24.1.2垂直于弦的直径(2)解析

解：连结OA.
ห้องสมุดไป่ตู้
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E， A ∴AE=BE, ∠AEO=90o.
C E
B
∵DE=8cm, CE=2.
O
∴CD=DE+CE=10cm.
∴OA=OC=OD=5cm.
D
∴OE=DE-OD=3cm.
在Rt△AOE中，由勾股定理得： OA2=OE2+AE2
AE= OA2-OE2 = 52-32 =4
∴AB=2AE=8cm.
探究2.赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
解决求赵州桥拱半径的问题
解：如图，用 AB表示主桥拱，AB设 A所B在圆的圆心为O，半
径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，
OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的
中点，C是AB 的中点，CD 就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
求AB和CD的距离.
解: (1)如图1，当点弦AB、弦CD在圆心O的 同侧时，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
O
连结OA、OC，则AE=BE=12cm.
A
EB
∵ AB ∥CD ，OE⊥AB于E
C FD
∴ OF⊥CD于F. ∴ CF=DF=5cm. 在Rt△AOE中，由勾股定理得： OA2=OE2+AE2
OE= OA2-AE2 = 132-122 =5
图1
C FD
同理，在Rt△COF中，由勾股定理可得OF=12.
O
∴ EF=OF-OE=7cm.
AEB
(2)类似地，如图2，当弦AB、CD在圆心O的异侧时 图2
可得EF=12+5=17cm.
所以，AB和CD的距离为7cm或17cm.
小结
1.银川市某居民区一处圆形下水管道破裂， 修理人员准备更换一段新管道．如下左图所示， 污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离 为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
A
B
1.连接AB；
2.作AB的中垂线，交 AB 于点C， 点C就是所求的点.
巩固拓展
4.某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥
下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离
水面的高度2.4米. 现在有一艘宽3米，船舱
顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这
里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？
说明理由.
C
A
济水一中数学组 黄小国
知识回顾
C
1.叙述圆的两种定义；
2.叙述垂径定理；
·O
E
3.叙述垂径定理的推论；
A
B
D
4.下列5个条件：
①直径（过圆心）；
②垂直于弦； ③平分弦； ④ 平分优弧；
⑤平分劣弧。
可以“知二得三”吗？
探究1. 如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点
E， DE=8cm,CE=2cm. 求弦AB的长.
B
课堂总结
已知：CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E.
(1)求半径OA：
C
OA= AE2+OE2 或OA2=AE2+(OA-CE)2 A
B E
(2)求弦心距OE：
O
1
AE=2 AB,OE= OA2-AE2
(3)求弦长AB：
D
AB=2AE=2 OA2-OE2 或AB=2AE=2 OA2-(OA-CE)2
(4)求弓形高CE、DE：
1 AE=2 AB,OE=
OA2-AE2, CE=OC-OE,DE=OD+OE.
布置作业
1.作业本上： 课本89-90页 8.9.10.11.12
2.课外练习： 《教学案》与《基础训练》
上的部分
9. ⊙O的半径为13cm，弦AB ∥CD，AB=24cm，CD=10cm，
A
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R
OA2=AD2+OD2
O
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
问题拓展
为改善市区人居环境，某市建设污水管
网工程，某圆形水管的直径为50cm,截面如 图所示，若管内污水的面宽AB=40cm，求 污水的最大深度.
13 则这弓形所在的圆的半径为（ cm ）.
4
C
A
D
B
O 思考：半径、拱高、弦长三者的关系？
巩固拓展 2.已知P为 O 内一点，且OP＝2cm，如果
O的半径是3cm ，那么过P点的最短
的弦等于 2 5cm .
B
O
D
P E
C
A
巩固拓展
3.如图，已知 AB，请你利用尺规作图的方法 作出 AB的中点，说出你的作法.
O
25
AC
B
E
40
问题变式
为改善市区人居环境，某市建设污水管 网工程，某圆形水管的直径为50cm, 若管内 污水的面宽AB=40cm，求污水的最大深度.
40
O
25
AC
B
E
40
（1）
最大深度：CE=10cm
ACB 25
O
E
（2）
最大深度：CE=40cm
巩固拓展 1.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，