第五章随机变量的收敛性-精选
随机变量序列的两种收敛
概率论与数理统计
2）、设 n ,n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
若 n P a,n Pb 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 则 g(n ,n ) P g(a,b), (n ). 证明略，方法类似于1） 3）、若 n P ,n P,
则n n P , (n )
nn P , (n )
1）、若 n P ,n P, 则P ( ) 1
证： n n
0
，由
则 n
2
与
n
2
中至
少有一个成立，即
n
2
n
2
于是
P(
) P(n
2
)
P(
n
) 0(n )
2
即 0,有P（ ） 1，从而P（ ） 1
这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n P c(c为常数）
的充要条件为 Fn (x) W F (x)
这里 F(x)是 c 的分布函数，也就是退化分布
1, x c F(x) 0, x c
即
n P c
Fn (x) W F (x)
在F(x)的连续点．
当n P, (n ) 时，它们的分布函数之间就有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
成立．
1.定义
定义5.3
概率论与数理统计
设 Fx, F1(x), F2 (x), 是一列分布函数，如果对
F(x)的每一个连续点x，
都有
lim
n
Fn (x)
F ( x)
成立，
则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数F（x），
李贤平-概率论基础-Chap5
1 1 1/ 2 1/ 2
(2)
若对一切 n ,令 n ( ) ( ),显然 n ( )的分布列也是 (2) L ( ) 。 ，因此 n ( )
但是, 对任意的 0 2 ，因
P{| n ( ) ( ) | } P() 1
当然，当F(x) 是一个分布函数时,分布函数的左连续 性保证了 F 在不连续点上的值完全由它在连续点集 CF 上的值唯一确定，因此此时分布函数列的弱收敛极限是 唯一的.
以下我们研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布 函数的充要条件，为此先建立一些重要的分析结果。
引理. 设{ Fn ( x )}是实变量x 的非降函数序列，D是R上的 稠密集. 若对于D中的所有点, 序列 { Fn ( x )}收敛于F(x),
所以，我们有
F ( x) Fn ( x) P{n x, x}
因为 { n } 依概率收敛于 ，则
P{n x, x} P{| n | x x} 0
因而有
F ( x) lim Fn ( x)
n
同理，对 x x,
i 1 i , 1, ki ( ) k k , i 1, 2, 0, otherwise
取 P 为勒贝格测度，则
, k.
1 0, P (| ki ( ) | ) , i 1, 2, k
, k . (*)
将 ki 依次记为 n , 如图:
n
则称 {n ( )}依概率收敛于 ( ) ，并记为
n ( ) ( )
P
定义3 (r阶矩收敛) 设对随机变量 n 及 有E | n |r , E | |r ， 其中 r 0 为常数，如果
《概率论与数理统计课件》 随机变量序列的收敛性
27
这个定理的证明只涉及数学分析的一些结果， 而 且证明比较冗长（参阅文献[1]） ，在此就不介绍 了．通常把以上定理称为特征函数的连续性定理， 因为它表明分布函数与特征函数的一一对应关系 有连续性．
28
例 4.3.3
如果随机变量 X 服从参数为 的
Poisson 分布，证明：
1 X lim P x 2
1 0 x n ． Fn x 1 1 x n
5
由于 xn
xn
1 是函数 Fn x 的跳跃型间断点，所以当 n 时，间断点 n
1 0 x0 ．那么，分布函数序列 Fn x 是否会收敛于分布函 n
数
0 x 0 ． F x 1 x 0
但是我们看到，对于任意的 n ， Fn 0 0 ，所以 lim Fn 0 0 ，然而
n
F 0 1 ，所以，
lim Fn 0 0 1 F 0 ．
6
n
这表明， 分布函数序列 Fn x 并不点点收敛于分布函数
F x ．事实上，分布函数序列 Fn x 点点收敛于 g x ：
由于 x C
W
2
与 x C 都是分布函数 F x 的连续点， 并且由
于 Fn x F x ，
23
所以，
lim Fn C F C 1 ， lim Fn C F C 0 ． n n 2 2
Xn X ，
L
n ．
（4.3.4） 9
注：以上定义的“弱收敛”是自然的，因为它 比在每一点上都收敛的要求的确“弱”了些．如 果 F x 是 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 意 的 x ， 有
随机变量的几种收敛及其相互关系
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is asequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与r阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致谢 21参考文献 22引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
随机变量序列的收敛特性
概率空间•几乎必然收敛(almost sure convergence)–随机变量序列收敛到，同时}{n X X {li – a.s. 1}{lim ==∞→X X P n n X X =lim XX −→−.s .a 表示为或者n n ∞→n →)}()(lim :{ςςςX X n n =∞→•依概率收敛(convergence in probability)–随机变量序列以及满足对任意}{n X X li ε–p. 0}||{lim=>-∞→εX X P n n X X =lim XX −→−.p 表示为p 或者n n ∞→n →也有可能的数值极大|X X n -|•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者n n ∞→n →•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者则n n ∞→n →m s •若，则X X n −→−m.s.∞<}{2X E 几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛•以概率分布收敛(convergence in distribution)–随机变量序列以及满足在任意连续的x}{n X X li )()(limx F x F X X n n =∞→–表示为 d. 或者X X n n =∞→lim XX n −→−d.•依据特征函数判断收敛–XX n −→−d.––)}({)}({X f E X f E n →)t ()t (XX nΦ→Φ.s .a ⇒XX −→−.p(Cauthy criteria)在不知道极限的情况下，判定随机变量序列收敛随机变量序列的收敛特性。
随机变量序列极限
i 1
n
Xi
B 1, p ,
则
X
i 1
n
i
B n, p ,
进一步地有
X
则
B m, p , Y
B n, p ,
X Y
有这个必要.
