H ( e j )
-21-
IIR 滤波器
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
(e j ) d (e j ) d
dH (z) 1 Re z dz H (z) ze j
-2-
反回
IIR 滤波器
6.1 引言
1 滤波器的基本概念 2 LP到其他滤波器的变换 3 滤波器的性能指标 4 数字滤波器的设计步骤 5 数字滤波器的技术参数 6 表征滤波器频率响应的特征参量 7 IIR数字滤波器的设计方法
-3-
IIR 滤波器
数字滤波器：
是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 改变输入信号中各种频率分量的相对比例或者滤 除某些频率分量的处理单元。
通带： c
1 1 H (e j ) 1
阻带： st H (e j ) 2
过渡带： c st
c ：通带截止频率 st ：阻带截止频率
：通带容限 1
2 ：阻带容限
-18-
IIR 滤波器
通带最大衰减：1
H (e j0 )
1 20lg H (e jc ) 0 20lg H (e jc ) 20lg(1 1)
IIR 滤波器
第六章 IIR滤波器的设计
-1-
IIR 滤波器
主要内容
理解数字滤波器的基本概念 了解最小相位延时系统 了解全通系统的特点及应用 掌握冲激响应不变法 掌握双线性变换法 掌握Butterworth （Chebyshev） 低通滤波器的特点 掌握利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
幅度平方响应（h(n)是实的）
H (e j ) 2 H (e j )H *(e j )
H (e j )H (e j ) H (z)H (z1) ze j
H (z)H (z1) 的极点既是共轭的，又是以单
位圆成镜像对称的。
j Im[z]
对零点有类似的结论。
H(z)的极点：单位圆内的极点
-20-
优点：
高精度、稳定、体积小、灵活，不要求阻抗匹 配，可实现特殊滤波功能
-4-
IIR 滤波器
1、滤波器的基本概念
（1） 滤波器的功能
滤波器的功能是对输入信号进行处理以增强 所需的频率真成分，抑制不要的频率成分。
a） 时域说明 b） 频域说明
-5-
IIR 滤波器
（2） 四种基本的滤波器
四种基本滤波器为低通（LP）、高通 （HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：
-14-
IIR 滤波器
带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度
-15-
IIR 滤波器
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
(1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个离散的因果稳定的线性移不变系统的 系统函数去逼近去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用 计算机，也可以采用专用DSP。
-16-
IIR 滤波器
5、数字滤波器的技术参数
滤波器的频率响应：
H (e j ) H (e j ) e j ( j)
H (e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器
后各频率成分大小的变化情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
-17-
IIR 滤波器
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
z平面逼近：数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器
计算机辅助设计法
-23-
IIR 滤波器
6.2 最小与最大相位延时系统、最小 与最大相位超前系统
因果稳定系统 z r, r 1 , n < 0时h(n) = 0
1）若全部零点在单位圆内, 则为最小相位延时系统。
2）若全部零点在单位圆外，则为最大相位延时系统。 逆因果稳定系统 z r, r 1, n > 0时h(n) = 0
阻带最小衰减： 2
H (e j0 )
2 20lg H (e jst ) 0 20lg H (e jst ) 20lg2
其中： H (e j0 ) 1
当 H (e jc ) 2 / 2 0.707 时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
-19-
IIR 滤波器
6、表征滤波器频率响应的特征参量