机器人学基础_第3章机器人运动学

移动连杆坐标系的建立
移动连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴
动到使其原点与连杆i坐标系原点重合的地方。 • (4) 绕Xi旋转αi角，使Zi–1转到与Zi同一直线上。 • 连杆i–1的坐标系经过上述变换与连杆i的坐标系
重合。如果把表示相邻连杆相对空间关系的矩阵 称为A矩阵，那么根据上述变换步骤，从连杆i到 连杆i–1的坐标变换矩阵Ai为
•
(3.13)
• 同理，对联轴器的齐次坐标变换矩阵有 •
• 手部的位置矢量为固定参考系原点指向手 部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢 量为n、o、a。于是手部的位姿可用4 4 矩阵表示为
•
•
nX oX a X PX
T
nY
oY
aY
PY
nZ 0
oz 0
aZ 0
PZ 1
• 思考：
• ①说明位姿矩阵的左上角3×3矩阵的几何 意义。
• ②分别说明n, o, a, P的几何意义。
a1 = l 1 =100
a2 = l 2 =100
旧课复习与总结
转动连杆坐标系的建立
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂
轴的交点；
移动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
再看移动连杆参数的含义
• 由于移动连杆的OiZi轴线平行于移动关节轴 线移动， OiZi在空间的位置是变化的，因而 ai参数无意义。连杆i的长度在坐标系{i-1} 中考虑， 故参数ai=0 。原点Oi的零位与Oi-1 重合，此时移动连杆的变量di=0 。
线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴
线的公垂线与关节i+1轴线的交点；
移动连杆坐标系的建立
移动连杆前的相邻连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi-1：过原点Oi且平行于移动关节i的轴线； • 坐标轴Xi-1：沿移动关节i-1轴线与Zi-1轴线的公垂
线,指向Zi-1轴线； • 坐标轴Yi-1：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi-1：关节轴线i-1和Zi-1轴的公垂线与Zi-1
一个连杆两端各有一转动轴线，每个连杆两端的 轴线各有一条法线，分别为前、后相邻的公共法 线，该二法线的距离即为di。di称为连杆长度， αi为连杆扭角，di为两连杆距离，θi为两连杆夹 角。
• 另有一种特殊情况，即连杆i的两端轴线平行。在 这种情况下，由于两平行轴线的公垂线存在多值， 故无法确定连杆i的坐标系原点。这时，连杆i的坐 标系原点由di + 1确定。
•
•
(3.14)
• 以上两式分别为在D-H坐标系中，转动关节及平动关节坐标与其前一 个关节坐标的齐次坐标变换矩阵。
机器人运动学
• 机器人运动学概述 • 工业机器人运动学涉及到机器人手臂(机械手)相对于固
定参考坐标系原点几何关系的分析研究，特别机器人手臂 末端执行器位置和姿态与关节空间变量之间的关系。这里 讨论机器人运动学的两个具有理论和实际意义的基本问题： • 1) 对一给定的工业机器人运动模型，己知杆件几何参 数和关节角矢量θ1，θ2，．．．，θ，其中n自由度数， 求机械手末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。 • 2) 已知机器人关键的几何参数，给定机械手末端执行 器相对于参考坐标系的期望位姿，机械手能否使其末端执 行器达到这个预期的位姿。如能达到，机械手有几种不同 的状态可满足同样的条件。 • 第一个问题常称为运动学正问题(直接问题)，第二个问 题常称为运动学逆问题(解臂形问题)。由于机器人手臂的 独立变量是关节变量，而作业通常是在参考坐标系中说明 的，因此要较频繁地用到运动学逆问题。表示两种问题关 系地简单方框图如图1所示。
