高中数学复习综合测试题_题型归纳
高中数学高考总复习集合习题及详解
高中数学高考总复习集合习题及详解一、选择题1．(09·全国Ⅱ)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝( )A ．{5,7}B ．{2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,3,5,6,7}[答案] C[解析] M ∪N ＝{1,3,5,6,7}， ∴∁U (M ∪N )＝{2,4,8}，故选C.2．(2010·烟台二中)已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |y 2＝x ，x ≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．{(0,0)，(1,1)} B ．{0,1} C ．[0，＋∞)D ．[0,1][答案] C[解析] M ＝{y |y ≥0}，N ＝R ，则M ∩N ＝[0，＋∞)，选C.[点评] 本题极易出现的错误是：误以为M ∩N 中的元素是两抛物线y 2＝x 与y ＝x 2的交点，错选A .避免此类错误的关键是，先看集合M ，N 的代表元素是什么以确定集合M ∩N 中元素的属性．若代表元素为(x ，y )，则应选A.3．设集合P ＝{x |x ＝k 3＋16，k ∈Z }，Q ＝{x |x ＝k 6＋13，k ∈Z }，则( )A ．P ＝QB ．P QC ．P QD ．P ∩Q ＝∅[答案] B[解析] P ：x ＝k 3＋16＝2k ＋16，k ∈Z ；Q ：x ＝k 6＋13＝k ＋26，k ∈Z ，从而P 表示16的奇数倍数组成的集合，而Q 表示16的所有整数倍数组成的集合，故P Q .选B.[点评] 函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域．如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论．4．(文)满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 集合M 必须含有元素a 1，a 2，并且不能含有元素a 3，故M ＝{a 1，a 2}或{a 1，a 2，a 4}．(理)(2010·湖北理，2)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] A[解析] 结合椭圆x 24＋y 216＝1的图形及指数函数y ＝3x 的图象可知，共有两个交点，故A ∩B 的子集的个数为4.5．(2010·辽宁理，1)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}[答案] D[解析] 由题意知，A 中有3和9，若A 中有7(或5)，则∁U B 中无7(或5)，即B 中有7(或5)，则与A ∩B ＝{3}矛盾，故选D.6．(文)(2010·合肥市)集合M ＝{x |x 2－1＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{1}D ．∅[答案] B[解析] ∵M ＝{1，－1}，N ＝{1,2}，∴M ∩N ＝{1}， 故阴影部分表示的集合为{－1}．(理)(2010·山东省实验中学)如图，I 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(∁I A ∩B )∩C B ．(∁I B ∪A )∩C C ．(A ∩B )∩∁I CD ．(A ∩∁I B )∩C[答案] D[解析] 阴影部分在A 中，在C 中，不在B 中，故在∁I B 中，因此是A 、C 、∁I B 的交集，故选D.高考总复习含详解答案[点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察，看阴影部分在哪些集合中，不在哪些集合中，注意不在集合M 中时，必在集合M 的补集中．7．已知钝角△ABC 的最长边长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是( )A ．2B ．4C ．π－2D ．4π－2[答案] C[解析] 由题中三角形为钝角三角形可得①a 2＋b 2<22；②a ＋b >2；③0<a <2,0<b <2，于是集合P 中的点组成由条件①②③构成的图形，如图所示，则其面积为S ＝π×224－12×2×2＝π－2，故选C.8．(文)(2010·山东滨州)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}[答案] B[解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}， ∴A ∩B ＝{1}．(理)P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(1，－2)}D ．{(－23，－13)}[答案] B[解析] α＝(m －1,2m ＋1)，β＝(2n ＋1,3n －2)，令a ＝β，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝2n ＋12m ＋1＝3n －2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝－7∴P ∩Q ＝{(－13，－23)}．9．若集合M ＝{0,1,2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x 、y ∈M }，则N 中元素的个数为( )A ．9B ．6C ．4D ．2[答案] C[解析] N ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}，按x 、y ∈M ，逐个验证得出N .10．(文)已知集合{1,2,3，…，100}的两个子集A 、B 满足：A 与B 的元素个数相同，且A ∩B 为空集．若n ∈A 时，总有2n ＋2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为( )A ．62B ．66C ．68D ．74[答案] B[解析] 若24到49属于A ，则50至100的偶数属于B 满足要求，此时A ∪B 已有52个元素；集合A 取1到10的数时，集合B 取4到22的偶数，由于A ∩B ＝∅，∴4,6,8∉A ，此时A ∪B 中将增加14个元素，∴A ∪B 中元素个数最多有52＋14＝66个．(理)设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集．若对任意a 、b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集[答案] C[解析] A ：自然数集对减法，除法运算不封闭， 如1－2＝－1∉N,1÷2＝12∉N .B ：整数集对除法运算不封闭，如1÷2＝12∉Z .C ：有理数集对四则运算是封闭的．D ：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭． 如(2＋1)＋(1－2)＝2，2－2＝0，2×2＝2，2÷2＝1， 其运算结果都不属于无理数集． 二、填空题11．(文)已知集合A ＝{x |log 12x ≥3}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(－∞，c ]，其中的c ＝______.[答案] 0[解析] A ＝{x |0<x ≤18}，∵A ⊆B ，∴a ≤0，∴c ＝0.(理)(2010·江苏苏北四市、南京市调研)已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．[答案] 2[解析] ∵A ∪B ＝{0,1,2,4}，∴a ＝4或a 2＝4，若a ＝4，则a 2＝16，但16∉A ∪B ，∴a 2＝4，∴a ＝±2，又－2∉A ∪B ，∴a ＝2.高考总复习含详解答案12．(2010·浙江萧山中学)在集合M ＝{0，12，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x ∈A ，则1x∈A ”的概率是________．[答案]331[解析] 集合M 的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x ∈A ，则1x ∈A ”的集合A 中的元素为1,2或12，且12，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{12，2}，{1，12，2}．因此，所求的概率为331.13．(文)(2010·江苏，1)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.[答案] 1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ， ∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.(理)A ＝{(x ，y )|x 2＝y 2} B ＝{(x ，y )|x ＝y 2}，则A ∩B ＝________. [答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析] A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y2x ＝y 2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． 14．若A ＝{x |22x －1≤14}，B ＝{x |log 116x ≥12}，实数集R 为全集，则(∁R A )∩B ＝________.[答案] {x |0<x ≤14}[解析] 由22x －1≤14得，x ≤－12，由log 116x ≥12得，0<x ≤14，∴(∁R A )∩B ＝{x |x >－12}∩{x |0<x ≤14}＝{x |0<x ≤14}．三、解答题15．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围． [解析] (1)A ＝{1,2}，∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ， ∴4＋4(a ＋1)＋(a 2－5)＝0，∴a ＝－1或－3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)＝0得，a ＝－3. 当a ＝－3时，B ＝{2}，符合题意；当a <－3时，Δ<0，B ＝∅，满足题意； 当a >－3时，∵B ⊆A ，∴B ＝A ，故⎩⎪⎨⎪⎧2(a ＋1)＝－3a 2－5＝2，无解． 综上知，a ≤－3.16．(2010·广东佛山顺德区质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0}，若∁U (A ∪B )⊆C ，求实数a 的取值范围．[解析] A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x <－4，或x >2}，A ∪B ＝{x |x <－4，或x >－2}， ∁U (A ∪B )＝{x |－4≤x ≤－2}，而C ＝{x |(x －a )(x －3a )<0} (1)当a >0时，C ＝{x |a <x <3a }，显然不成立． (2)当a ＝0时，C ＝∅，不成立．(3)当a <0时，C ＝{x |3a <x <a }，要使∁U (A ∪B )⊆C ，只需⎩⎪⎨⎪⎧3a <－4a >－2，即－2<a <－43.综上知实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，－43. 17．(文)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2－ax ＋a 有正整数解，消去y 得， ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*)由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤233.因a 为非零整数，∴a ＝±1，当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1， 而x ∈N *.故a ≠－1.当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意． 故存在a ＝1，使得A ∩B ≠∅， 此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}．(理)(2010·厦门三中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且(a －1)S n ＝a (a n －1)(a >0，n ∈N *)． (1)求证数列{a n }是等比数列，并求a n ；(2)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x }，问是否存在实数a ，使得对于任意的n ∈N *，都有S n ∈A ？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．[解析] (1)①当n ＝1时，∵(a －1)S 1＝a (a 1－1)，∴a 1＝a (a >0)高考总复习含详解答案②当n ≥2时，由(a －1)S n ＝a (a n －1)(a >0)得， (a －1)S n －1＝a (a n －1－1)∴(a －1)a n ＝a (a n －a n －1)，变形得：a na n －1＝a (n ≥2)，故{a n }是以a 1＝a 为首项，公比为a 的等比数列， ∴a n ＝a n .(2)①当a ≥1时，A ＝{x |1≤x ≤a }，S 2＝a ＋a 2>a ，∴S 2∉A ， 即当a ≥1时，不存在满足条件的实数a . ②0<a <1时，A ＝{x |a ≤x ≤1} ∵S n ＝a ＋a 2＋…＋a n ＝a1－a (1－a n )，∴S n ∈[a ，a1－a)，因此对任意的n ∈N *，要使S n ∈A ，只需⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1－a ≤1，解得0<a ≤12，综上得实数a 的取值范围是(0，12]．。
高中数学综合试题及答案
高中数学综合试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果函数f(x)=x^2-2x+2，那么f(0)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么a5的值是多少？A. 11B. 13C. 15D. 173. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 函数y=2x+3的斜率是多少？A. 2B. 3C. 5D. 65. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是多少？A. (2, 1)B. (2, -1)C. (4, 3)D. (4, -3)6. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 28. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}9. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(2, 5)，那么向量a与向量b的点积是多少？A. -23B. -7C. 23D. 710. 一个函数是奇函数，那么它的图象关于：A. 原点对称B. y轴对称C. x轴对称D. 直线y=x对称二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=______。
12. 一个等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第五项是______。
13. 已知一个矩形的长为8cm，宽为5cm，那么它的周长是______。
14. 函数y=x^2-6x+8的最小值是______。
15. 已知一个圆的直径为10cm，那么它的半径是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的极值点。
【高考必备】高中数学总复习题总结(完整版附答案)
高中数学总复习题总结第一章 集合与函数概念一、选择题1．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－|),(x y y x ， P ＝{(x ，y )| y ≠x ＋1}，那么C U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}2．若A ＝{a ，b }，B ⊆A ，则集合B 中元素的个数是( )． A ．0B ．1C ．2D ．0或1或23．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1B ．0C ．0或1D ．1或24．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )． A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )．A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0，1)C ．b ∈(1，2)D ．b ∈(2，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧00＋＋2 x c x c bx x ，，≤， 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．47．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映(第5题)＞射的是( )．A ．f :x →y ＝21x B ．f :x →y ＝31xC ．f :x →y ＝41x D ．f :x →y ＝61x 8．有下面四个命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．49．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减10．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1)二、填空题11．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是 ．12．若集合A ＝{x | x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___． 13．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．14．已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝ ；f (x －2)＝ ． 15．y ＝(2a －1)x ＋5是减函数，求a 的取值范围 ．16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0］时，f(x)＝．三、解答题17．已知集合A＝{x∈R| ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R．①若A是空集，求a的范围；②若A中只有一个元素，求a的值；③若A中至多只有一个元素，求a的范围．18．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．19．证明f (x )＝x 3在R 上是增函数．20．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3x 4＋21x ；(2)f (x )＝(x －1)xx－＋11； (3)f (x )＝1－x ＋x －1；(4)f (x )＝12－x ＋21x －．高一数学必修1第二章单元测试题（A 卷）班级 姓名 分数一、选择题：（每小题5分，共30分）。
高中数学综合试题及答案
高中数学综合试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于？A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B3. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个实根，则\( a + b \)的值为？A. 1B. 2C. 5D. 6答案：C4. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图象在哪个象限？A. 第一象限和第三象限B. 第二象限和第四象限C. 第一象限和第二象限D. 第三象限和第四象限答案：A5. 以下哪个选项是不等式\( |x| < 2 \)的解集？A. \( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \)B. \( (-2, 2) \)C. \( (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \)D. \( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \)答案：B6. 已知\( \tan(\alpha) = 3 \)，则\( \sin(\alpha) \)的值是多少？A. \( \frac{3}{\sqrt{10}} \)B. \( \frac{1}{\sqrt{10}} \)C. \( \frac{3}{\sqrt{10}} \) 或 \( -\frac{3}{\sqrt{10}} \)D. \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) 或 \( -\frac{1}{\sqrt{10}} \)答案：A7. 计算\( \log_2(8) \)的值。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B的值。
