可测函数的收敛性

fn不几乎一致收敛于f
0,可测子集e E, me , 0,N 0, n N, x E e,使 | fn (x) f (x) |
即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛
fn (x) {10
x(0,n] x(n,)

A {x : ,使x A }


{x : fn (x)不收敛于f (x)}
{x :| fn (x) f (x) | 1k}
k 1 N 1 nN
fn (x)不收敛f (x)
:

1 k
1,N
1, n

N,使|
fn(x)
f
(x) |
1
0.8
fn(x)=xn
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1-δ
例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合
(1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛
⒊三种收敛的联系
⑴几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，
不几乎一致收敛于f(x)=1


1 2

0, 可测子集e

E, me
,

1 2

0, N

0,
n N N, x (E e) (n, n 1),使 | fn (x) f (x) |
n
（2）依测度收敛但处处不收敛
f1
f2
f3
0
1
0
½
1
0
½
1
f4
0 1/4 ½ 3/4 1
注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制
近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制
1 0.8
0.6 fn(x)=xn
0.4 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 0.8
fn(x)=xn
0.6 0.4 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1-δ
例：函数列
fn(x)=xn , n=1,2,… 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛
若fn f a.e.于E ，则fn f a.u.于E
（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）
fn f a.e.于E 即：mE[ fn f ] 0
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
fn f a.u.于E 即：
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
f5
0 1/4 ½ 3/4 1
f6
0 1/4 ½ 3/4 1
f7
0 1/4 ½ 3/4 1
f8
0 1/8 1/4 ½
1
依测度收敛但处处不收敛
⑵ 取E=(0,1], n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…
令fn (x)
f2k i (x)

(
i 2k
,
i2k1]
(
x),
f
( x)
几乎一致收敛:记作 fn f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
0, 可测子集e E, me ,
使得fn在E E e上一致收敛于f 0, 可测子集e E, me , 0, N 0,n N ,x E e,有 | fn (x) f (x) |

证明：由引理知，

0,有 lim m( N nN
E ) [| fn f | ]

0

从而 lim N
m(E[| fN

f
| ] )

lim
N
m( nN
E[| fn
f
| ] )

0
所以fn f于E


0,
有
lim
n
mE[|
f
n

f
|
]

0
0, 0, N 0,n N ,有mE[| fn f | ]
注：从定义可看出，
几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外）
依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何
⑶几乎处处收敛: 记作 fn f a.e.于E (almost everywhere）
E[ fn f ] 0
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
⑷几乎一致收敛:记作 fn f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
(
1 k
)
( )
关于N 单调减小



lim
N
m( nN
E[|
fn

f
|
]
)

m( lim（ N nN
E[|
fn

f
|
]）)
m( N 1

nN
E[| fn

f
|
]
)

0
几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）
设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 若fn f a.e.于E ，则fn f 于E

{x : lim n
fn (x)
f (x)}
{x :|
fn (x)
f (x) |
1 k
}
k 1 N 1n N
lim
n
fn (x)

f
(x)
:
1 k
1, N
1, n

N,有|
fn (x)
f
(x) |
1 k
A {x : , 有x A }


所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn}不几乎一致收敛于1
fn不几乎一致收敛于f 0,可测子集e E, me , 0,N 0, n N, x E e,使 | fn (x) f (x) |
即：去掉 任意 小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛
第四章 可测函数
第二节 可测函数的收敛性
⒈函数列的几种收敛定义
⑴点点收敛: 记作 fn f于E
x E, 0,N x 0,n N x,有 | fn (x) f (x) |
⑵一致收敛:
0,N 0,n N ,x E,有 | fn (x) f (x) |
⒉几种收敛的区别 （1）处处收敛但不依测度收敛
fn(x) {10
x(0,n] x(n,)
n 1,2,
在R+上处处收敛于
f(x)=1
,
n
说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1
对0


1,
有
lim
n
mE[|
f
n

f
|
]

lim m(n， )
n

0,
则fn f于E
0

1,
有
lim
n
mE[|
f
n

f
|
]

lim
k
m(
i 2k
,
] i1
2k

lim
k
1 2k
0
说明：对任何x∈(0,1] , {fn(x)}有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以{fn(x)}在(0,1]上处处不收敛；
收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）
1 k
引理：设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，

若fn

f
a.e.于E ，则

0,
有
lim
N
m( nN
E[|
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fn

f
|
]
)

0

证明：由于 E*

E[| f |]

( n1
E[|
f
n
|
]
)
为零测度集，
故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：

不依测度收敛


0,
使得mE[|
fn

f
|
不收敛于
]
0
0, 0, N 0, n N , 使得mE[| fn f | ]
依测度收敛


0,
有 lim n
mE[| fn

f
|
]
0
0, 0, N 0, n N , 有mE[| fn f | ]
fn

f
a.e.于E mE[ fn f ]

0

m( k 1

N 1 nN
E[| fn

f
) |
1 k
]

0


m( N 1 n N
E ) [|
f
n

f
|
1 k
]

0


m( N 1 n N
E[| fn
) f | ]

0
从而当mE 时， 0,有
0, 可测子集e E, me ,
使得fn在E E e上一致收敛于f 0, 可测子集e E, me , 0, N 0,n N ,x E e,有 | fn (x) f (x) |
⑸依测度收敛: 记作 fn f于E