3.1.2 RPY角和欧拉角
(一)RPY角
RPY角是描述船舶在海中 航行时姿态的一种方法。将船
的行驶方向取为Z轴，则绕Z轴 的旋转(α角)称为滚动(Roll)； 把绕Y轴的旋转(β角)称为俯仰 (Pitch)；而把垂直方向取为X 轴，将绕X轴的旋转(γ角)称为 偏转(Yaw)，如右图3-3所示。 操作臂手爪姿态的规定方法类
3-3滚动、俯仰、偏转
似(如图3-4)，故习惯上称为
RPY角方法。
3-4 机器人手的滚动、俯仰、偏转
这种描述活动坐标系方位的法则 如下：
活动系的初始方位与固定坐 标系重合，首先将活动系绕固定 坐标系的X轴旋转γ角，再绕固定 坐标系的Y轴转β角，最后绕固 定坐标系的Z轴转α角，如图3-2 所示。因为三次旋转都是相对于 固定坐标系的，所以得相应的旋 转矩阵：
• 答：①左上角3X3矩阵表示新坐标系在旧坐 标系中的旋转方向。
• ②左上角3X3矩阵中的各列表示新坐标系的 各坐标轴的单位矢量在旧坐标系的各坐标 轴上的投影；各行表示旧坐标系的各坐标 轴的单位矢量在新坐标系的各坐标轴上的 投影；P表示新坐标系相对旧坐标系的平移 量，其各分量表示平移后新坐标系在旧坐 标系中的矢量。
• 末端执行器上的坐标系依据夹持器(手爪)手指的运动方向 固定在末端执行器上。原点位于形心；Xn沿末端执行器 手指组成的平面的法向，故又被称为法线矢量；Yn垂直 于手指，称为姿态矢量。Zn的方向朝外指向目标，称为 接近矢量。
• 二、各坐标系的方位的确定 • 有两种方法用于确定各坐标系的方位： • D-H方法 • 这种方法由Denauit和Hartenbery于1956年提出，它
严格定义了每个坐标系的坐标轴，并对连杆和关节定义 了4个参数。 • 1) 转动关节的D-H坐标系 • 转动关节的D-H坐标系建立如图1.16所示。 • 连杆i的坐标系的Zi轴：沿着i + 1的转动关节轴线；
• Xi轴：沿着Zi–1和Zi的公垂线，指向离开Zi–1轴的方向；
• 坐标系的Yi轴由Xi和Zi确定。至此，连杆i的坐标系确立。
• A1A2A3…An–1An • 若有一个六连杆机器人，机器人末端执行器坐标系(即连
杆坐标系6)的坐标相对于连杆i–1坐标系的齐次变换矩阵， 用i–1T6表示，即 • i–1T6 = Ai Ai +1…A6 • 机器人末端执行器相对于机身坐标系的齐次变换矩阵为 • 0T6 = A1A2…A6 • 式中：0T6常写成T6。
• 3.1.3.2 连杆坐标系间的变换矩阵 • 一、连杆坐标系间的齐次变换矩阵的表示方法 • 用Ann-1表示机器人连杆n坐标系的坐标变换成连
杆n–1坐标系的坐标的齐次坐标变换矩阵，通常 把上标省略，写成An。对于n个关节的机器人， 前一个关节向后一个关节的坐标齐次变换矩阵分 别为
• 也就是
• 其中，A1表示杆件1上的1号坐标系到机座的0号 坐标系的齐次坐标变换矩阵。
线与关节i+1轴线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与
关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；
转动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
器人各杆件的构件坐标系，从而得出齐次坐标变换矩阵Ai。 Ai能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的齐次变换。 A1描述第一个连杆对于机身的位姿，A2描述第二个连杆 坐标系相对于第一个连杆坐标系的位姿。如果已知一点在 最末一个坐标系(如n坐标系)的坐标，要把它表示成前一 个坐标系(如n–1)的坐标，那么齐次坐标变换矩阵为An。 依此类推，可知此点到基础坐标系的齐次坐标变换矩阵为：
3-2 RPY角