B m n, p .
但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定
人们在长期实践中发现 , 在相当一般的条件下, 只要 n
该定理的实际意义是, 若随机变量序列 X1 , X 2 , 满足定理条件, 记 Yn
X i , 则当n充分大时
i 1
n
Yn E Yn D Yn
近似服从标准正态分布. 即
Yn X i ~ N E Yn , D Yn .
i 1
n
.
例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
注意
该定理的条件为方差有界.
定理
（独立同分布情形下的大数定律） 设 X1 , X 2 ,
2
是独立同分布的随机变量序列, 且 E
D X i , i 1, 2,
,
则
X .
P
X i ,
用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳 定性。 设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果
第五章 随机变量序列的极限
本章要点
本章讨论两类重要的极限分布.
一、大数定律
定义 设 数c, 使得对于任意常数 0, 总有
n
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列, 如果存在常
陈国华等主编概率论与数理统计第五章习题解答
x>0 x≤0
(α > 0, β > 0)
a a 1 1 1 dx = ∫ cos(tx) ⋅ dx + ∫ sin(tx) ⋅ dx −a −a −a 2a 2a 2a 1 1 1 = ⋅ sin(tx) |a sin(at ) x =− a = at 2a t t −1 （2）参数为 λ 的指数分布的特征函数为， φ X (t ) = (1 − i ) ，参数为 λ 的指数分布可看做
1
π (1 + x 2 )
(−∞ < x < +∞) ；
⎧A ⎪ (D) X i 的概率函数为 ： g ( x) = ⎨ x 3 ⎪0 ⎩
x ≥1 x <1
(i = 1,2,3, ) ．
答案：CABAD 三．解答题
1．一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X ，估计 p (10 < X < 18) ．
3．已知随机变量 X 的数学期望为 10，方差 DX 存在且 P (−20 < X < 40) ≤ 0.1 ，则
DX ≥ ． 4．设 X 1 , X 2 , , X n， 为独立同分布的随机变量序列，且 X i (i = 1,2, ) 服从参数为 2 的
指数分布，则 n → ∞ 当时， Yn =
1 n 2 ∑ X i 依概率收敛于 n i =1
1 1 ln n + ln n = 0 2 2
n
DX n = EX n = ln n
n 1 1 D ( Xi) = 2 ∑ 2 n n i =1
2
∑ ln i → 0(n → ∞)
i =1
根据马尔可夫大数定律， {X n } 服从大数定律。
3 、 已 知 随 机 变 量 X 和 Y 的 数 学 期 望 、 方 差 以 及 相 关 系 数 分 别 为 E ( X ) = E (Y ) = 2 ,
随机变量的几种收敛及其相互关系
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:1. Convergence of random variables the concept of theory;2. the convergence of several random variables between;From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： (4)1 几种收敛性定义 (4)2 依概率收敛与依分布收敛的关系 (5)3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 (11)4 依概率收敛与r阶收敛的关系 (13)5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 (17)总结 (19)四种收敛性 (19)四种收敛蕴涵关系 (19)致谢 (21)参考文献 (22)引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
第五章随机变量的数字特征与极限定理
2021/2/19
20
❖ 5.1.3 随机变量函数的数学期望
❖ 关于一维随机变量函数的数学期望，有下面的定理 ❖ 定理5.1 设Y=g(X)，g(x)是连续函数. ❖ (ⅰ)若X是离散型随机变量，分布列为P(X=xk)=pk，
k=1,2,…，且
k 1
❖ 绝对收敛，即
| xk | pk
k1
❖ 则称该级数为离散型随机变量X的数学期望或均值， 记为EX或E(X)，即
EX xk pk k1
2021/2/19
3
❖当
| xk | pk
k 1
❖ 发散时，则称X的数学期望不存在.