A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( -\frac{1}{2} \)答案：A9. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是等差数列，且\( a + c = 10 \)，\( b = 4 \)，则\( a \)和\( c \)的值分别是？A. 2, 8B. 3, 7C. 4, 6D. 5, 5答案：A10. 计算\( \sqrt{49} \)的值。
最新高中数学必修1综合测试卷(三套+含答案)教学教材
１、设全集 集合 从 到 的一个映射为 ，其中 则 _________________。
2、已知 是方程 的根， 是方程 的根，则 值为______________。
3、已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时 则当 时
________________。
4、函数 的反函数 的图像与 轴交于点 （如图所示），则方程 在 上的根是
5、设
A、0B、1 C、2D、3
6、从甲城市到乙城市 分钟的电话费由函数 给出，其中 ， 表示不大于 的最大整数（如 ），则从甲城市到乙城市 分钟的电话费为______________。
7、函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是______________。
8、函数 的值域为______________。
令 (0≤t≤ )，则x=t2+1，
∴ …………………………………………………8分
故当t= 时,可获最大利润 万元.……………………………………………………10分
此时，投入乙种商品的资金为 万元,
投入甲种商品的资金为 万元.……………………………………………………12分
21、（1）证明： ，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，…2分
22、解：（1） 是R上的奇函数 ，
即 ，即
即 ∴
或者 是R上的奇函数
，解得 ，然后经检验满足要求。…………………………………3分（2）由（1）得
设 ，则
，
，所以 在 上是增函数…………………………………7分
（3） ，
所以 的值域为(-1，1)
或者可以设 ，从中解出 ，所以 ，所以值域为(-1，1)…12分
高中数学必修1综合测试卷(三套+含答案)
高中数学综合试题及答案
高中数学综合试题及答案以下是一套高中数学综合试题及答案，共包括选择题、填空题和解答题。
请同学们认真阅读题目，并根据题意完成答题。
选择题：1. 设函数 f(x) = 2x^2 - 3x - 5，则 f(x) 在 x = 2 处的导数为：A. -1B. 1C. 3D. 52. 已知正方形 ABCD 的边长为 a，点 M 是 AB 边上的一个动点，且有 AM : MB = 3 : 1，点 N 是点 CM 上的一个动点，则三角形 AMN 的面积与正方形 ABCD 的面积之比为：A. 2 : 9B. 1 : 9C. 1 : 4D. 2 : 33. 在平面直角坐标系中，曲线 y = x^3 - 3x^2 + bx + c 与横轴交于三个不同点，则 a 的取值范围是：A. (-∞, 0) 或(2, +∞)B. (0, 2)C. (0, +∞)D. (-∞, +∞)填空题：4. 三个数字的平均数为 70，其中最小的数字是 40，另外两个数字之和为 140，则这两个数字分别是______和______。
5. 某公司一项产品的售价为 x 元，该产品的利润是售价的 10%，如果将售价提高 20%，则产品的利润率变为______%。
解答题：6. 已知三角形 ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 5 cm。
求∠A 和 AC 的长度。
7. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn = 2n^2 + n。
求公差 d 和首项a_1。
答案及详解：选择题：1. B。
根据导数的定义，f'(x) = lim[Δx→0] (f(x+Δx) - f(x)) / Δx。
对f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 4x - 3。
代入 x = 2，得到 f'(2) = 4(2) - 3 = 5。
2. A。
根据题意可知，三角形 AMN 是正方形 ABCD 中的 1/4 部分，所以三角形 AMN 的面积是正方形 ABCD 的面积的 1/4。
期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
模块一复习测试题二一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是46．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为()A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+-三．填空题（共4小题）13．化简32a b-= （其中0a >,0)b >．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 ． 15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 ． 16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 ．四．参考解答题（共8小题） 17．已知0x >,0y >,且440x y +=． （Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x=>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围; （Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围． 19．解方程 （1）231981xx-=（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++20．设函数33()sin cos 2323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．22．已知函数2()3sin 2cos 12xf x x =-+． （Ⅰ）若()23()6f παα=+,求tan α的值;（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．模块一复习测试题二参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【详细分析】利用元素与集合的关系直接求解．【参考解答】解:集合{|15}{0A x N x =∈=,1,2,3},a =a A ∴∉．故选:D ．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用．2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可． 【参考解答】解:1a >,1b >, 2log 0a ∴>,2log 0b >,2a b ab +,4a b +,故4ab ,222222222log log log ()log 4log log ()[]()1222a b ab a b +⋅==,反之,取16a =,152b =,则1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<, 但4a b +>,故4a b +是22log log 1a b ⋅的充分不必要条件, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查基本不等式的性质,是一道基础题．3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞【详细分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．【参考解答】解:命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则命题“[0x ∃∈,3],使得220x x m --= “成立是真命题, 故222(1)1m x x x =-=--． 由于[0x ∈,3],所以[1m ∈-,3]． 故选:C ．【点评】本题考查的知识要点:命题的否定的应用,一元二次方程的根的存在性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]【详细分析】判断出在区间[3,5)上单调递增,(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩得出即1090m m -⎧⎨->⎩即可．【参考解答】解:函数2()44f x x x m =--+,对称轴2x =,在区间[3,5)上单调递增 在区间[3,5)上有零点,∴(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩即1090m m -⎧⎨->⎩ 解得:19m <, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的单调性,零点的求解方法,属于中档题． 5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是4【详细分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果． 【参考解答】解:已知2x >,所以20x ->,故11222(2)2422y x x x x x =+=-++-=--（当3x =时,等号成立）． 故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=【详细分析】设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点,则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,(,)P y x '关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,代入详细解析式变形可得．【参考解答】解:设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点, 则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,又函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于直线0x y +=对称,(,)P y x ∴'关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,∴必有12x y -+-=,即12x y -+=-,()y f x ∴=的反函数为:12x y -+=-;故选:C ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D 【详细分析】由11sin sin[()]33ααππ=+-,结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【参考解答】解:cos()3παα+=为锐角）,∴1sin()3απ+=,则11111sin sin[()]sin())33233ααππαπαπ=+-=++,1(2=-,=故选:C ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题．8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为( )A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 【详细分析】把已知函数详细解析式利用辅助角公式化积,求得函数值域,再由a 的范围可知方程()f x a =有两根1x ,2x ,然后利用对称性得正确答案．【参考解答】解:1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π=+=+=+,[0x ∈,2]π,()[2f x ∴∈-,2],又01a <<,∴方程()f x a =有两根1x ,2x ,由对称性得12()()33322x x πππ+++=,解得1273x x π+=．故选:D ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查函数零点的判定及应用,正确理解题意是关键,是基础题．二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆【详细分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【参考解答】解:集合M N ⊆,∴在A 中,M N M =,故A 错误;在B 中,M N N =,故B 正确;在C 中,()M M N ⊆,故C 错误;在D 中,M N N N =⊆,故D 正确．故选:BD ．【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题． 10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 【详细分析】结合基本不等式的一正,二定三相等的条件检验各选项即可判断．【参考解答】解:不等式2a b ab +恒成立的条件是0a ,0b ,故A 不正确;当a 为负数时,不等式12a a+成立．故B 正确; 由基本不等式可知C 正确;对于212144()(2)4428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+++=, 当且仅当4y x x y =,即12x =,14y =时取等号,故D 正确． 故选:BCD ．【点评】本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验．11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根【详细分析】根据函数的奇偶性判断A ,根据函数的单调性判断B ,结合图象判断C ,D 即可．【参考解答】解:对于||:()()1x A f x f x x --=≠--+,()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于:0B x 时,1()111x f x x x ==-++在[0,)+∞递增,故B 正确; 对于C ,D ,画出函数()f x 和21y x =-的图象,如图示:,显然函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞,故C 正确,()f x 和21y x =-的图象有3个交点,故D 错误;故选:BC ．【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,考查数形结合思想,转化思想,是一道中档题．12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+- 【详细分析】求出11sin()6π-的值．利用二倍角的余弦求值判断A ;利用两角和的余弦求值判断B ;利用二倍角的正弦求值判断C ;利用两角和的正切求值判断D ．【参考解答】解:111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==． 对于A ,22cos 1531cos30o -=︒=对于B ,1cos18cos42sin18sin 42cos(1842)cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=; 对于C ,12sin15sin 752sin15cos15sin302︒︒=︒︒=︒=; 对于D ,tan30tan15tan(3015)tan 4511tan30tan15o oo o+=︒+︒=︒=-．∴与11sin()6π-的值相等的是BC ． 故选:BC ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数,是基础题．三．填空题（共4小题）13．化简32a b -= a （其中0a >,0)b >．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解1311132322()b b bb ⨯=== 原式2111()3322a b a ---==,故正确答案为:a ．【点评】本题考查了指数幂的运算,属于基础题．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 {1-,0,1} ．【详细分析】先利用分离常数法将函数化为92()51x f x e =-+,进而求出()f x 的值域,再根据[]x 的定义可以求出[()]f x 的所有可能的值,进而得到函数的值域．【参考解答】解:212(1)212192()215151551x x x x x x e e f x e e e e+-=-=-=--=-++++, 0x e >,11x e ∴+>,∴2021x e <<+,∴19295515x e -<-<+, 即19()55f x -<<,①当1()05f x -<<时,[()]1f x =-, ②当0()1f x <时,[()]0f x =,③当91()5f x <<时,[()]1f x =, ∴函数[()]y f x =的值域是:{1-,0,1},故正确答案为:{1-,0,1}．【点评】本题主要考查了新定义运算的求解,关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域,是中档题．15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 2 ． 【详细分析】根据对数的基本运算,结合不等式的解法即可得到结论．【参考解答】解:1lgx lgy +=,1lgxy ∴=,且0x >,0y >,即10xy =, ∴25251022210x y x y +=, 当且仅当25x y =,即2x =,5y =时取等号, 故正确答案为:2【点评】本题主要考查不等式的应用,利用对数的基本运算求出10xy =是解决本题的关键,比较基础．16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 16- ．【详细分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．【参考解答】解:若42x ππ<<,则tan (1,)x ∈+∞, 另22tan tan 21tan x x x=-, 设tan x t =,(1)t >, 则422222244416111111()()24t y t t t t ===-----,当且仅当t =时,等号成立．故正确答案为:16-．【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,关系式的变换和二次函数的性质,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 【详细分析】（1）由已知得,40424x y xy =+=解不等式可求,（2）由题意得,11111()(4)40x y x y x y +=++,展开后结合基本不等式可求． 【参考解答】解:（1）0x >,0y >,40424x y xy ∴=+=当且仅当4x y =且440x y +=即20x =,5y =时取等号,解得,100xy ,故xy 的最大值100．（2）因为0x >,0y >,且440x y +=．所以111111419()(4)(5)(540404040y x x y x y x y x y +=++=+++=, 当且仅当2x y =且440x y +=即403x =,203y =时取等号, 所以11x y +的最小值940． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x =>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围;（Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）对式子变形后,利用基本不等式即可求得结果;（Ⅱ）先由题设把问题转化为:2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,构造函数2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],利用其最大值求得a 的取值范围;（Ⅲ）由题设把问题转化为:方程21a x =-在[0a ∈,2]有解,解出x 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）当2a =时,2()41111()22212222f x x x y x x x x -+===+-⨯-=-（当且仅当1x =时取“= “),1min y ∴=-;（Ⅱ）由题意知:221x ax a a --+对于任意的[0x ∈,2]恒成立,即2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,令2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],则(0)10(2)340g g a =-⎧⎨=-⎩,解得:34a , a ∴的取值范围为3[4,)+∞; （Ⅲ）由()2f x ax =-可得:210x a -+=,即21a x =-, [0a ∈,2],2012x ∴-,解得:11x -,即x 的取值范围为[1-,1]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法,属于中档题．19．解方程 （1）231981x x -= （2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++【详细分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．（2）利用对数运算法则,化简求解方程的解即可．【参考解答】解:（1）231981x x -=,可得232x x -=-,（2分） 解得2x =或1x =;（4分）（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++,可得44log (3)log (21)(3)x x x -=++,3(21)(3)x x x ∴-=++,（2分）得4x =-或0x =,经检验0x =为所求．（4分）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力．20．设函数3()cos 323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值． 【详细分析】（1）利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期;（2）由对称性求得()g x 的详细解析式,再由x 的范围求得函数最值．【参考解答】解:（1）3()cos sin()32333x x f x x ππππ=-=-． ()f x ∴的最小正周期为263T ππ==;（2）函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,()()3sin()33x g x f x ππ∴=-=-． [0x ∈,3]2,∴[333x πππ-∈-,]6π, sin()[33xππ∴-∈,1]2,()[g x ∈,3]2． ∴当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值为32． 【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质,考查三角函数最值的求法,是中档题．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．【详细分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ,B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的详细解析式,再根据余弦函数的图象的对称性,得出结论． （Ⅱ）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,得出结论．【参考解答】解:（Ⅰ）由函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象知: 1(3)22A --==,1(3)12B +-==-,72212T πππωω-==⇒=, ()2cos(2)1f x x ϕ∴=+-,把点(,1)12π代入得:cos()16πϕ+=, 即26k πϕπ+=,k Z ∈． 又||2πϕ<,∴6πϕ=-,∴()2cos(2)16f x x π=--． 由图可知(,1)3π-是其中一个对称中心, 故所求对称中心坐标为:(,1)32k ππ+-,k Z ∈． （Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,可得1cos(2)62y x π=--的图象,再向右平移6π个单位,可得11cos(2)sin 2222y x x π=--=- 的图象, 最后将图象向上平移1个单位后得到1()sin 22g x x =+的图象． 由22222k x k ππππ-++,k Z ∈,可得增区间是[4k ππ-,]4k ππ+,当3[,]124x ππ∈时,函数的增区间为[,]124ππ． 则32[,]62x ππ∈,当22x π=即,4x π=时,()g x 有最大值为32, 当322x π=,即34x π=时,()g x 有最小值为11122-+=-． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A 、B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,余弦函数的图象的对称性．函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题．22．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()()6f παα=+,求tan α的值; （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围． 【详细分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换,化简()f x 的详细解析式,根据条件,求得tan α的值． （Ⅱ）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得()g x 的范围,可得m 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）2()2cos 1cos 2sin()26x f x x x x x π-+-=-,()()6f παα=+,∴sin()6παα-=,∴1cos 2ααα-=,即cos αα-=,∴tan α=（Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象, 所以函数()g x 的详细解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-, 关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解, 等价于求()g x 在[0,]2π上的值域, 因为02x π,所以52666x πππ--, 所以1()2g x -,故m 的取值范围为[1-,2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．。
高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳(带答案)
高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳单选题1、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．12 答案：B分析：设出点P 坐标，用两点间距离公式表达出点P 到点C (0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3 故选：B2、在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3), D (4,a )，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．√3 答案：C分析：设出圆的一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，根据A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3),求出{D =−4E =−4F =4，然后将点D (4,a )带入圆的方程即可求得结果. 设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得{22+02+2D +F =032+(2−√3)2+3D +(2−√3)E +F =012+(2+√3)2+D +(2+√3)E +F =0，解得{D =−4E =−4F =4 ，所以x 2+y 2−4x −4y +4=0，又因为点D (4,a )在圆上，所以42+a 2−4×4−4a +4=0，即a =2. 故选：C.3、“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A分析：直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直得到a∈R，再利用充分必要条件的定义判断得解. 因为直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以1×(a)+a×(−1)=0，所以a∈R.所以a=1时，直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的充分条件；当直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直时，a=1不一定成立，所以“a=1”是“直线x+ay−1= 0与直线ax−y+1=0相互垂直”的非必要条件.所以“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的充分非必要条件.故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4、已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则AB的中点M到C的准线l的距离的最小值为（）A．2B．4C．5D．6答案：B分析：设出直线AB的方程x=my+2，联立后利用弦长公式表达出AB，求出AB长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到AB的中点M到C的准线l的距离为AB的一半，进而求出点M到C的准线l的距离的最小值.如图，分别过点A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，E ， 则|MD |=|AC |+|BE |2=|AF |+|BF |2=|AB |2设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立{x =my +2y 2=8x ，整理得y 2−8my −16=0，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16.|AB |=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8(1+m 2)⩾8∴|MD |⩾4. 故选：B.5、平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直 答案：C分析：由题设知m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. ∵平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)， ∴ m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合． 故选：C ．6、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB=13，PN =ND ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用{a ,b ⃗ ,c }为基底表示为（ ）A ．a +13b ⃗ +12c B ．−a +16b ⃗ +12c C ．a −13b ⃗ +12c D ．−a −16b ⃗ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据比例关系可得MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量减法DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP⃗⃗⃗⃗⃗ 即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −16b ⃗ +12c故选：D ．7、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程（ ）A ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)B ．x 2－y 28＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≥1)D ．y 28－x 2＝1答案：A分析：根据双曲线定义求解|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +3,则|MC 2|−|MC 1|=2 根据双曲线定义知M 的轨迹为x 2−y 28=1的左半支故选：A8、如图所示，在空间直角坐标系中，BC =2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，则点D 的坐标为（ ）．A ．(0，−12，−√32) B ．(0，−12，√32) C ．(0，12，−√32) D ．(0，12，√32) 答案：B分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，然后在Rt △BDC 中求解. 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，BC =2， 得|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1、|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3， 所以|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin30∘=√32， 所以|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘=1−12=12， 所以点D 的坐标为(0，−12，√32)， 故选：B ． 多选题9、如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（）A．k1<k3<k2B．k3<k2<k1C．α1<α3<α2D．α3<α2<α1答案：AD分析：根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论.解：如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2>k3>0，k1<0，故π2>α2>α3>0，且α1为钝角，故选：AD.小提示：本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题.10、三棱锥A−BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n⃗1,n⃗2，若<n⃗1,n⃗2>=π3，则二面角A−BD−C 的大小可能为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6答案：BC分析：由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果. ∵二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，∴二面角A−BD−C的大小可能为π3或π−π3=2π3.故选：BC.11、已知点A是直线l:x+y−√2=0上一定点，点P、Q是圆x2+y2=1上的动点，若∠PAQ的最大值为90∘，则点A的坐标可以是A ．(0,√2)B ．(1,√2−1)C ．(√2,0)D ．(√2−1,1) 答案：AC解析：设点A 的坐标为(t,√2−t)，可得知当AP 、AQ 均为圆x 2+y 2=1的切线时，∠PAQ 取得最大值90∘，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出|OA |=√2，进而可求出点A 的坐标. 如下图所示：原点到直线l 的距离为d =√2√12+12=1，则直线l 与圆x 2+y 2=1相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆x 2+y 2=1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP 、OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90∘，且∠APO =∠AQO =90∘，|OP |=|OQ |=1， 则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |=√2|OP |=√2， 由两点间的距离公式得|OA |=√t 2+(√2−t)2=√2，整理得2t 2−2√2t =0，解得t =0或√2，因此，点A 的坐标为(0,√2)或(√2,0). 故选：AC.小提示：本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 填空题12、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ，b ⃗ ，c 表示为________．答案：OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c .分析：根据向量的线性运算可得答案.解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴b ⃗ −a =−2(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −c )，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c . 所以答案是：OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c . 13、在三棱锥O-ABC 中，OA ､OB ､OC 两两垂直，OA =3，OB =4，OC =5，D 是AB 的中点，则CD 与平面OAB 所成的角的正切值为___________. 答案：2分析：由已知建立空间直角坐标系，求出CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标和平面OAB 的法向量，由数量积公式可得CD 与平面OAB 所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.因为OC 、OA 、OB 两两垂直， 所以以O 为原点，OA 、OB 、OC 分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接CD ，所以A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，D (32,2,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,2,−5)，由于CO ⊥底面OAB ，所以CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是底面OAB 的法向量， 且CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−5)，设CD 与平面OAB 所成的角为θ(θ∈[0,π2])， 所以sinθ=|cos⟨CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=5×√4+25+4=√5，所以cosθ=√1−sin 2θ=√5，所以tanθ=sinθcosθ=2. 即CD 与平面OAB 所成的角正切值为2. 所以答案是：2.小提示：本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.14、已知椭圆x24+y2=1，过P(1,12)点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.答案：x+2y−2=0分析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12+4y12=4，x22+4y22=4，∴(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0．∵P(1,12)恰为线段AB的中点，即有x1+x2=2，y1+y2=1，∴(x1−x2)+2(y1−y2)=0，∴直线AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=−12，∴直线AB的方程为y−12=−12(x−1)，即x+2y−2=0．由于P在椭圆内，故成立．所以答案是：x+2y−2=0．解答题15、在平面直角坐标系xOy中，已知四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3).（1）这四点是否在同一个圆上?如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；（2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标.答案：（1）四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)都在圆(x−2)2+(y−2)2=5上；（2）(12,5 2 ).分析：（1）设经过A，B，C三点的圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，代入点A，B，C的坐标可解得圆的方程，再判断点D是否在圆上即可；（2）由|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上时取等号，同理|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P在线段BD上时取等号，进而可得当点P为AC，BD交点时距离之和最小，故求AC，BD交点坐标即可.（1）设经过A，B，C三点的圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，{(0−a)2+(1−b)2=r2(3−a)2+(0−b)2=r2,(1−a)2+(4−b)2=r2解得a=2，b=2，r2=5因此，经过A，B，C三点的圆的方程为(x−2)2+(y−2)2=5.由于(0−2)2+(3−2)2=5，故点D也在这个圆上.因此，四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)都在圆(x−2)2+(y−2)2=5上. （2）因为|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上时取等号.同理，|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P在线段BD上时取等号.因此，当点P是AC和BD的交点时，它到A，B，C，D的距离之和最小.因为直线AC的方程为y=3x+1，直线BD的方程为y=−x+3，联立{y=3x+1y=−x+3,解得点P的坐标为(12,52).。
