《电磁场与电磁波》(第四版 )第九章习题解答

九章习题解答9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强度减小到时，电台的位置偏离正南多少度？ 解：元天线（电基本振子）的辐射场为j k rθ-=E e 可见其方向性函数为(),sin f θφθ=，当接收台停在正南方向（即090θ=）时，得到最大电场强度。

由sin θ=得 045θ=此时接收台偏离正南方向045±。

9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。

解： 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。

如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。

当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。

9.3 如题9.3图所示一半波天线，其上电流分布为()11cos 22m I I kz z ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ （1）求证：当0r l >>时，020cos cos 22sin jkrm z I e A kr πθμπθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅（2）求远区的磁场和电场；（3）求坡印廷矢量； （4）已知220cos cos 20.609sin d ππθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰，求辐射电阻； （5）求方向性系数。

题9.3（1）图解：（1）沿z 方向的电流z I 在空间任意一点()0,P r θ产生的矢量磁位为()/2/2,4l jkr z z l I e A r dz r μθπ--=⎰假设0r l >>，则 1020cos cos r r z r r z θθ≈-⎧⎨≈+⎩120111r r r ≈≈ 将以上二式代入()0,z A r θ的表示式得()()()()()()()()12000/2000000/2cos cos /20000/2cos cos 00cos cos ,4cos cos 4cos 4l jkr jkr mz l jk r z jk r z l m l jkr jkz jkz m kz e kz e IA r dz dz r r kz ekz e I dzr r I e kz e e dz r θθθθμθπμπμπ------+--⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()()()(){}()()000/2000/200022000,2cos cos cos 4cos 1cos cos 1cos 41cos cos cos 1cos cos cos 224sin sin cos 2l jkr m z l jkr m jkr m jkrm I A r e kz kz dz r I e kz kz dz r I e r I e kr μθθπμθθπππθθθθμπθθπμπ----=⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎰⎰2cos 2sin θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由此得证。

（2）远区的磁场和电场为002000001sin 11sin sin rrr r r r A r A r A θφθφμθμθθφθ=∇⨯∂∂∂=∂∂∂H Ae e e而 cos sin 0r z z A A A A A θφθθ==-=得()0000001sin cos cos 22sin zjkr m H r A r r I e j r ϕθμπθπθ-∂=∂⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅ 0,0r H H θ==由麦克斯韦方程 1j ωε=∇⨯E H得000cos cos 22sin jkr m E H I e jr θφηπθηπθ-=⎛⎫⎪⎝⎭=⋅0,0r E E φ==由远区场的表示式，可得其方向性函数为 ()cos cos 2sin f πθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=在极坐标系下E 面和H 面的方向图如题9.3（2）图所示。

E 面方向图 E 面方向图 题9.3（2）图（3）平均坡印廷矢量为1Re 2av *⎡⎤=⨯⎣⎦S E H222022201122cos cos 28sin m E H E I r θφθηπθηπθ==⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅S（2） 由总辐射功率yy2220022200022002cos cos 2sin 8sin cos cos 24sin 12m m m r I r d d r I d I R πππθηθθφπθπθηθπθ ⎪⎝⎭=⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰故辐射电阻2002/2cos cos 22sin cos cos 222sin r R d d πππθηθπθπθηθπθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎪⎝⎭=⎰⎰由题给条件 2/20cos cos 20.609sin d ππθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰所以 ()00.60973r R ηπ=⨯=Ω （5）方向系数 0P D P=（最大辐射方向考察点的电场强度相等） 式中0P 表示理想无方向性天线的辐射功率，P 表示考察天线的辐射功率，于是 0222max00002020000020442cos cos9012422sin 902jkr m m EP r r I e r j r I ππηπηπηπηπ-=⋅=⋅⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=S2220022200022002/2200cos cos 2sin 8sin cos cos 24sin cos cos 22sin m m mI r d d r I d I d ππππθηθθϕπθπθηθπθπθηθπθ⎪⎝⎭=⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰则2/20111.640.609cos cos 2sin P D Pd ππθθθ====⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰用分贝表示 ()1010log 1.64 2.15dB D ==9.4 半波天线的电流振幅为1A ，求离开天线1km 处的最大电场强度。

解：半波天线的电场强度为00cos cos 22sin jkrm I e E r θπθηπθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅可见，当090θ=，时电场为最大值。