❖ 定义中的绝对收敛条件是为了保证式
xk pk
k 1
❖ 不受求和的次序的改变而影响其和的值.
❖ 这个结果是可以预料的，因为X在[a,b]上服从均匀 分布，它取值的平均值当然应该是[a,b]的中点.
2021/2/19
14
❖ 例5 (指数分布) 设连续型随机变量X的概率密度为
ex,
f(x) 0,
❖ 其中λ是正常数，求EX.
x0, x0.
2021/2/19
15
❖ 解 EX
xf ( x ) dx
2021/2/19
12
❖ 常用的连续型随机变量的数学期望 ❖ 例4 (均匀分布)设连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
1 ba
,
a x b,
0,
其 他.
(a b)
❖ 求EX.
2021/2/19
13
❖ 解
EX xf ( x ) dx
bx
收敛性——精选推荐
收敛性4.3.2 收敛的充分条件及误差估计⾸先，我们针对单步线性定常迭代法（4.3.1）给出两个收敛性定理。
定理 4.3.3若迭代矩阵M的范数，并假定范数满⾜，则线性迭代法(4.3.1)的第k次迭代向量与准确解的误差有估计式（4.3.7）证明由（4.3.6）知，两边取范数，得现在估计，根据定义，由可知存在，⽽且，于是再注意到：当时，有⾄此便知定理成⽴。
证毕从近似解的误差估计可以计算出要得到满⾜精度要求的近似解需要迭代多少次，但这种估计往往偏⾼，在实际计算时⽤它控制并不⽅便，所以给出下⾯定理。
定理 4.3.4若迭代矩阵M的范数，并假定范数满⾜，则线性迭代法(4.3.1)的第k次迭代向量与准确解的误差有估计式（4.3.8）证明因为于是，定理得证。
证毕定理4.3.4表明，我们可以从两次相邻迭代近似值的差来判断迭代是否应该终⽌，这对实际计算是⾮常好⽤的。
⽤范数来判定迭代过程是否收敛尽管只是⼀个充分条件，但⽤起来⽐较⽅便。
通常是⽤矩阵的1范数和范数来判定的，这是因为当知道矩阵以后它们是很容易计算的。
对Jacobi迭代法来说，上述判别法基本上能令⼈满意，这是因为给定⽅程组后，Jacobi迭代矩阵是⽐较容易计算的；⽽对Gauss-Seidel迭代来说，仍有⼀些困难，这是因为由⽅程组的系数矩阵去计算G-S迭代矩阵需要求就不那么⽅便了。
为此，现在我们着眼于Jacobi迭代矩阵，给出下⾯两个收敛性定理。
定理4.3.5 设B是Jacobi迭代的迭代矩阵，若，Gauss-Seidel迭代收敛，⽽且有误差估计式（4.3.9）其中(4.3.10) 且有，这⾥的元素。
证明（1）先证。
令显然，对任意都有。
⼜可推出两边对取最⼤值，得（2）证Gauss-Seidel迭代收敛。
也就是要证明。
设的任⼀特征值，为相应的特征向量，并假定，则或写成（4.3.11）注意到，即知为B的下三⾓部分，⽽为B的上三⾓部分。
于是，（4.3.11）的第个⽅程为于是即，从⽽Gauss-Seidel迭代收敛。
随机变量序列的几种收敛性
本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：薛永丽指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 12.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
WOD随机变量序列的收敛性研究的开题报告
WOD随机变量序列的收敛性研究的开题报告一、研究背景及意义WOD（weighted order statistic）随机变量序列是经典极值理论和可靠性分析中的重要概念。
在实际应用中，很多随机变量都能够表示为WOD随机变量，如极值分布、分位数分布和尾部指数分布等。
因此，研究WOD随机变量序列的收敛性不仅在理论上有重要意义，而且在工程应用中也具有实际意义。
二、文献综述早在20世纪60年代，A. Rényi和G. Tóth就研究了WOD随机变量序列的收敛性，证明了该序列以指数分布为极限分布。
之后，很多学者纷纷探讨了WOD随机变量序列的收敛性，提出了不同的结果和证明方法。
其中，T. Dasgupta和M. Ghosh在1999年提出了一种新的方法，证明了WOD随机变量序列的收敛性以及极限分布为一般可分布。
三、研究内容本研究将探讨WOD随机变量序列的收敛性问题，包括但不限于以下内容：1. WOD随机变量序列的收敛性定义及必要条件研究；2. WOD随机变量序列的常见极限分布探讨；3. WOD随机变量序列的收敛性证明及新的证明方法探究；4. WOD随机变量序列的应用研究和实例分析。
四、研究方法本研究将采用数理统计中常用的方法，包括概率论、数理统计、极限理论等方面的理论分析和证明。
同时，还将结合实例进行数值模拟和应用探究。
五、预期成果本研究预期能够进一步深化对WOD随机变量序列的收敛性问题的认识，为可靠性分析、风险评估和工程设计等领域提供理论支持。
同时，该研究也有望发现和提出一些实用性较强的方法和结论，从而推动WOD 随机变量序列研究向更深入更广泛的方向发展。
概率与数理统计 5.2 随机变量的收敛性与强大的数定律.ppt
一、概率收敛与分布收敛
Def.