高考数学复习题型及答案
高考数学复习题型及答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+2x+1的图像是：A. 一条直线B. 一个开口向上的抛物线C. 一个开口向下的抛物线D. 一个圆答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则其第10项a10的值为：A. 29B. 32C. 35D. 41答案：A二、填空题3. 若复数z=1+i，则|z|=________。
答案：√24. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。
答案：3x^2-6x三、解答题5. 求证：对于任意实数x，不等式x^2+x+1>0恒成立。
证明：要证明x^2+x+1>0恒成立，只需证明其判别式Δ<0。
计算判别式Δ=1^2-4×1×1=-3<0，因此原不等式恒成立。
6. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式。
解：由递推关系an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，即数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列。
因此，an+1=2^n，进而得到an=2^(n-1)-1。
四、计算题7. 计算定积分∫₀^₁x^2dx。
解：∫₀^₁x^2dx=(1/3)x^3|₀^₁=1/3。
8. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dσ，其中D是由x^2+y^2≤1所围成的圆盘。
解：∬D(x^2+y^2)dσ=∫₀^π∫₀^1(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)rdrdθ=∫₀^π∫₀^1r^3 dθ dr=(π/2)∫₀^1r^3dr=(π/2)(1/4)=π/8。
以上题型涵盖了高考数学中常见的选择题、填空题、解答题和计算题，通过这些题型的练习，可以有效地复习和巩固数学知识，为高考做好充分的准备。
高中数学试题归纳及答案
高中数学试题归纳及答案一、选择题1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. -5D. 5答案：C2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 3}答案：B二、填空题3. 计算等差数列1, 4, 7, ...的第10项为______。
答案：284. 圆的半径为5，圆心在坐标原点，求该圆的面积为______。
答案：25π三、解答题5. 已知函数y = x^2 - 4x + 3，求该函数的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(2, -1)。
6. 已知三角形ABC，其中∠A = 60°，∠B = 45°，边a = 4，求边b的长度。
答案：边b的长度为4√2。
四、证明题7. 证明：若一个三角形的三个内角均小于90°，则该三角形为锐角三角形。
答案：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
若∠A < 90°，∠B < 90°，∠C < 90°，则∠A + ∠B + ∠C < 270°。
根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°，因此∠A、∠B、∠C均为锐角，故三角形ABC为锐角三角形。
五、应用题8. 某商店购进一批商品，进价为每件100元，标价为每件150元。
为了促销，商店决定进行打折销售，若打折后每件商品的利润率为10%，则商店应该打几折？答案：设打折后的价格为x元，则利润率为(x - 100) / 100 = 0.1，解得x = 110元。
因此，商店应该打7.33折。
六、综合题9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求该函数的极值点。
答案：对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 6x。
令f'(x) = 0，解得x = 0或x = 2。
高中数学题型总结160题
高中数学题型总结160题高中数学题型总结高中数学题型共有160题，包括代数、几何、函数、概率与统计等内容。
下面将对这些题型进行总结，希望能帮助同学们全面复习和掌握这些知识点。
1. 代数题型（40题）代数题型主要涉及方程、不等式、函数、数列等内容。
其中，方程类型包括一元一次方程、一元二次方程、高次方程、二次根式方程等。
不等式类型包括一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式等。
函数类型包括一次函数、二次函数、分式函数、指数函数等。
数列类型包括等差数列、等比数列、递推数列等。
2. 几何题型（40题）几何题型主要涉及几何形状的性质、图形的计算等内容。
其中，基本图形类型包括点、线、面的性质、计算等。
直线和曲线类型包括直线的斜率、截距等计算，以及曲线的一些性质。
多边形类型包括三角形、四边形、五边形等的周长、面积计算。
圆类型包括圆周长、面积计算等。
3. 函数题型（40题）函数题型主要涉及函数的性质、图像、极值、零点等内容。
其中，函数性质类型包括奇偶性、周期性、单调性等。
函数图像类型包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的图像绘制以及变换。
函数极值类型包括求解函数的最大值、最小值等。
函数零点类型包括求解函数的零点、方程的解等。
4. 概率与统计题型（40题）概率与统计题型主要涉及随机事件的概率、数据的统计分析等内容。
其中，随机事件概率类型包括计算事件的概率、互斥事件、独立事件等。
数据统计类型包括数据的频数、频率、中位数、平均数等的计算。
通过总结以上四个题型，我们可以看出高中数学的内容十分广泛，包含了代数、几何、函数、概率与统计等各个方面。
掌握这些题型需要同学们具备扎实的基础知识和灵活运用的能力。
因此，在复习过程中，同学们应该注重基础知识的学习和强化，并通过大量的练习来提高运用能力。
此外，高中数学的题型往往需要综合运用各个知识点来解决问题，因此，同学们在解题过程中应注重思维的灵活性和综合运用的能力。
通过对题型的总结和分类，同学们可以更好地理解知识点之间的联系，提高解题的效率和准确性。
高中数学选修一综合测试题题型总结及解题方法(带答案)
高中数学选修一综合测试题题型总结及解题方法单选题1、直线2x+3y−6=0关于点(1,1)对称的直线方程为（）A．3x−2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x−2y−12=0D．2x+3y−4=0答案：D分析：设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2−x,2−y),代入已知直线即可求得结果.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2−x,2−y)，以(2−x,2−y)代换原直线方程中的(x,y)得2(2−x)+3(2−y)−6=0，即2x+3y−4=0.故选：D.2、若圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．(−2√2,0)∪(0,2√2)B．(−2√2,2√2)C．(−1,0)∪(0,1)D．(−1,1)答案：A分析：将问题转化为圆(x−a)2+(y−1)2=4与x2+y2=1相交，从而可得2−1<√a2+12<2+1，进而可求出实数a的取值范围.到点(a,1)的距离为2的点在圆(x−a)2+(y−1)2=4上，所以问题等价于圆(x−a)2+(y−1)2=4上总存在两个点也在圆x2+y2=1上，即两圆相交，故2−1<√a2+12<2+1，解得−2√2<a<0或0<a<2√2，所以实数a的取值范围为(−2√2,0)∪(0,2√2)，故选：A．3、椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2=π3，则m=（）A．1B．√2C．√3D．2答案：C分析：由椭圆的定义结合已知得|AF 1|=|F 1F 2|，进而求出m 即可.在椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m >0)中，a =√m 2+1，b =m ，c =1.易知|AF 1|=|AF 2|=a . 又∠F 1AF 2=π3，所以△F 1AF 2为等边三角形，即|AF 1|=|F 1F 2|，所以√m 2+1=2，即m =√3. 故选：C.4、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54 C ．3√525D ．4√225 答案：C分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值. 在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ； 在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F .由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ， 所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ， 设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5， 同理可得CF =√5OF =2√5， 以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√510,2√50)，设AO 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=320√52×12=3√525.故选：C5、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形， AA 1＝AB ，M 是A 1C 1的中点，则AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为（ ） A ．710B ．√1510C ．√8510D ．−√1510答案：B分析：取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC =2，则A (0,−1,0),M (0,0,2),B(−√3,0,0),N (−√32,−12,2)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，平面BCC 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(√32,−32,0)设AM 与平面BCC 1B 1所成角为α，向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 所成的角为θ， 所以sinα=|cosθ|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=32√5×√3=√1510， 即AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√1510． 故选：B ．6、已知F 1､F 2是椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B分析：根据△PF 1F 2的面积以及该三角形为直角三角形可得|PF 1|⋅|PF 2|=18，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，然后结合|PF 1|+|PF 2|=2a ，简单计算即可.依题意有|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2又PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △PF 1F 2=12|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=9，所以|PF 1|⋅|PF 2|=18，又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，可得4c 2+36=4a 2， 即a 2−c 2=9，则b =3， 故选：B.7、已知A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等，则a =（ ） A ．2B ． 92C ．2或−8D ．2或92分析：利用点到直线距离公式进行求解即可.因为A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x−4y+1=0的距离相等，所以有22=22⇒|13−4a|=5⇒a=2，或a=92，故选：D8、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．多选题9、设θ是三角形的一个内角，对于方程x2sinθ＋y2cosθ＝1的说法正确的是（）A．当0＜θ＜π2时，方程表示椭圆B．当θ＝π2时，方程不表示任何图形C．当π2＜θ＜3π4时，方程表示焦点在x轴上的双曲线D．当3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线分析：利用椭圆、双曲线方程的标准形式逐一判断即可. 当0＜θ＜π2时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝π4时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A 错误；当θ＝π2时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B 正确；当π2＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论π2＜θ＜3π4还是3π4＜θ＜π时， 方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以C 正确，D 错误， 故选：BC.10、已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A,B ，且A (p4,a)，|AF |=32.下列结论正确的是（ ）A ．p =4B ．a =±√2C ．|BF |=3D ．△AOB 的面积为3√22答案：BCD分析：选项A 由抛物线的定义可得|AF |=x A +p2=32可判断；选项B 将点A (12,a)坐标代入抛物线方程可判断；当a =√2时，直线l 的方程为：y =−2√2(x −1)，可求出B(2,−2√2)，从而可得|BF |=3，由S △AOB =12|OF |⋅|y 1−y 2|，同理可得a =−√2时的情况，从而可判断C ，D.选项A. 由抛物线的定义可得|AF |=x A +p2=p4+p2=32，解得p =2，所以A 不正确. 选项B. 所以A (12,a)，F (1,0)，抛物线方程为y 2=4x将点A (12,a)坐标代入抛物线方程，得a 2=4×12=2，所以a =±√2，所以B 正确选项C. 当a =√2时，则k l =√2−012−1=−2√2，则直线l 的方程为：y =−2√2(x −1)则{y =−2√2(x −1)y 2=4x ，得8x 2−20x +8=0，解得x 1=12或x 2=2 所以x B =2，则|BF |=x B +p2=2+1=3， 同理当a =√2时，可得|BF |=3，所以C 正确.选项D.由上可知当a =√2时，A (12,√2)，B(2,−2√2) S △AOB =12|OF |⋅|y 1−y 2|=12×1×3√2=3√22同理当a =√2时，S △AOB =3√22，所以D 正确.故选：BCD小提示：关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，过焦点的弦的性质，解答本题的关键是由抛物线的定义可得|AF |=x A +p2=32，解得p 的值，由S △AOB =12|OF |⋅|y 1−y 2|求解面积，属于中档题.11、已知三棱锥O −ABC ，E ，F 分别是OA ，BC 的中点，P 为线段EF 上一点，且PF =2EP ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则下列等式成立的是（ ）A ．OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ +12c B ．EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16a +16b ⃗ +16cC ．FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a +13b ⃗ +13c D ．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +16b ⃗ +16c答案：ABD分析：根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案. 如图，因为F 为BC 的中点，所以OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ +12c ，故选项A 正确；EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(12b ⃗ +12c )−13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16a +16b ⃗ +16c ，故选项B 正确； FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(−16a +16b ⃗ +16c )=13a −13b ⃗ −13c ，故选项C 错误； OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(−16a +16b ⃗ +16c )=13a +16b ⃗ +16c ，故选项D 正确. 故选：ABD. 填空题12、如图，已知点F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点过点F 且斜率存在的直线交抛物线C 于A ，B 两点，点D 为准线l 与x 轴的交点，则△DAB 的面积S 的取值范围为______．