在圆锥曲线中的几何图形的面积问题

在圆锥曲线中的几何图形的面积问题
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
在圆锥曲线中的几何图形的面积问题（四）
在圆锥曲线中，经常要求最值问题：常常会平面图形的面积问题。

我们要分析图形的面积的变化是什么量引起的我们根据变化的量来建立等量关系，尽量化简变成了两个变量之间的函数关系。

我们借助函数来求最值，可以是二次函数法、可以是导数法。

若不能变成函数的关系，我们利用方程的几何意义来求最值，我们借助圆锥曲线和直线与圆的知识来解决。

我们也可借助参数，把问题变成以“角”为参变量的参数方程，我们借助三角函数的知识来求最值问题。

若方程中含有三个变量时，我们可虑有均值不等式法来求最值。

在寻找等量关系之间时，恰当地利用原圆锥曲线的性质：变量的取值范围、利用图像的对称性，利用圆锥曲线的参数方程等等知识。

在圆锥曲线中，我们经常求圆中的有关三角形的面积时，通常我们要选择圆心到弦的距离为参数来进行寻找等量关系，便于我们整体思想来化简问题，简化问题，便于我们解决问题。

例4已知椭圆13
42
2=+y x ， 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.
）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．
由22,1,43
x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C
的半径为r =．
∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，
∴
02t <<
，即07
t <<． ∴
弦长||AB ===． ∴ABC ∆
的面积12S =⋅
)2127
t =
- )22
1272
t +-≤
7
=
.
=，即7t =
时，等号成立
. ∴ ABC ∆． 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．
由22,1,43
x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y
-=. ∴ 圆C 的半径为r =． ∴ 圆C 的方程为2
22
123()4t x t y --+=． ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，
∴
0t<<
，即0
7
t<<．
在圆C的方程
2
22
123
()
4
t
x t y
-
-+=中，令0
x=
，得
y=±，
∴
弦长||
AB=
∴ABC
∆
的面积
1
2
S=⋅
)2
127
t
=
-
)22
127
2
t
+-
≤
=
=，即t=
时，等号成立.
∴ABC
∆的面积的最大值为
7
．。