1.
设随机变量序列{X
}
n n1
与随机变量X
0, lim n
P{|
Xn
X
|
}
0
则称随机变量序列
{
X
n
} n 1
依概率收敛于X，记作
P
Xn X
例 1. 设 X ,{Xn} 均为退化分布的随机变量，且
P( X 0) 1, P{X n 1/ n} 1, n 1, 2,L
P{|Xn-c|}= P{Xn c+ }+P{Xnc - }
=1-Fn(c+ -0)+ Fn(c-)
1-1+0=0
定理4. (连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于 分布函数{F(x)}的充分必要条件为:
{Fn(x)}的特征函数列 n (t) 收敛于F(x)的特征函数 (t).
N 1 nN
:|
Xn ()
X
()
|
1}} k
0
P{ I U { :| Xn () X () | }} 0, 0 N 1 nN
N
P{ U { :| Xn () X () | }} 0, 0
nN
概率的上连续性
N
P{Xn+Yn x} P{Xn x-c+}+P{|Yn-c|>} (1)
P{Xn+Yn x} P{Xn+Yn x,|Yn-c| } P{Xn x-c-,|Yn-c| }
P{Xn x-c-}- P{Xn x-c-,|Yn-c| >}
概率论与数理统计4-2 随机变量序列的收敛性
则P(
2 n
)
=P{( n n )（k M）} +P{( n n )（k M）}
P( 2 >M-1)+P( n 1)<2
P( n
（由例4.3给出例证，请大家看书！）
定理4.5 随机变量序列n P P c, (c为常数）
的充分必要条件是
Fn (x) W F (x)
这里的F
(x)是
c的分布函数，即
F(x)=
1,x>c 0,x
c
证明：下证充分性. 0,有
Pn c P(n c ). P(n c )
则对x x x, 有
F( x)
lim
n
Fn
(x)
lnimFn
(x)
F
(
x)
令x x, x x,得
F(
x-0)
lim
n
Fn
(
x)
lnimFn
(
x)
F
(
x+0)
若x是F(x)的连续点,则lim n
Fn
(x)
F
(x)
注：这个定理的逆命题不成立。
1 Fn (c ) Fn (c 0)
11 0 0, n
斯鲁茨定理：设{1n },{ 2n },...{ kn }是k个
随机变量序列，且in P ai , (i 1, 2...)
又R(x ,x 1
2
...xk
)是k元变量的有理函数，
如果F(x)的每一x,有
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弱大数定律（WLLN）
独立同分布（IID）的随机变量序列
敛方于差期望X i，即2对任，意则 样 0本均值
XXn1,X2n1...i,n1XXn i依，概称 X n 为 的一致估计（一致性）
证明：根据Cheyshev不等式
X n 2
X n 2 n2 0 ,a s
Quadratic mean (L2)
Point-mass distribution
probability
distribution
L1
反过来不成立！
almost surely
9
例：伯努利大数定律
设在一次观测中事件A发生的概率为 p A ，如果观
测了n次，事件A发生了n A 次，则当n充分大时，A在次观
在定理条件下，当样本数目n无限增加时，随机样本均值 将几乎变成一个常量
1、如果对每个 0 ，当 n 时，
Xn X
0
则Xn依概率收敛于X ，记为 Xn P X。 2、如果对所有F的连续点t，有
nlimFn t Ft
则Xn依分布收敛于X ，记为 X n
同教材上
X。
5
两种收敛的定义
当极限分布为点分布时，表示为
依概率收敛：
X c 1 , a n d X n P X , t h e n X n P c
F n t F t,f o r a l lt 0 X n 0
fort0,F n01 2F01
但 是 t 0 不 是 F 的 连 续 点
12
收敛的性质
5.5 定理：设X n , X ,Yn ,Y是随机变量，g是连续函数 a 如果X n P X，Yn P Y，那么 X n Yn P X Y. b 如果X n qm X，Yn qm Y，那么 X n Yn qm X Y . c 如果X n X，Yn c，那么 X n Yn X c. d 如果X n P X，Yn P Y，那么 X nYn P XY . e 如果X n X，Yn c，那么 X nYn cX . f 如果X n P X，那么 g X n P g X . g 如果X n X，那么 g X n g X .