答案：(4,+∞)分析：设A, B 坐标和直线AB 的方程，让直线AB 方程与抛物线进行联立可得x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，接着利用弦长公式求出|AB |，再求出点D 到直线AB 的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案 由抛物线C:y 2=4x 可得焦点F (1,0)，准线方程为x =−1，D (−1,0)， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =k (x −1)(k ≠0)，由{y =k (x −1)y 2=4x ，可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1， 所以|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(2+4k 2)2−4=4(1+k 2)k 2，直线AB 的一般方程为kx −y −k =0， 点D (−1,0)到直线AB 的距离d =√k 2+1，所以S =12d ⋅|AB |=√1+k24(1+k 2)k 2=4√1k 2+1>4，所以△DAB 的面积S 的取值范围为(4,+∞)，所以答案是：(4,+∞)13、已知集合A={(x,y)|2x−(a+1)y−1=0}，B={(x,y)|ax−y+1=0}，且A∩B=∅，则实数a的值为___________.答案：1分析：利用已知条件可得直线2x−(a+1)y−1=0与直线ax−y+1=0平行，利用线线平行的结论，代入求解即可.∵集合A={(x,y)|2x−(a+1)y−1=0}，B={(x,y)|ax−y+1=0}，且A∩B=∅，∴直线2x−(a+1)y−1=0与直线ax−y+1=0平行，即−2=−a(a+1)，且2≠−a，解得a=1.所以答案是：1.14、位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．##3.6答案：185分析：首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为x 2=−2py ，p >0， 因为抛物线过点(6,−5)，所以36=10p ，可得p =185，所以抛物线的焦点到准线的距离为185m ． 所以答案是：185解答题15、在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，∠BAA 1＝∠DAA 1=π3，AC 1=√26．(1)求侧棱AA 1的长；(2)M ，N 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，求AC 1→⋅MN →及两异面直线AC 1和MN 的夹角． 答案：(1)4 (2)0；90°.分析：（1）由AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平方，再利用数量积的运算性质展开即可得出．（2）由AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ），再利用数量积的运算性质展开即可得出． （1）设侧棱AA 1＝x ，∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°， ∴AB →2=AD →2=1，AA 1→2=x 2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1→=x 2，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1→=x2，又∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26，∴x 2+2x ﹣24＝0，∵x ＞0，∴x ＝4，即侧棱AA 1＝4．（2）∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN →=12DB →=12（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ），∴AC 1→⋅MN →=12（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12（AB →2−AD →2+AB →•AA 1→−AD →•AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12（1﹣1+2﹣2）＝0，∴两异面直线AC 1和MN 的夹角为90°．。
部编版高中数学选修一综合测试题带答案基础知识点归纳总结
(名师选题)部编版高中数学选修一综合测试题带答案基础知识点归纳总结单选题1、圆x 2+y 2+2x −4y −6=0的圆心和半径分别是（ ） A ．(−1,−2)，11B ．(−1,2)，11C ．(−1,−2)，√11D ．(−1,2)，√112、已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)3、已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点分别是F 1，F 2，直线y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，且∠F 1AF 2=60°，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．716B ．√74C ．916D ．344、若直线 y =kx +1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点， 且∠AOB =60∘(其中O 为原点)， 则k 的值为（ ） A ．−√33或√33B ．√33C ．−√2或√2D ．√2 5、已知椭圆x 24+y 23=1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，若△F 1MN 的周长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86、已知抛物线x 2=my 焦点的坐标为F(0,1)，P 为抛物线上的任意一点，B(2,2)，则|PB|+|PF|的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127、如图所示，在空间直角坐标系中，BC =2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，则点D 的坐标为（ ）．A ．(0，−12，−√32) B ．(0，−12，√32) C ．(0，12，−√32) D ．(0，12，√32) 8、设x 、y ∈R ，向量a ⃑=(x,1,1)，b ⃑⃑=(1,y,1)，c ⃑=(3,−6,3)且a ⃑⊥c ⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则|a ⃑+b ⃑⃑|=（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．3 多选题9、(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=6√6B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角是60°D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√6310、已知直线l 过点(3,4)，点A (−2,2)，B (4,−2)到l 的距离相等，则l 的方程可能是( ) A ．x −2y +2=0B ．2x −y −2=0 C ．2x +3y −18=0D ．2x −3y +6=011、对于任意非零向量a ⃑=(x 1,y 1,z 1)，b ⃑⃑=(x 2,y 2,z 2)，以下说法错误的有 A ．若a ⃑⊥b⃑⃑，则x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0B ．若a ⃑//b ⃑⃑，则x 1x 2=y 1y 2=z 1z2C ．cos <a ⃑,b⃑⃑>=121212√x 12+y 12+z 12⋅√x 22+y 22+z 22D ．若x 1=y 1=z 1=1，则a ⃑为单位向量 填空题12、在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，点P 为底面ABCD 上一点，则PA →⋅PC 1→的最小值为________.13、已知椭圆的方程为x 29+y 24=1，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为______．部编版高中数学选修一综合测试题带答案(六)参考答案1、答案：D分析：先化为标准方程，再求圆心半径即可.先化为标准方程可得(x+1)2+(y−2)2=11，故圆心为(−1,2)，半径为√11.故选：D.2、答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF1|,|PF2|，再由|PF1|−|PF2|≤|F1F2|求得a,c的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=32a，|PF2|=12a，而|PF1|−|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，即32a−12a≤2c，即a≤2c，则e=ca≥12，即12≤e<1.故选：D．3、答案：B分析：根据椭圆的对称性可知，|AF2|=|BF1|，设|AF2|=m，由|AF1|=3|BF1|以及椭圆定义可得|AF1|=3a2，|AF2|=a2，在△AF1F2中再根据余弦定理即可得到4c2=7a24，从而可求出椭圆C的离心率．由椭圆的对称性，得|AF2|=|BF1|.设|AF2|=m，则|AF1|=3m.由椭圆的定义，知|AF1|+|AF2|=2a，即m+3m=2a，解得m=a2，故|AF1|=3a2，|AF2|=a2.在△AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1||AF2|cos∠F1AF2，即4c2=9a24+a24−2×3a 2×a2×12=7a24，则e2=c2a2=716，故e=√74.故选：B.4、答案：A分析：根据点到直线的距离公式即可求解.由∠AOB =60∘可知，圆心(0,0)到直线y =kx +1的距离为√32，根据点到直线的距离公式可得√12+k 2=√32⇒k =±√33故选：A小提示：5、答案：D分析：运用椭圆的定义进行求解即可. 由x 24+y 23=1⇒a =2.因为M ，N 是椭圆的上的点，F 1、F 2是椭圆的焦点， 所以MF 1+MF 2=2a,NF 1+NF 2=2a ，因此△F 1MN 的周长为MF 1+MN +NF 1=MF 1+MF 2+NF 2+NF 1=2a +2a =4a =8， 故选：D 6、答案：A分析：先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 因为抛物线x 2=my 焦点的坐标为(0,1)，所以m4=1，解得m =4．记抛物线的准线为l ，作PN ⊥l 于N ，作BA ⊥l 于A ，则由抛物线的定义得|PB|+|PF|=|PB|+|PN|⩾|BA|=3，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7、答案：B分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，然后在Rt △BDC 中求解. 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，BC =2， 得|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1、|CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3， 所以|DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅sin30∘=√32， 所以|OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅cos60∘=1−12=12， 所以点D 的坐标为(0，−12，√32)， 故选：B ． 8、答案：D分析：利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a ⃑+b ⃑⃑的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.因为a ⃑⊥c ⃑，则a ⃑⋅c ⃑=3x −6+3=0，解得x =1，则a ⃑=(1,1,1)，因为b ⃑⃑//c ⃑，则13=y−6，解得y =−2，即b⃑⃑=(1,−2,1)，所以，a ⃑+b ⃑⃑=(2,−1,2)，因此，|a ⃑+b ⃑⃑|=√4+1+4=3. 故选：D. 9、答案：AB分析：根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可. 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°， 所以AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6×6×cos 60°=18， (AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+2AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =36+36+36+3×2×18=216，则|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=6√6， 所以A 正确； AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)·(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2-AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2 =0，所以B 正确； 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D =60°.因为B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=A 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且向量A 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角是120°，所以B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角是120°，所以C 不正确； 因为BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以|BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=6√2，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=6√3， BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)·(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=36， 所以cos <BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑>=BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|·|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=6√2×6√3=√66，所以D 不正确.故选:AB. 10、答案：BC分析：分直线l 斜率存在和不存在进行讨论﹒当l 斜率存在时，设其方程为y −4=k (x −3)，根据点到直线的距离公式列出关于k 的方程，解方程即可求直线l 的方程．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −4=k (x −3)，即kx −y +4−3k =0，∵点A (−2,2)，B (4,−2)到直线的距离相等， ∴√k 2+1=√k 2+1，解得k =−23，或k =2，当k =−23时，直线l 的方程为y −4=−23(x −3)，整理得2x +3y −18=0， 当k =2时，直线l 的方程为y −4=2(x −3)，整理得2x −y −2=0. 综上，直线l 的方程可能为2x +3y −18=0或2x −y −2=0 故选：BC ． 11、答案：BD分析：利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项的正误；取x 2=0，y 2≠0且z 2≠0可判断B 选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C 选项的正误；求得|a ⃑|，可判断D 选项的正误. 对于A 选项，因为a ⃑⊥b ⃑⃑，则a ⃑⋅b⃑⃑=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0，A 选项正确； 对于B 选项，若x 2=0，且y 2≠0，z 2≠0，若a ⃑//b ⃑⃑，但分式x 1x2无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos <a ⃑,b⃑⃑>=121212√x 1+y 1+z 1⋅√x 2+y 2+z 2，C 选项正确；对于D 选项，若x 1=y 1=z 1=1，则|a ⃑|=√12+12+12=√3，此时，a ⃑不是单位向量，D 选项错误. 故选：BD.小提示：本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题. 12、答案：−12分析：根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 解：如图，以AD,AB,AA 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0),C 1(1,1,2)，设P (x,y,0)，所以PA →=(−x,−y,0),PC 1→=(1−x,1−y,2)，所以PA →⋅PC 1→=−x (1−x )−y (1−y )=x 2+y 2−x −y =(x −12)2+(y −12)2−12， 所以当x =y =12时，PA →⋅PC 1→有最小值−12.所以答案是：−1213、答案：10分析：连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性将△ABF2的周长转化为|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，所以当|AB|取最小值时，周长最小解：椭圆的方程为x29+y24=1，∴2a=6，2b=4，c=√5，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得△ABF2的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，1=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10．所以答案是：10。
高中数学选修一综合测试题总结(重点)超详细(带答案)