将()03090,110r m θ==⨯代入上式，得()30max 30606010V/m 210m I E r ηπ-===⨯ 9.5 在二元天线阵中，设0,904d λα==，求阵因子方向图。

解：在如题9.5图中，天线0和天线1为同类天线。

其间距为d ，它们到场点P 的距离分别为0r 和1r 。

天线0和天线1上的电流关系为10j I mI e α-=题9.5图),φy当考察点远离天线计算两天线到P 点的距离采用10r r ≈，计算两天线到P 点的相位差采用10sin cos r r d θϕ≈-。

则天线1的辐射场到达P 点时较天线0的辐射场超前相位 s i n c o s kd θϕαψ=- 天线0和天线1在P 点产生的总的辐射场为()0101j meψ=+=+E E E E其摸为()()01001,j me f θφψ=+=+===E E E E E E E式中 (),f θφ=9.6 两个半波天线平行放置，相距2λ，它们的电流振幅相等，同相激励。

试用方向图乘法草绘出三个主平面的方向图。

:解：由上题结论可知，二元阵的方向性函数为 ()()()0,,,F F f θφθφθφ= 其中()0,F θφ为单元天线的方向性函数，(),fθφ为阵因子，对于半波天线，0cos cos 2sin F πθθ⎛⎫⎪⎝⎭=（其方向图由题9.3给出）阵因子（由上题结论）(),f θφ=当两天线相距2d λ=，其上的电流振幅相等，同相激励时有1,0m α==代入上式，得(),sin cos 2cos 2f θφπθφ=⎛⎫= ⎪⎝⎭在三个主平面内的单元天线方向性函数和阵因子方向性函数分别为()2xy πθ=平面：01,2cos cos 2F f πφ⎛⎫== ⎪⎝⎭()0xz φ=平面：0cos cos 2,2cos sin sin 2F f πθπθθ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭()2yz πφ=平面：0cos cos 2,2sin F f πθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭== 方向图见题9.6图()2x y πθ=平面F(),f θφ (),F θφ()0x z φ=平面()0,F θφ (),f θφ (),F θφ()2y z πφ=平面()0,Fθφ (),f θφ (),F θφ题9.6图zyxyy9.7 均匀直线式天线阵得元间距2d λ=，如要求它得最大辐射方向在偏离天线阵轴线060±的方向，问单元之间的相位差应为多少，？解：均匀直线式天线阵的阵因子为 ()sin2sin2N f ψψ=ψ 其最大辐射条件可由()0df d ψ=ψ求得 0ψ=即 sin cos 0kd θφαψ=-= 式中α为单元天线上电流的相位差考虑090θ=的平面，当060φ=±时有 0cos600kd α-= 所以 002cos60cos6022kd πλπαλ=== 9.8 求半波天线的主瓣宽度。

）点之间的夹角0.52,θ如题9.8图所示。

题9.8图半波天线的方向性函数为 ()cos cos 2sin F πθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=）时所对应的角度θ可由下列公式求得 ()cos cos 2sin F πθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭==解得 051θ=于是主瓣宽度为 ()()00000.522902905178θθ=-=-=9.9 用方向图乘法求图示[题9.9(1)图]的由半波天线组成的四元侧射式天线阵在垂直于半波天线轴线平面内的方向图。

解：四元天线阵如题9.9(1)图其合成波场强为()()()012323020111j j j j j e e e e e ψψψψψ=+++=+++=++E E E E E E E式中sin cos kd θφαψ=-其方向性函数为 ()()()()123,,,,F F F F θφθφθφθφ= 其中()1,F θφ为半波天线的方向性函数()1cos cos 2,sin F πθθφθ⎛⎫⎪⎝⎭=()2,F θφ为相距/2λ的天线1和天线2（或天线3和天线4）构成的二元天线阵I （或二元天线阵II ）的阵因子方向性函数，设各单元天线上电流同相，则()2,2cos sin cos 2F πθφθφ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3,F θφ为相距λ的天线阵I 和天线阵II 构成的阵列天线的方向性函数()()3,2cos sin cos F θφπθφ= 在垂直于半波天线轴线的平面内（2πθ=）()()()123,,,,,F F F θφθφθφ的方向图如题9.9(2)图所示。