发生的频率 fnAnA n逐渐稳定到概率p 。 那么lni mfnAp?
不对，若 lni m fnA p
则对于 0 ，总存在 N 0 ,当 n N时，有
fn
A p 成立
但若取 p , 由于
fnA 0 1pn0
即无论N多大,在N以后,总可能存在n ,使 fn A 0
所以 f n A 不可能在通常意义下收敛于p。
1
收敛性
主要讨论两种收敛性
依概率收敛
大数定律：样本均值依概率收敛于分布的期望
依分布收敛
中心极限定理：样本均值依分布收敛于正态分布
2
例1：依概率收敛
概率的频率解释：随着观测次数n的增加，频率将会逐渐稳定 到概率
设在一次观测中事件A发生的概率为 p A
如果观测了n次，事件A发生了n A 次，则当n充分大时，A在次观测中
或
lni m XnX0
:ln i m X n X 0
则称随机变量序列 X1,X2...,Xn,...几乎处处依概率收敛到X （converge almost surely to X） ，记为：Xn a .s.X
几乎处处收敛：比依概率收敛更强
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各种收敛之间的关系
点分布，c为实数 Xc1
F
t
0 1
t0 t 0
X n~ N 0 ,1 n n X n~ N 0 ,1
for t 0,
F n t X n t n X n n t Z n t 0 , a s n
for t 0,
F n t X n t n X n n t Z n t 1 , a s n
测中发生的频率 fnAnA n 逐渐稳定到概率p 。
即对于 0，
lim
n
nnA
p
0
表示当n充分大时，事件发生的频率 n A 与其概率p存在较
大偏差的可能性小。
n
证明： nA ~ Binomial n, p , nA np, nA np 1 p ，
所以
nA
p,
nA
p1 p
，
n
n
n
对 0 ，根据 Chebyshev 不等式，有
3
例2：依分布收敛
考虑随机序列 X1,X2...,Xn ，其中 Xn~N0,1n
直观：X n 集中在0处，X n 收敛到0
但
Xn0
Xn 2
（Chebyshev不等式）
1
n
2
0
4
两种收敛的定义
5.1 定义：令 X1,X2...,Xn为随机变量序列，X为另 一随机变量，用Fn表示Xn的CDF，用F表示X的 CDF
当极限分布为点分布时，记为 Xn q mc
对应还有：L1收敛（converge to X in L1 ）
lim
n
Xn X 0
if X n X 0 ,a s ,th e n X n L 1 X
7
其他收敛
依概率收敛
lim
n
XnX0
或
lim
n
:X n X
0
随机变量序列 X1,X2...,Xn ，当对任意 0，
依分布收敛：
X c 1 , a n d X n X , t h e n X n c
6
其他收敛
还有一种收敛：均方收敛（L2收敛， converge to X in quadratic mean）
对证明概率收敛很有用
lim
n
XnX2 0
if X n X 2 0 ,a s ,th e n X n q m X
nA n
p
nA n
p 1
p
0
2
n 2
n 。
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例：5.3
令 Xn~N0,1n
直观：X n 集中在0处， X n 收敛到0
依概率收敛：
Xn0
Xn 2
（Chebyshev不等式）
1
n
2
ln i m X n0 0
11
例：续
依分布收敛：令F表示0处的点分布函数，Z表示标准正态 分布的随机变量
第五章：随机变量的收敛性
随机样本：IID样本 X1,X2...,Xn ，X i ~ F 统计量：对随机样本的概括
Y T(X1,X2...,Xn) Y为随机变量，Y的分布称为统计量的采样分布 如：样本均值、样本方差、样本中值…
收敛性：当样本数量n趋向无穷大时，统计量的变化
大样本理论、极限定理、渐近理论 对统计推断很重要