高中数学选修一综合测试题总结(重点)超详细单选题1、已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为（ ） A ．√2a B ．√3a C ．√23a D ．√33a 答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB 1∥DC 1,D 1B 1∥DB ，AB 1∩D 1B 1=B 1，DC 1∩DB =D ， 易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)，则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D2、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.3、在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：C分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可. 当直线不存在斜率时，设为x =a ，由题意可知：|a −0|=2且|a −4|=3， 没有实数a 使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：y =kx +b ⇒kx −y +b =0， 点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有22=2(1)， 点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有22=3(2)，由(1)(2)得：b =8k +9或b =9−8k 5，当b =8k +9时，代入(1)中，得15k 2+24k +8=0，该方程的判别式Δ=242−4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根， 当b =9−8k 5时，代入(1)中，得9k 2−24k +16=0，该方程的判别式Δ=(−24)2−4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条，故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.4、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（ ） A ．3x −y −4√3=0B ．x −y −√3=0 C ．x +y −√3=0D ．x +y +√3=0 答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k =tan135°=−1， 所以直线方程为y +2√3=−(x −√3)，即x +y +√3=0， 故选：D5、如图，下列各正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为顶点，P 为所在棱的中点，则满足MN ∥OP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A6、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ）A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0.故选：A.7、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB:y-42-4=x-12-32-12，整理为x-y+72=0，原点O到直线距离为|7 2 |√1+17√24，故选：B8、若平面内两条平行线l1：x+(a−1)y+2=0，l2：ax+2y+1=0间的距离为3√55，则实数a=（）A．−2B．−2或1C．−1D．−1或2答案：C分析：根据平行关系得出a=2或a=−1，再由距离公式得出a=−1满足条件.∵l1//l2，∴a⋅(a−1)=2，解得a=2或a=−1当a=2时d=|2−1 2 |√2=3√24，当a=−1时d=√5=3√55故选：C多选题9、已知直线l1：x−y−1=0，动直线l2：(k+1)x+ky+k=0(k∈R)，则下列结论正确的是（）A．存在k，使得l2的倾斜角为90∘B．对任意的k，l1与l2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD分析：当k=0时可判断A；直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B；当k=−12时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D，进而可得正确选项.对于A：当k=0时，直线l2：x=0，此时直线l2的倾斜角为90∘，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点(0,−1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C ，当k =−12时，直线l 2为12x −12y −12=0，即x −y −1=0与l 1重合，故选项C 错误；对于D ，直线l 1的斜率为1，若l 2的斜率存在，则斜率为−k+1k≠−1，所以l 1与l 2不可能垂直，所以对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故选项D 不正确； 故选：ABD.10、已知F 为椭圆C ：x 24+y 22=1的左焦点，直线l ：y =kx(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A ．1|AF|+4|BF|的最小值为2B ．△ABE 面积的最大值为√2 C ．直线BE 的斜率为12k D ．∠PAB 为钝角答案：BC分析：A 项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A 项错误； B 项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k 的函数关系式，再求函数最值； C 项，由对称性，可设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)，则可得直线BE 的斜率与k 的关系； D 项，先由A 、B 对称且与点P 均在椭圆上，可得k PA ⋅k PB =−b 2a 2=−12，又由C 项可知k PB =k BE =12k ， 得k PA ⋅k AB =−1，即∠PAB =90°，排除D 项.对于A ，设椭圆C 的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′， 则四边形AF ′BF 为平行四边形， ∴|AF|+|BF| =|AF|+|AF ′|=2a =4， ∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94，当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A 错误；对于B ，由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2，∴|y A −y B |√1+2k 2，∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2，当且仅当k =±√22时等号成立，B 正确；对于C ，设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)， 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x0+x 0=12⋅ y 0x 0=12k ，C 正确；对于D ，设P(m,n)，直线PA 的斜率额为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02，又点P 和点A 在椭圆C 上，∴m 24+n 22=1①，x 024+y 022=1②，①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12，易知k PB =k BE =12k ，则k PA ⋅12k =−12，得k PA =−1k，∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1，∴∠PAB =90°，D 错误. 故选：BC.小提示：椭圆常用结论：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，若k PA ,k PB 都存在，则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 11、设椭圆C:x 24+y 2=1的的焦点为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =√32B ．|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为3C ．△PF 1F 2面积的最大值为2√3D ．|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为2 答案：AD分析：根据椭圆方程求出a 、b 、c ，即可判断A ，设P(x,y)根据二次函数的性质判断BD ，由S △PF 1F 2=12|y|⋅2c 判断C ； 解：因为椭圆C:x 24+y 2=1，所以a 2=4，b 2=1，所以a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3，所以F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，e =c a=√32，故A 正确；设P(x,y)，所以PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(√3−x,−y)，所以|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(x −√3)2+y 2=(x −√3)2+1−x 24=3x 24−2√3x +4=34(x −43√3)2，因为−2≤x ≤2，所以当x =−2时(|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2)max=7+4√3，即|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |max =2+√3，故B 错误；因为S △PF 1F 2=12|y|⋅2c =12|y|×2√3=√3|y|，又−1⩽y ⩽1，所以当y =±1时，即P 在短轴的顶点时△PF 1F 2面积的取得最大值，(S △PF 1F 2)max=√3×1=√3，故C 错误；对于D ：|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|PO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√x 2+y 2=2√3x 24+1，因为−2≤x ≤2，所以1≤3x 24+1≤4，所以2≤|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤4，故D 正确； 故选：AD 填空题12、已知平面直角坐标系中，A(−1,0),B(1,−1)，若A,B,C 是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点C 的坐标是___________. 答案：(√32,√3−12)分析：分别点A,B 为圆心，AB 为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点C ，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.解：如图，分别以点A,B 为圆心，AB 为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点C . 因为A(−1,0),B(1,−1)，|AB |=√(−1−1)2+1=√5所以以点A 为圆心，AB 为半径的圆的方程为(x +1)2+y 2=5； 以点B 为圆心，AB 为半径的圆的方程为(x −1)2+(y +1)2=5. 联立方程{(x +1)2+y 2=5(x −1)2+(y +1)2=5 ，解得x =±√32（负舍），y =√3−12 所以点C 的坐标是(√32,√3−12) 所以答案是：(√32,√3−12)13、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ，点A (4,0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案：√33##13√3分析：根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0)，直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0)， 显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直，当k ≠0时，PM ⊥PN ， 点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4（除点M ，N 外）上，当k =0时，点P(2,0), 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点M(−2,0)外），如图，观察图形知，点A 在圆O ：x 2+y 2=4(x ≠−2)外，当直线AP 与圆O 相切时，∠OAP 为锐角且最大，tan∠OAP最大，所以(tan∠OAP)max=√42−22=√33.所以答案是：√3314、已知函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，则常数k的取值范围是___________.答案：0≤k<√33分析：根据题意，函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，等价于y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.由函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，可知y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象相切时，√k2+1=1，即k=±√33，由图可知−k<0，故相切时k=√33，因此结合图象可知，当0≤k<√33时，y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点，即当0≤k<√33时，函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点.所以答案是：0≤k<√33.解答题15、设直线l的方程为(a+1)x+y−3+a=0（a∈R）.(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围.答案：(1)0或3(2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可；（2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0；若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0，∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ，则{−(a +1)≤03−a ≥0，解得−1≤a ≤3， ∴a 的取值范围是[−1,3].。
高中数学归纳推理综合测试题(含答案)
高中数学归纳推理综合测试题(含答案 )修 2-2 2.1.1 第 1推理一、1．对于推理，以下法正确的选项是()A．推理是一般到一般的推理B．推理是一般到个的推理C．推理的必定是正确的D．推理的是或然性的[答案] D[ 分析 ]推理是由特别到一般的推理，其的正确性不必定．故 D.2．以下推理是推理的是()A ．A ，B 定点，点P 足 |PA|＋ |PB|＝ 2a|AB| ，得 P 的迹B．由 a1＝ 1，an＝ 3n－ 1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 和 Sn 的表达式C．由 x2＋ y2＝ r2 的面 r2，猜出x2a2＋y2b2＝ 1 的面 S＝ abD．科学家利用的沉浮原理制造潜艇[答案]B[ 分析 ]由推理的定知 B 是推理，故 B. 3．数列 {an} ：2,5,11,20， x,47，⋯中的 x 等于 ()A．28B．32C．33D．27[答案]B[ 分析 ]因为5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜想x－ 20＝34,47－ x＝ 35，推知 x ＝32.故应选 B.4．在数列 {an} 中， a1＝0， an＋1＝2an＋2，则猜想an 是() A．2n－ 2－12B．2n－ 2C．2n－ 1＋1D ．2n＋ 1－4[答案]B[ 分析 ]∵a1＝0＝21－2，a2＝ 2a1＋ 2＝ 2＝ 22－ 2，a3＝ 2a2＋ 2＝ 4＋ 2＝ 6＝23－ 2，a4＝ 2a3＋ 2＝ 12＋ 2＝ 14＝ 24－ 2，猜想 an＝ 2n－ 2.故应选 B.5．某人为了观看2019 年奥运会，从2019 年起，每年 5 月10 日到银行存入 a 元按期积蓄，若年利率为p 且保持不变，并商定每年到期存款均自动转为新的一年按期，到2019 年将所有的存款及利息所有取回，可取回的的数(元 ) ()A．a(1＋p)7B．a(1＋ p)8C.ap[(1 ＋p)7－(1＋ p)]D.ap[(1 ＋p)8－(1＋ p)][答案] D[ 分析 ]到2019年5月10日存款及利息a(1＋p)．到 2019 年 5 月 10 日存款及利息a(1＋p)(1＋ p)＋ a(1＋ p)＝a[(1＋ p)2＋ (1＋p)] 到 2019 年 5 月 10 日存款及利息a[(1＋ p)2＋ (1＋ p)](1 ＋p)＋ a(1＋ p)＝a[(1 ＋ p)3＋ (1＋ p)2＋ (1＋ p)]因此到 2019 年 5 月 10 日存款及利息a[(1＋ p)7＋ (1＋ p)6＋⋯＋ (1＋ p)]＝a(1＋ p)[1 － (1＋ p)7]1 －(1＋ p)＝a p[(1 ＋p)8－ (1＋ p)] ．故 D.6．已知数列 {an} 的前 n 和 Sn＝ n2an(n2)，而 a1＝ 1，通算 a2， a3， a4，猜想 an 等于 ()A.2(n ＋ 1)2B.2n(n ＋ 1)C.22n－1D.22n －1[答案]B[ 分析 ]因为Sn＝n2an，a1＝1，因此 S2＝ 4a2＝ a1＋a2a2＝13＝ 232，S3＝ 9a3＝ a1＋ a2＋ a3a3＝ a1＋a28＝16＝ 243，S4＝ 16a4＝ a1＋a2＋ a3＋a4a4＝ a1＋ a2＋a315＝ 110＝ 254.因此猜想 an＝ 2n(n＋ 1)，故应选 B.7． n 个连续自然数按规律摆列下表：依据规律，从2019 到 2019 箭头的方向挨次为()A ．B．C．D ．[答案] C[ 分析 ]察看特例的规律知：地点同样的数字都是以 4 为公差的等差数列，由234 可知从 2019 到 2019 为，故应选 C. 8． (2019 山东文， 10)察看 (x2) ＝ 2x ，(x4) ＝ 4x3 ，(cosx) ＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数 f(x) 知足 f( －x) ＝f(x) ，记 g(x) 为 f(x) 的导函数，则g(－ x)＝ ()A ．f(x)B．－ f(x)C．g(x)D ．－ g(x)[答案] D[ 分析 ]本考了推理明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求后都成了奇函数，g(－x) ＝－ g(x) ， D，体了学生察能力，归纳推理的能力的考．9．依据出的数塔猜1234569＋ 7 等于 ()19＋ 2＝11129＋ 3＝1111239＋ 4＝ 111112349＋5＝ 11111123459＋6＝ 111111A．1111110B．1111111C．1111112D ．1111113[答案]B[ 分析 ]依据律7 个 1，故 B.10．把 1、3、6、 10、15、 21、⋯些数叫做三角形数，是因些数量的点子能够排成一个正三角形(以下 )，求第七个三角形数是()A ．27B．28C．29D．30[答案 ]B[分析 ]察可知第n 个三角形数共有点数： 1＋2＋3＋4＋⋯＋n＝ n(n＋ 1)2 个，第七个三角形数7(7＋1)2＝ 28.二、填空11．察以下由火柴杆拼成的一列形中，第n 个形由 n 个正方形成：通察能够：第 4 个形中，火柴杆有________根；第 n 个形中，火柴杆有________ 根．[答案 ]13,3n＋1[分析 ]第一个形有 4 根，第 2 个形有 7 根，第 3 个形有 10 根，第 4 个形有 13 根⋯⋯猜想第 n 个形有3n ＋1 根．12．从 1＝12,2＋3＋ 4＝ 32,3＋4＋ 5＋ 6＋7＝ 52 中，可得一般律是 __________________ ．[ 答案 ] n＋(n＋1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2 [分析]第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n 个式子有 2n－ 1 个数相加，且第 n 个式子的第一个加数n，每数增添1，共有 2n－1 个数相加，故第 n 个式子：n＋ (n＋1)＋(n＋2)＋⋯＋ {n ＋ [(2n －1)－ 1]}＝(2n－1)2，即 n＋ (n＋1)＋(n ＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝(2n－1)2.13．察下中各正方形案，每条上有n(n2)个圈，每个案中圈的数是S，按此律推出S 与 n 的关系式________．[ 答案 ]S＝4(n－ 1)(n2)[ 分析 ]每条上有 2 个圈共有S＝ 4 个；每条上有3个圈，共有S＝ 8 个；每条上有 4 个圈，共有S ＝12 个．可每条上增添一个点，S 增添 4， S 与 n 的关系 S＝ 4(n－ 1)(n2) ．14． (2009 浙江理， 15) 察以下等式：C15＋ C55＝ 23－ 2，C19＋ C59＋ C99＝27＋ 23，C113＋ C513＋C913＋ C1313＝211－ 25，C117＋ C517＋C917＋ C1317＋C1717＝ 215＋ 27，由以上等式推到一个一般的：于 nN* ，C14n＋ 1＋ C54n＋1＋ C94n＋ 1＋⋯＋ C4n＋14n＋1＝ __________________.[ 答案 ]24n－1＋ (－ 1)n22n － 1[ 分析 ]本小主要考推理的能力等式右端第一指数3,7,11,15，⋯组成的数列通公式an＝4n－ 1，第二指数 1,3,5,7，⋯的通公式 bn＝ 2n－1，两中等号正、相出，右端＝ 24n－1＋(－ 1)n22n－1.三、解答15．在△ABC 中，不等式 1A＋1B＋1C 建立，在四形 ABCD 中，不等式 1A ＋ 1B＋ 1C＋ 1D 建立，在五形 ABCDE 中，不等式1A＋ 1B＋ 1C＋ 1D＋ 1E 建立，猜想在 n 形 A1A2⋯An 中，有怎的不等式建立？[ 分析 ] 依据已知特别的数：9、162、253，⋯，出一般性的律：n2(n －2)3)．在 n 形 A1A2⋯An 中： 1A1 ＋ 1A2 ＋⋯＋ 1Ann2(n － 2)3)．16．下中 (1)、 (2) 、(3)、 (4)四个平面．数一数每个平面各有多少个点？多少条？它成了多少个区域？并将果填入下表中．平面地区点数数地区数(1)(2)(3)(4)(1)察上表，推测一个平面形的点数、数、地区数之有什么关系？(2)现已知某个平面图有999 个极点，且围成了999 个地区，试依据以上关系确立这个平面图有多少条边？[ 分析 ]各平面图形的极点数、边数、地区数以下表：平面地区极点数边数地区数关系(1)3 3 2 3＋2－3＝2(2)8 12 6 8＋ 6－ 12＝2(3)6 9 5 6＋5－9＝2(4)10 15 7 10＋7－15＝2结论V E F V ＋F－E＝2推行999 E 999 E＝ 999＋999－ 2＝2019其极点数 V ，边数 E，平面地区数 F 知足关系式V ＋F－ E＝2.故可猜想此平面图可能有2019 条边．17．在一容器内装有浓度为r%的溶液 a 升，注入浓度为p%的溶液 14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是 p%)，计算 b1、b2、 b3，并归纳出bn 的计算公式．[ 分析 ] b1＝ ar100＋ a4p100a＋ a4＝ 110045r＋15p，b2＝ab1＋ a4p100a＋ a4＝ 1100452r＋15p＋ 452p.b3＝ ab2＋ a4p100a＋ a4＝1100453r＋15p＋ 452p＋ 4253P，得 bn＝110045nr＋ 15p＋ 452p＋⋯＋ 4n－15nP.18． f(n) ＝n2＋ n＋41， nN＋，算f(1) ， f(2) ，f(3) ，⋯，f(10) 的，同作出推理，并用n＝ 40 猜想能否正确．[ 分析 ] f(1) ＝ 12＋ 1＋ 41＝43， f(2) ＝ 22＋ 2＋ 41＝47，f(3)＝32＋ 3＋ 41＝53， f(4)＝42＋ 4＋41＝ 61，f(5)＝52＋ 5＋ 41＝71， f(6)＝62＋ 6＋41＝ 83，f(7)＝72＋ 7＋ 41＝97， f(8)＝82＋ 8＋41＝ 113，f(9)＝92＋ 9＋ 41＝131， f(10) ＝ 102＋10＋ 41＝151.因为 43、 47、53、 61、 71、 83、 97、 113、 131、151 都数．要，得看。
