函授本科数学专业(参考标准答案)

函授本科数学专业(参考答案)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

2

专业名称

数学

年级、班级

2010级

学号

姓名

（第3页，共10页）

（第4页，共10页） 函授本科数学专业 《泛函分析》考试试题A 卷（120分钟）

题 号

一 二 三 四 五 合分

题 分

20 20 20 20 20 得 分

复查人

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、下列各式正确的是（ C ）

（A ）1lim n k n n k n

A A ∞∞→∞===⋃⋂; （

B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃; （

C ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋂⋃; （

D ）1lim n k n k n n A A ∞∞

==→∞=⋂⋂; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ）

（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο

3、下列说法不正确的是（ B ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测 （B ）可测集的任何子集都可测

(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测

4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A )

（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数

（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）

(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数

（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b

a a f

b f dx x f )()()('

得 分

评卷人

（第5页，共10页）

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=( φ )

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =（[0，1]）,o

E =（φ）,E = （[0，1]）. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有（***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂），

则称E 是L 可测的。

4、)(x f 可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使

（11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭

∑成一有界数集。）,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,

则举反例说明.(5分×4=20分)

1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

错误……………………………………………………2分

例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密 ………………………..5分

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集

……………………….5分

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

得 分 评卷人 得 分 评卷人

（第6页，共10页）

错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;(),,;

x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩ 则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0E

f x >⎰ 错误…………………………………………………………2分

0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =⎰…5分

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩

为无理数为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分 因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]120,101()3

f x dx x dx ==⎰

⎰…8分

2、（8分）求0ln()lim cos x n x n e xdx n

∞

-+⎰ 解：设ln()()cos x n x n f x e x n

-+=，则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分