备战2021新高考命题点分析与探究 命题3 函数及其表示(解析版)

备战2021新高考数学命题分析与探究

命题3 函数及其表示

第一部分 命题点展示与分析

1.求下列函数的定义域．

①函数f (x )＝3x 2

4－x

＋lg(x ＋1)的定义域为____；

②函数f (x )＝7＋6x －x 2的定义域为____；(2019江苏) ③函数f (x )＝log 3x －3的定义域为____；

④函数f (x )＝x 2＋2x ＋1

x ＋1的定义域为____；

⑤函数f (x )＝(x －2)1

2－(3x －7)0的定义域为____；

⑥函数f (x )＝tan ????2x －π

4的定义域为____； ⑦函数f (x )＝1

1＋

11＋

1x 的定义域为____．

答案：①(－1，4) ②[－1，7] ③[27，＋∞) ④(－∞，－1)∪(－1，＋∞) ⑤????2，73∪????7

3，＋∞ ⑥???x ?

??

??

x ∈R ，x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ⑦?

??

x ?

??

??x ∈R ，且x ≠0，－1，－12 解析：①由题知?

????4－x >0，

x ＋1>0，解得－1

所以函数f (x )的定义域为(－1，4)．

②由题知7＋6x －x 2≥0，即x 2－6x －7≤0，解得－1≤x ≤7，

所以函数f (x )的定义域是[－1，7]．

③由题知?

????x >0，log 3x －3≥0，即?????x >0，log 3x ≥3，解得x ≥27， 所以函数f (x )的定义域为[27，＋∞)．

④由题知x ＋1≠0，解得x ≠－1，

所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．

⑤由题知?????x －2≥0，3x －7≠0，解得x ≥2且x ≠7

3，

所以函数f (x )的定义域为????2，73∪???

?7

3，＋∞. ⑥由题知2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π

8，k ∈Z ，

所以函数f (x )的定义域是{x |x ∈R ，x ≠k π2＋3π

8

，k ∈Z }.

⑦要使函数有意义，必须满足?????x ≠0，

1＋1x

≠0，1＋11＋1x

≠0，

解得x ≠0，－1，－12，所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0，－1，－1

2

}．

2.已知函数y ＝f (x )的定义域是????

12，2，则

①函数y ＝f （x ＋1）

lg x 的定义域是____．

②函数y ＝f (log 2x )的定义域为____．

③函数y ＝f (x ＋2)＋f (x ＋1)的定义域是____． 答案：①(0，1) ②[2，4] ③???

?－1

2，0 解析：①由题意得?????12≤x ＋1≤2，x >0，lg x ≠0，即?????－1

2≤x ≤1，x >0，x ≠1，

解得0

lg x 的定义域是(0，1)．

②由题意知1

2≤log 2x ≤2，即log 22≤log 2x ≤log 24，

所以2≤x ≤4，

所以函数y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]． ③由题意知?

??1

2≤x ＋2≤2，1

2

≤x ＋1≤2，解得－1

2≤x ≤0，

所以函数y ＝f (x ＋2)＋f (x ＋1)的定义域为???

?－1

2，0. 3. (2019山西名校联考，5分)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )

A ．(－9，＋∞)

B ．(－9，1)

C ．[－9，＋∞)

D ．[－9，1) 答案：B

解析：由题知f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则?????1－x >0，1－lg （1－x ）>0，

解得－9

的定义域为(－9，1)．故选B.

4.已知函数f (x )＝ln ????1－a

2x 的定义域是(1，＋∞)，求实数a 的值． 答案：2

解：要使函数f (x )有意义，则1－a

2x ＞0，即a ＜2x .因为函数f (x )＝ln ????1－a 2x 的定义域是(1，＋∞)，所以x ＝1是方程a ＝2x 的解，即a ＝2.

当a ＝2时，由2＜2x ，解得x >1，即函数f (x )＝ln ????1－a

2x 的定义域是(1，＋∞)，符合题意，故a ＝2. 5.(2021汇编，10分)①若函数f (x )＝

x

mx 2－mx ＋2

的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )

A ．[0，8)

B ．(8，＋∞)

C ．(0，8)

D ．(－∞，0)∪(8，＋∞)

②已知函数f (x )＝3x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，0] C ．[0, 1] D ．[1，＋∞)

答案：①A ②B

解析：①因为函数f (x )的定义域为R ，所以mx 2－mx ＋2＞0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，不等式即为2

＞0，恒成立；当m ≠0时，则需满足?

????m ＞0，Δ＝m 2－8m ＜0，即?????m ＞0，

0＜m ＜8，所以0＜m ＜8.

综上，实数m 的取值范围是[0，8)．故选A. ②因为函数f (x )的定义域为R ，所以3x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0对x ∈R 恒成立，所以Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0，所以实数a 的取值范围是[－1，0]．故选B.