高中数学试题归纳及答案
高中数学试题归纳及答案一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(1)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第5项a5的值。
A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 计算三角函数sin(π/6)的值。
A. 1/2B. √3/2C. 1/√2D. √2/2答案：A4. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，求双曲线的离心率e。
A. √2B. √5C. 2D. 5答案：B5. 求函数y=|x|+|x-1|的值域。
A. [0, +∞)B. [1, +∞)C. [2, +∞)D. [3, +∞)答案：B二、填空题6. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，求向量a与向量b的数量积。
答案：107. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆心坐标和半径。
答案：圆心坐标(2, -1)，半径38. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
答案：1/39. 已知直线l的方程为y=2x+1，求直线l与x轴的交点坐标。
答案：(-1/2, 0)10. 已知抛物线y=x^2-4x+3与x轴的交点为A和B，求线段AB的长度。
答案：4三、解答题11. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将第一个方程乘以2，得到2x + 2y = 10，然后将第二个方程加到这个结果上，得到4x = 11，解得x = 11/4。
将x的值代入第一个方程，得到y = 5 - 11/4 = 9/4。
所以方程组的解为： \[\begin{cases}x = \frac{11}{4} \\y = \frac{9}{4}\end{cases}\]12. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求导数f'(x)，并求f'(1)的值。
高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳完整版单选题1、设圆C1:x2+y2−2x+4y=4，圆C2:x2+y2+6x−8y=0，则圆C1，C2的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C1:(x−1)2+(y+2)2=32，圆心C1(1,−2)，圆C2:(x+3)2+(y−4)2=52，圆心C2(−3,4)，∴5−3<|C1C2|=2√13<5+3，∴C1与C2相交，有2条公切线．故选：B．2、经过点(－√2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（）(x－2)B．y＋2＝√3(x－√2)A．y＋√2=√33(x＋√2)D．y－2＝√3(x＋√2)C．y－2=√33答案：C分析：根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.，直线的斜率k=tan30°=√33(x＋√2)，由直线的点斜式方程可得y－2＝√33故选：C．3、已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2−6x−8y+9=0，这两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.由题意得，圆C1圆心(0,0)，半径为7；圆C2:(x−3)2+(y−4)2=16，圆心(3,4)，半径为4，两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.4、直线y =k (x −1)+2恒过定点（ ） A ．(−1,2)B ．(1,2) C ．(2,−1)D ．(2,1) 答案：B分析：由x =1时，y =2可得到定点坐标.当x −1=0，即x =1时，y =2，∴直线y =k (x −1)+2恒过定点(1,2). 故选：B.5、已知圆C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:(x +32)2+(y −32)2=112，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．4B ．2√2C ．2D ．1 答案：C分析：先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.由题意知C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:x 2+y 2+3x −3y −1=0，将两圆的方程相减，得x +y −3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x +y −3=0.又因为圆C 1的圆心为(−2,1)，半径r =3，所以圆C 1的圆心到直线x +y −3=0的距离d =√2=2√2.所以这两圆的公共弦的弦长为2√r 2−d 2=2√32−(2√2)2=2. 故选：C.6、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.7、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB :y -42-4=x -12-32-12，整理为x -y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+17√24，故选：B8、若平面内两条平行线l 1：x +(a −1)y +2=0，l 2：ax +2y +1=0间的距离为3√55，则实数a =（ ）A ．−2B ．−2或1C ．−1D ．−1或2 答案：C分析：根据平行关系得出a =2或a =−1，再由距离公式得出a =−1满足条件. ∵l 1//l 2，∴a ⋅(a −1)=2，解得a =2或a =−1 当a =2时d =|2−12|√2=3√24，当a =−1时d =√5=3√55故选：C 多选题9、(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（ ） A ．－163B ．－1C ．1D ．163 答案：AC分析：由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值 解：由{x −2y =12x +ky =3，得{x =6+k4+ky =14+k ，所以三条直线的交点为(6+k4+k ,14+k )，所以3k ⋅6+k4+k +4⋅14+k =5，化简得3k 2+13k −16=0， 解得k =1或k =−163，故选：AC10、已知直线l 经过点P(3,1)，且被两条平行直线l 1：x +y +1=0和l 2：x +y +6=0截得的线段长为5，则直线l 的方程为（ ） A ．x =2B ．x =3 C ．y =1D ．y =2 答案：BC分析：先分析当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，符合题意；再分析直线l 的斜率存在时，先求出A,B 的坐标，解方程(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52求出k 的值，综合即得解.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3， 此时与l 1、l 2的交点分别为A(3,−4)，B(3,−9)， 截得的线段AB 的长|AB|=|−4+9|=5，符合题意， 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x −3)+1， 解{y =k(x −3)+1x +y +1=0 得A(3k−2k+1,−4k−1k+1)，解{y =k(x −3)+1x +y +6=0 得B(3k−7k+1,−9k−1k+1)，由|AB|=5，得(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52，解得k =0，即所求的直线方程为y =1，综上可知，所求直线l 的方程为x =3或y =1， 故选：BC.11、已知圆O ：x 2+y 2=4和圆M ：x 2+y 2+4x −2y +1=0相交于A ，B 两点，下列说法正确的是（ ） A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段AB 的长为√112D ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则|EF |的最大值为4+√5 答案：ABD解析：写出两圆的圆心与半径判断两圆的位置关系可知A 正确，利用圆的方程求直线的方程，由圆心与直线关系可判断B ，利用圆的弦的性质可判断C ，根据圆上两点最大距离判断D. 圆O ：x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径r =2，圆M ：x 2+y 2+4x −2y +1=0，即(x +2)2+(y −1)2=4，其圆心为(−2,1)，半径R =2, 所以0=R −r <|OM|=√5<R +r =4,两圆相交， 对于A ，因为圆O 与圆M 相交，所以有两条公切线，A 正确；对于B，两圆方程相减得4x−2y+5=0，即直线AB的方程为4x−2y+5=0，因为圆心O(0,0)与圆心M(−2,1)关于直线AB对称，且两圆半径相等，所以B正确；对于C，由B的结论可知，|AB|=2√R2−(OM2)2=2√4−54=√11，故C错误；对于D，E，F分别是圆O和圆M上的点，则|EF|的最大值为|MO|+r+R=√5+4，故D正确，故选：ABD小提示：关键点点睛：由圆的位置关系可知圆的公切线的条数，由两圆的方程可求公共弦所在直线方程，根据圆心关于直线对称可判断圆的对称性，利用半径，半弦长，弦心距的关系求弦长都要熟练掌握，灵活运用. 填空题12、设a∈R，若直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，则直线l的斜率是___________.答案：1分析：利用直线的斜率公式求解.解：因为直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，所以直线l的斜率是k=3−2a+1−a=1，所以答案是：113、已知平面直角坐标系中，A(−1,0),B(1,−1)，若A,B,C是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点C的坐标是___________.答案：(√32,√3−12)分析：分别点A,B为圆心，AB为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点C，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.解：如图，分别以点A,B为圆心，AB为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点C.因为A(−1,0),B(1,−1)，|AB|=√(−1−1)2+1=√5所以以点A为圆心，AB为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=5；以点B为圆心，AB为半径的圆的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.联立方程{(x+1)2+y2=5(x−1)2+(y+1)2=5，解得x=±√32（负舍），y=√3−12所以点C 的坐标是(√32,√3−12) 所以答案是：(√32,√3−12)14、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ，点A (4,0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案：√33##13√3分析：根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0)，直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0)， 显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直，当k ≠0时，PM ⊥PN ， 点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4（除点M ，N 外）上，当k =0时，点P(2,0), 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点M(−2,0)外），如图，观察图形知，点A在圆O：x2+y2=4(x≠−2)外，当直线AP与圆O相切时，∠OAP为锐角且最大，tan∠OAP最大，所以(tan∠OAP)max=√42−22=√33.所以答案是：√33解答题15、已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,−2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．答案：（1）x25+y24=1；（2）[−3,−1)∪(1,3]．分析：（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a,b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，求出直线AB,AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得|PM|+|PN|，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM|+|PN|，从而可求k的范围，注意判别式的要求.（1）因为椭圆过A(0,−2)，故b=2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a×2b=4√5，即a=√5，故椭圆的标准方程为：x25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.。
高中数学题型总结160题
高中数学题型总结160题数学作为一门重要的学科，对于高中生来说是必修课程。
在学习数学的过程中，我们会遇到各种各样的题型，这些题型既有基础的知识点，也有一些较为复杂的问题。
为了帮助同学们更好地掌握数学知识，我将对高中数学常见的题型进行总结，共计160题，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、代数题型。
1. 解方程，2x + 3 = 7。
2. 解不等式，5x 2 < 13。
3. 因式分解，x^2 + 5x + 6。
4. 多项式运算，(3x + 4)(2x 1)。
5. 求根式，√(x^2 + 4x + 4)。
6. 求导数，y = 3x^2 + 4x + 2。
7. 求积分，∫(2x + 3)dx。
二、几何题型。
1. 直线与平面的交点计算。
2. 圆的面积和周长的计算。
3. 三角形的内角和。
4. 空间几何体的体积和表面积。
5. 相似三角形的性质。
6. 圆锥曲线的图像和性质。
三、概率题型。
1. 抛硬币的概率计算。
2. 掷骰子的概率计算。
3. 事件的互斥和独立性。
4. 条件概率的计算。
5. 随机变量的期望和方差。
四、函数题型。
1. 函数的定义域和值域。
2. 函数的奇偶性和周期性。
3. 函数的极限计算。
4. 函数的图像和性质。
5. 复合函数的求导和积分。
五、数列题型。
1. 等差数列的通项公式。
2. 等比数列的通项公式。
3. 数列的前n项和。
4. 数列的极限计算。
5. 数列的应用题分析。
通过以上的题型总结，我们可以看到高中数学题目涵盖了代数、几何、概率、函数和数列等多个方面，涉及的知识点也十分广泛。
在学习数学的过程中，我们要注重基础知识的掌握，同时也要注重题型的练习和应用能力的培养。
希望同学们能够通过不断的练习和总结，掌握数学知识，提高解题能力，取得更好的成绩。
总结160道高中数学题目，旨在帮助同学们更好地掌握数学知识，提高解题能力。
希望同学们能够认真对待每一道题目，不断总结经验，不断提高自己的数学水平。
相信通过努力和坚持，大家一定能够取得优异的成绩，实现自己的学习目标。
高中数学选修二综合测试题必须掌握的典型题(带答案)