RPY ( , ,) Rot(z,)Rot( y, )Rot(x, )
c s
RPY
(
,
,
)
s
c
0 0
0
0
其中：c cos
0 0 c 0
0
0
0
1
1 0 s 0
0
1
0
0
s sin
s 0 1 0 0 0 0 0 0 c s 0 s 0 0 s c 0
0 1 0 0 0 1
• 二、连杆坐标系间变换矩阵的确定 • 一旦对全部连杆规定坐标系后，就能按照下列的
步骤建立相邻两连杆i与i + 1之间的相对关系：
• (1) 绕Zi–1轴旋转i角，使Xi–1轴转到与Xi同一平
面内。 • (2) 沿Zi–1轴平移一距离di，把Xi–1移到与Xi同一
直线上。 • (3) 沿Xi轴平移一距离Ai，把连杆i–1的坐标系移
• 关节空间：有n个自由滴的工业机器人所有连杆 的位置和姿态。可以用一组关节变量（di或θi） 来描述。这组变量通常称为关节变量或关节坐标。
• 正向运动学：关节空间 末端笛卡尔空间，单射
• 逆向运动学：末端笛卡尔空间 射
关节空间，复
• 3.2 机器人正向运动学 • 根据前面介绍的方法，欲研究机器人运动学首先应建立机
第三章 机器人运动学
一、机器人运动学概念
二、手部的位姿表示
• 机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B} 的位姿来表示，如图所示。坐标系{B}可以这样来确定； 取手部的中心点为原点OB；关节轴为ZB轴，ZB轴的单 位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；两手指的连线为 YB轴，YB轴的单位方向矢量o称Байду номын сангаас姿态矢量，指向可任 意选定；XB轴与YB轴及ZB轴垂直，XB轴的单位方向矢 量n称为法向矢量，且n = o a，指向符合右手法则。
3.2.1正向运动学及实例
1.平面关节型机器人的运动学方程
下图1所示为具有一个肩关节、一个肘关节和一个腕关节的SCARA机器 人。机器人连杆的参数如表1所示，机器人坐标系图2所示。
连杆 连杆1
图1
转角(变量)θ θ1
连杆2
θ2
连杆3
θ3
图2
两连杆间距离d d1 =0
d2 =0
d3 =0表1
连杆长度a
• 2) 棱柱联轴器(平动关节)的D-H坐标系 • 对于图1.17所示棱柱联轴器，距离di成为联轴器(关节)变
量，而联轴器的方向即为此联轴器移动的方向。该轴方向 是规定的，但不同于转动关节的情况是该轴空间位置没有 规定。对于联轴器来说，其长度ai没有意义，令其为零。 联轴器的坐标系原点与下一个规定的连杆原点重合。棱柱 联轴器的Z轴在关节i + 1的轴线上。Xi轴平行或反向平行 于棱柱联轴器矢量与Zi矢量的交积。当di= 0时，定义该 联轴器的位置为零。
将矩阵相乘得：
c c
RPY ( , , ) sc
s
0
c s s sc s s s cc
c s
0
c s c s s c c c
0
0
0 …..(3.5) 0 1
它表示绕固定坐标系的三个轴依次旋转得到的 旋转矩阵，因此称为绕固定轴X-Y-Z旋转的RPY角法。
3.1.3 机器人的位姿分析
• 3.1.3.1 杆件坐标系的建立 • 一、坐标系号的分配方法
• 机器人的各连杆通过关节连接在一起，关节有移 动副与转动副两种。按从机座到末端执行器的顺 序，由低到高依次为各关节和各连杆编号，如图 所示。机座的编号为杆件0，与机座相连的连杆编 号为杆件1，依此类推。机座与连杆1的关节编号 为关节1，连杆1与连杆2的连接关节编号为2，依 此类推。各连杆的坐标系Z轴方向与关节轴线重 合(对于移动关节，Z轴线沿此关节移动方向)。
4个参数
• 对于如上建立的连杆坐标系，共有4个参数来描述， 其中两个参数用来描述连杆，即公共法线的距离 ai和垂直于ai所在平面内两关节轴线(Zi–1和Zi)的 夹角αi；另两个参数表示相邻两杆的关系，即两
连杆的相对位置di和两连杆法线的夹角i，如图
1.16所示。 • 在机器人中，除了第一个和最后一个连杆外，每