6.(2021原创，15分)已知函数f (x )＝?

????x 2，x ≤1，

log 3x ，x >1.

①f (3)＋f (－2)＝____．

②f ???

?f ????12＝____． ③若g (x )＝f (3x )，则函数g (x )的解析式为____．

答案：①5 ②1

16 ③g (x )＝?????x ，x >0，9x ，x ≤0

解析：①因为3＞1，所以f (3)＝log 33＝1. 因为－2＜1，所以f (－2)＝(－2)2＝4， 所以f (3)＋f (－2)＝1＋4＝5. ②因为12＜1，所以f ????12＝????122＝14.

因为14<1，所以f ????f ????12＝f ????14＝????142＝116

. ③当x ＞0时，3x >1，此时g (x )＝f (3x )＝log 33x ＝x ； 当x ≤0时，3x ≤1，此时g (x )＝f (3x )＝(3x )2＝9x .

综上，函数g (x )的解析式为g (x )＝?

????x ，x >0，

9x ，x ≤0.

7.(2019五省优创名校第二次联考，5分)已知函数f (x )＝?

????log 3（x ＋6），x ＞－1，

f （x ＋4），x ≤－1，则f (－5)＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

答案：A

解析：由题意得f (－5)＝f (－1)＝f (3)＝log 3(3＋6)＝2.故选A.

8. (2017全国Ⅲ，5分)设函数f (x )＝?

????x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ????x －1

2>1的x 的取值范围是____． 答案：???

?－1

4，＋∞ 解析：若x ≤0，则x －12≤－12，则f (x )＋f ????x －12>1等价于x ＋1＋x －12＋1>1，即2x >－12，则x >－1

4，此时－1

4

12，则x －12>0，则f (x )＋f ????x －12＝2x ＋2x －1

2

>1恒成立； 若01，即2x ＋x >1

2. ∵01

2恒成立．

综上，x 的取值范围是???

?－1

4，＋∞.

9. (2021汇编，20分)①已知函数f (x )＝?

????2x －

1－1，x ≤1，

－log 2（x －1），x ＞1，且f (m )＝－2，则f (m －6)＝( )

A ．－3

4

B ．－78

C ．－14

D ．－18

②已知实数a ≠1，函数f (x )＝?

????4x ，x ≥0，

2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为( )

A.1

2 B ．－12

C.14 D ．－14

③已知f (x )＝?????2x ，x ＜0，a ＋3x ，x ≥0，

若f (f (1))＝1

2，则实数a 的值为( )

A ．－17

8

B ．－4或－17

8

C ．－4

D ．不存在

④已知函数f (x )＝?

???

?（1－a ）x ＋2a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1)

B ．[－1，1) C.????12，1

D.???

?0，1

2 答案：①A ②A ③B ④B

解析：①当m ≤1时，f (m )＝2m －

1－1＝－2，无解；当m ＞1时，f (m )＝－log 2(m －1)＝－2，解得m ＝5.所以f (m －6)＝f (－1)＝2

－1－1

－1＝－3

4

.故选A.

②当1－a ＞0，即a －1＜0时，f (1－a )＝41

－a,

f (a －1)＝2a

－(a －1)

＝2.因为f (1－a )＝f (a －1)，所以41－

a ＝2，

解得a ＝1

2

，满足题意．

当1－a ＜0，即a －1＞0时，f (1－a )＝2a －(1－a )

＝22a

－1,

f (a －1)＝4a －1.因为f (1－a )＝f (a －1)，所以22a －

1＝

4a －

1，方程无解．

综上，a 的值为1

2

.故选A.

③因为f (x )＝?

????2x ，x ＜0，

a ＋3x ，x ≥0，

所以f (1)＝a ＋3.

当a ＋3≥0，即a ≥－3时，f (f (1))＝f (a ＋3)＝a ＋3(a ＋3)＝4a ＋9＝12，解得a ＝－17

8，满足题意；

当a ＋3＜0，即a ＜－3时，f (f (1))＝f (a ＋3)＝2a ＋

3＝12，解得a ＝－4，满足题意．

综上，a ＝－17

8

或－4.故选B.

④当x ≥1时，ln x ≥0.因为函数f (x )的值域为R ，所以(－∞，0)是函数f (x )＝(1－a )x ＋2a (x ＜1)的值域的子集，

所以?

????1－a ＞0，（1－a ）×1＋2a ≥0，解得－1≤a ＜1，

所以实数a 的取值范围为[－1，1)．故选B.

第二部分 命题点素材与精选

1．（2020·河南高三其他（文）

）函数ln y x

=的定义域是（ ）

A ．（0，1）∪（1，4]

B ．（0，4]

C ．（0，1）

D ．（0，1）∪[4，+∞）

【答案】A 【解析】

2340

ln ln 0,0

x x x y x x x ?-++≥-=?≠>?