高中数学选修二综合测试题必须掌握的典型题单选题1、函数f(x)=2x 2−lnx 的单调减区间是（ ） A ．(−∞，12)B ．(0，12)C ．(−∞，−12)和(0，12)D ．(12，+∞)答案：B分析：根据函数求导，然后由f ′(x)<0求解. 因为函数f(x)=2x 2−lnx ， 所以f ′(x)=4x −1x=4x 2−1x=4(x−12)(x+12)x，由f ′(x)<0，解得0<x <12， 所以函数的单调递减区间是(0,12)， 故选：B2、函数y =f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f(3)−f(2)B ．0<f ′(2)<f(3)−f(2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f(3)−f(2)<f ′(2)D ．0<f(3)−f(2)<f ′(2)<f ′(3) 答案：C分析：根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解. 如图所示，根据导数的几何意义，可得f ′(2)表示切线l 1斜率k 1>0，f ′(3)表示切线l 3斜率k 3>0， 又由平均变化率的定义，可得f(3)−f(2)3−2=f(3)−f(2)，表示割线l 2的斜率k 2，结合图象，可得0<k 3<k 2<k 1，即0<f ′(3)<f(3)−f(2)<f ′(2). 故选：C.3、已知函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f ′(x )在区间(a,b)上的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a,b)上的极大值点的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：B分析：通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值个数.极大值点在导函数f ′(x )的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个. 故选:B.4、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（ ） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n项积与通项的关系可求得结果.由已知可得a3=a1a2a3a1a2=3222=94.故选：C.5、下列求导运算正确的是（）A．(lnx+3x )′=1x+3x2B．(xe x)′=1−xe xC．(3x cos2x)′=3x(ln3⋅cos2x+2sin2x)D．(ln2+log2x)′=2+11−ln2答案：B分析：根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．选项A，(lnx+3x )′=1x−3x2，故A错；选项B，(xe x )′=x′e x−x(e x)′(e x)2=1−xe x，故B正确；选项C，(3x cos2x)′=(3x)′cos2x+3x(cos2x)′=3x ln3cos2x−2⋅3x sin2x=3x(ln3⋅cos2x−2sin2x)，故C错；选项D，(ln2+log2x)′=1xln2，故D错.故选：B.6、设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则（）A．a<b B．a>b C．ab<a2D．ab>a2答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.若a=b，则f(x)=a(x−a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.∴f(x)有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x=a左右附近都是小于零的.当a<0时，由x>b，f(x)≤0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f (x )>0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2. 综上所述，ab >a 2成立. 故选：D小提示：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 7、若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12答案：D分析：根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0，函数y =√x 的导数为y ′=2√x，则直线l 的斜率k =2√x 0，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x 0−x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则√1+4x =√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为x −2y +1=0，即y =12x +12. 故选：D.小提示：本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 8、下列说法正确的是（ ）．A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处无切线D ．若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在 答案：D分析：结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A 、B 、C 、D ；进而可得正确选项. 对于A ：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线y =x 3+1在(−12,78)处的切线为：y −78=3×(−12)2(x +12)，即3x −4y +5=0，切线与y =x 3+1另一个交点为(1,2)， 故选项A 说法错误；对于B ：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如y =x 3与y =3x −2相切于点(1,1)，同时经过另一点(a,b )，可以说过点(a,b )的直线y =3x −2与曲线y =x 3相切，但切点是(1,1)不是(a,b )，故选项B 不正确；对于C ：若f ′(x 0)不存在，曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处可以有切线，如y =√x 在x =0时，f ′(0)不存在，但有切线x =0，故选项C 错误；对于D ：由曲线在一点处有平行于y 轴的切线，且在该点处不连续，则f ′(x 0)不一定存在，如y =√x 在x =0时，有切线x =0，但f ′(0)不存在，故选项D 正确，故选：D．多选题9、已知函数f(x)=(x2−3)e x，现给出下列结论，其中正确的是（）A．函数f(x)有极小值，但无最小值B．函数f(x)有极大值，但无最大值C．若方程f(x)=b恰有一个实数根，则b>6e−3D．若方程f(x)=b恰有三个不同实数根，则0<b<6e−3答案：BD分析：先求导，根据导数和函数单调性的关系，以及极值和最值的关系即可判断．解：由题意得f′(x)=(x2+2x−3)e x．令f′(x)=0，即(x2+2x−3)e x=0，解得x=1或x=−3．则当x<−3或x>1时，f′(x)>0，函数在(−∞,−3)和(1,+∞)上单调递增；当−3<x<1时，f′(x)<0，函数在(−3,1)上单调递减．所以函数在x=−3处取得极大值f(−3)=6e−3，在x=1处取得极小值f(1)=−2e．又x→−∞时，f(x)→0；x→+∞时f(x)→+∞．作出函数f(x)=(x2−3)e x的大致图象如下图所示：因此f(x)有极小值f(1)，也有最小值f(1)，有极大值f(−3)，但无最大值．若方程f(x)=b恰有一个实数根，则b>6e−3或b=−2e；若方程f(x)=b恰有三个不同实数根，则0<b<6e−3．故选：BD10、无穷数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c，其中a，b，c为实数，则（）A ．{a n }可能为等差数列B ．{a n }可能为等比数列C ．{a n }中一定存在连续三项构成等差数列D ．{a n }中一定存在连续三项构成等比数列 答案：ABC解析：由S n =an 2+bn +c 可求得a n 的表达式，利用定义判定得出答案． 当n =1时，a 1=S 1=a +b +c ．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=an 2+bn +c −a (n −1)2−b (n −1)−c =2an −a +b ． 当n =1时，上式＝a +b ．所以若{a n }是等差数列，则a +b =a +b +c ∴c =0.所以当c =0时，{a n }是等差数列， {a =c =0b ≠0时是等比数列；当c ≠0时，{a n }从第二项开始是等差数列．故选：A B C小提示：本题只要考查等差数列前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，利用S n 求通项公式，属于基础题． 11、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，则下列命题正确的是（ ） A ．当x >0时，f(x)=−e −x (x −1) B ．函数f (x )有3个零点C ．f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，都有|f (x 1)−f (x 2)|<2 答案：BCD分析：由函数的奇偶性求出x >0时的解析式，可判断选项A ；利用方程根与函数零点的关系，可判断选项B ；利用导数得出函数的图象可判断选项C ；根据函数的最值可判断选项D ． 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，设x >0时，−x <0，f(−x)=e −x (−x +1)，∴f(x)=−f(−x)=e −x (x −1)， x =0时，f(0)=0．因此函数f(x)有三个零点：0，±1．当x <0时，f(x)=e x (x +1)，f ′(x)=e x (x +2)，可得x =−2时，函数f(x)取得极小值，f(−2)=−1e2．可得其图象：f(x)<0时的解集为：(−∞,−1)∪(0,1)．∀x1, x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|≤|f(0+)−f(0−)|<2．因此BCD都正确．故选：BCD．小提示：关键点点睛：本题考查函数的性质，考查奇偶性的应用，考查函数的零点，考查函数的图象，解决本题的关键点是利用导数判断出函数的单调性和极值，画出函数的图象，根据函数的性质解决问题，考查学生数形结合能力与计算能力，属于基础题．填空题12、我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列{n(n+1)2}就是二阶等差数列，数列{n(n+1)2}(n∈N∗)的前3项和是________．答案：10分析：根据通项公式可求出数列{a n}的前三项，即可求出．因为a n=n(n+1)2，所以a1=1,a2=3,a3=6．即S3=a1+a2+a3=1+3+6=10．所以答案是：10.小提示：本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．13、已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n−5，那么它的通项公式是___________.答案：a n={−2,n=14n−1,n≥2分析：利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解即可解：当n =1时，a 1=S 1=2+1−5=−2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(2n 2+n −5)−[2(n −1)2+(n −1)−5]=4n −1， 且当n =1时，4n −1=4−1=3≠−2，据此可得，数列的通项公式为：a n ={−2,n =14n −1,n ≥2.所以答案是：a n ={−2,n =14n −1,n ≥2.14、函数f(x)=13x 2−lnx 的单调减区间为__________． 答案：(0,√62) 分析：求导，利用导数求单调区间，注意原函数的定义域. ∵f(x)=13x 2−lnx (x >0)，则f ′(x)=23x −1x=2x 2−33x(x >0)令f ′(x)<0，则0<x <√62∴函数f(x)的单调减区间为(0,√62) 所以答案是：(0,√62). 解答题15、已知数列{a n }的首项a 1=35，a n+1=3a n2a n +1．(1)求证：数列{1a n−1}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m −1，a s −1，a n −1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 答案：(1)证明见解析 (2)a n =3n3n +2(3)不存在，理由见解析分析：（1）由a n+1=3a n2a n +1两边取倒数，再减去1得到1a n+1−1=13(1a n−1)，再计算1a 1−1=23，故证得结论；（2）由（1）知{1a n−1}的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得a n =3n3n +2；（3）先假设存在，则则m +n =2s ，(a m −1)⋅(a n −1)=(a s −1)2，将a n =3n3n +2代入化简得到3m +3n =2⋅3s ，利用基本不等式推得矛盾，故假设不成立，即不存在. （1） 因为1a n+1=2a n +13a n =23+13a n，所以1an+1−1=13a n−13，即1a n+1−1=13(1a n−1)，且1a 1−1=23，所以数列{1a n−1}是首项为23，公比为13的等比数列．（2） 由（1）可求得1a n−1=23×(13)n−1，所以1a n=2×(13)n+1，即a n =3n3n +2．（3）假设存在，则m +n =2s ，(a m −1)⋅(a n −1)=(a s −1)2， 即(3n3n +2−1)⋅(3m3m +2−1)=(3s3s +2−1)2，化简得3m +3n =2⋅3s ．因为3m +3n ≥2⋅√3m+n =2⋅3s ，当且仅当m =n 时等号成立． 又因为m ，n ，s 互不相等，所以不存在．。
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高中数学复习综合测试题_题型归纳
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.
1.设集合，，则下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C.? D.?
3.曲线所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.
4.根据下列三视图(如下图所示)，则它的体积是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象如图所示，为了得到的图像，可以将的图像( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
6.已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。
若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于( )
A. B.
C. D.
7.右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是( )
A. B.
C. D.
8. 展开式最高次项的系数等于( )
A.1
B.
C. D.2010
9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线C的离心率等于()
A. B. 或2 C. 2 D.
10.随机事件A和B，“ 成立”是“事件A和事件B对立”的( )条件( )
A.充要
B.充分不必要
C.必要不充分
D.即不充分也不必要
11.函数的图象大致是( )
12.已知x，y满足不等式组的最小值为( )
A. B.2 C.3 D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13.已知函数，若f(x) 恒成立，则a的取值范围是;
14.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为;
15.在ⅡABC和ⅡAEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于;
16.下列说法：
①“ ”的否定是“ ”;
②函数的最小正周期是
③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题,高中生物;
④ 上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为其中正确的说法是。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知向量，，且
(1)求的取值范围;
(2)求函数的最小值，并求此时x的值
18.(本小题满分12分)
已知等差数列满足：，，的前n项和为.
(Ⅱ)求及;
(Ⅱ)令bn= ( )，求数列的前n项和。
19.(本小题满分12分)
一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点。
(1)画出该四棱锥的直观图，并指出几何体的主要特征(高、底等).
(2)点在何处时，面EBD，并求出此时二面角平面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
2011年深圳大运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D 两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。
假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：
甲系列：
动作K D
得分100 80 40 10
概率
乙系列：
动作K D
得分90 50 20 0
概率
现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。
(I)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率;
(II)若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX。
21.(本小题满分12分)
已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
3 2 4
0 4
(Ⅱ)求的标准方程;
(Ⅱ)请问是否存在直线满足条件：①过的焦点;②与交不同两点且满足?若存在，求出
直线的方程;若不存在，说明理由。
22.(本小题满分14分) 已知函数，且函数是上的增函数。
(1)求的取值范围;
(2)若对任意的，都有(e是自然对数的底)，求满足条件的最大整数的值。
参考答案
一.选择题
1.B;
2.B;
3.B;
4.D;
5.B;
6.C;
7.C;
8.B;
9.A;10.C; 11.D;12.D;
二.填空题
13.(-∞，3);14. ;15. ;16.①④;
三.解答题
17.解析：(1)ⅡⅡ
Ⅱ0≤ ≤24分
(2)ⅡⅡ;…………6分
Ⅱ
………………10分
Ⅱ当，即或时，取最小值-。
……………………12分
18.解析：(Ⅱ)设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以; = = 。
………………6分
(Ⅱ)由(Ⅱ)知，所以bn= = = ，
所以= = ，
即数列的前n项和= 。
……………12分
19.解析：(1)直观图如下：
………………3分
该四棱锥底面为菱形，边长为2，其中角A为60度，顶点A在底面内的射影为底面菱形的中心，四棱锥高为1。
………………4分
(2)如图所示建立空间直角坐标系：
显然A 、B 、P .
令，得：、.
显然，
当.
所以当时，面BDE。
………………8分
分别令和为平面PBC和平面ABE的法向量，
由，得
由，得
可得：，
显然二面角平面角为钝角，得其余弦值为。
…………12分
20.解析：(I)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列.……1分
理由如下：选择甲系列最高得分为100+40=140>118，可能获得第一名;而选择乙系列最高得分为90+20=110记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”
为事件B，则P (A)= ，P (B)= . …………4分
记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得
P (C)=P (AB)+ = = .
该运动员获得第一名的概率为.…………6分
(II)若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50，70，90，110，…………7分
则P (X=50)= = ，
P (X=70)= = ，P (X=90)= = ，
P (X=110)= = . …………9分
X的分布列为：
X 50 70 90 110
P
Ⅱ =50× +70× +90× +110× =104. ……12分
21.解析：(Ⅱ)设抛物线，则有，据此验证个点知(3，)、(4，4)在抛物线上，易求 (2)
分
设：，把点( 2，0)( ，)代入得：
解得
Ⅱ 方程为………………………………………………………………5分
(Ⅱ)法一：
假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，
由消去，得…………………………7分
Ⅱ ①
② ………………………9分
由，即，得
将①②代入(*)式，得，解得…………………11分
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或…………………………………………………………………………………12分
法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意;……………………………6分
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为
由消掉，得，…………8分
于是，①
即② ………………………………10分
由，即，得
将①、②代入(*)式，得，解得;……11分
所以存在直线满足条件，且的方程为：或.………12分
22.解析：(1)设，所以，得到.所以的取值范围为………2分
(2)令，因为是上的增函数，且，所以是上的增函数。
…………………………4分
由条件得到(两边取自然对数)，猜测最大整数，现在证明对任意恒成立。
…………6分
等价于，………………8分
设，
当时，，当时，，
所以对任意的都有，即对任意恒成立，
所以整数的最大值为2.……………………………………………………14分
一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少要经过_________小时才能开车.。