14

(0,1)

(1,4]0,1x x x x -≤≤?∴∴∈??>≠?

故选：A

2．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）函数y =的定义域为（ ）

A ．()3,1-

B ．[]1,3

C ．[]3,1-

D

．[]0,1

【答案】A

【解析】由2

032x x --> ，可得31x -<<

，所以函数y =

的定义域为(3,1)- .

故选A .

3．（2019·山东章丘四中高三月考）函数1

()lg(1)

f x x =+ ）

A ．

[2,2]- B ．[2,0)(0,2]-

C ．(1,0)(0,2]-?

D ．(-1,2]

【答案】C

【解析】101

1()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202

x x f x x x x x x x +>?>-??

=

+?+≠?≠?∈-??+?-≥?≤?

故答案选C

4．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ）

A ．(1,1)-

B ．1(1,)2

--

C ．(1,0)-

D ．1(,1)2

【答案】B

【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得

1

-1-2

x <<，选B ．

5．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知函数f （x ）

R ，则实数m 取值范围为 A ．{m |–1≤m ≤0} B ．{m |–10}

【答案】A

【解析】∵函数f （x ）

R ，∴函数y =–mx 2+6mx –m +8的函数值非负，（1）当m =0时，y =8，函数值非负，符合题意；（2）当m ≠0时，要–mx 2+6mx –m +8恒为非负值，则

–m >0，且关于x 的方程–mx 2+6mx –m +8=0根的判别式Δ≤0，即–m >0，且（6m ）2–4（–m ）（–m +8）≤0，即m <0，且m 2+m ≤0，解得–1≤m <0．综上，–1≤m ≤0． 故选A ．

6．（2019·河北辛集中学高三开学考试（理））若()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(1)(21)f x f x ++-的定义域是（ ）． A ．[1,1]- B ．1,12??

????

C ．13,22

??????

D ．10,2??

????

【答案】B

【解析】由函数()f x 的定义域为[0,2]得0120212

x x ≤+≤??

≤-≤?，解得1

12x ≤≤，

所以函数()()121f x f x ++-的定义域为1,12??

????

． 故选B ．

7．（2020·武威第六中学高三其他（文））设函数()(

)2log 1,0

x x f x x ?+≥?=<，则满足()12f x +<的x 的取

值范围为（ ）．

A ．()4,3-

B ．()5,2-

C ．()3,4-

D ．()()34-∞-+∞,,

【答案】B

【解析】由题意，()(

)2log 1,00x x f x x ?+≥?=<，所以()()

2lo 1g 2,1

1

x x x f x ?+≥-+=<-，

①当1x ≥-时，()12f x +<，即()2log 22x +<， 解得2x <，所以12x -≤<；

②当1x <-时，()12f x +<

2<， 解得5x >-，所以51x -<<-；

综上是，()12f x +<时x 的取值范围为()5,2-. 故选：B

8．（2020·云南高三一模（文））设13

,3

()log (2),3x e x f x x x -?<=?-≥?，则f [f (11)]的值是（ ）

A ．1

B ．e

C ．2e

D ．1e -

【答案】B

【解析】由分段函数解析式可得：2

33(11)log (112)log 32f =-==，则[(11)](2)f f f e ==，

故选：B.

9．（2020·甘肃安宁西北师大附中高三月考（理））设22,10

()log (1),03

x x f x x x ?--≤<=?+≤≤?，()1g x ax =+，若对

任意的1[1,3]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,0)(0,1]-? B ．(,1][1,)-∞-+∞ C ．[2,0)(0,2]-

D ．(,2][2,)-∞-+∞

【答案】D

【解析】函数()(

)2

2,10

log 1,03x x f x x x ?--≤

当0a ＞ 时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[1,1-]上的值域为[1

1]a a -++，，由题意可得

11

,2,12

a a a -+≤-?∴≥?

+≥? 当0a < 时，()g x 为减函数，()1g x ax =+在[1,1-]上的值域为[1,1]a a +-+，由题意可得

11

,2,12

a a a +≤-?∴≤-?

-+≥? 当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{}1 ，不符合题意； 综上，实数a 的取值范围为][()

,22,-∞-?+∞. 故选D.

10．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三其他（理））已知函数21(0)

()21(0)

x x

x f x e x x x ?+≥?=??++

(())1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1(11)(23]e

，

，+? B ．11(11)(23]3e

e ??+??+????

，

， C ．11(11)[23)3e e ??

+??+????

，，

D ．2(11)(23]e

+?，

， 【答案】B

【解析】(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-共有三个根，

当0x ≥时，()11x x f x e =+>，21'()x x x

x e xe x f x e e

--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1

(1)0,(1)1f f e

-==+

，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -

>+??或12111a e

a e ?

-=+

????>+??

，解得111a e <<+或23a <≤或13a e

=+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3e e ??

++????，故选B.