200元2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析
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所以 A A1 与 B B1 相似．
故选（C）
（6）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32 ) 2x1x2 2x2 x3 2x1x3 的正负惯性
指数分别为 1,2，则
（A） a 1 （B） a 2 （C） 2 a 1 （D） a 1 或 a 2 解析：考虑用特殊值法．当 a 0 时， f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 2x2 x3 2x1x3 ，
2016 年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题解析
戴又发
（1）设函数 y f (x) 在 (,) 内连续，其导函数的图象如图所示，则
y
O
x
（A）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点 （B）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 3 个拐点 （C）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 1 个拐点 （D）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点 解析：由导函数的图象得知导函数有 3 个不同零点，其中有一个是导函数图象与 x 轴的切 点，不是函数 f (x) 的极值点，所以函数 f (x) 有 2 个极值点； 又因为导函数有 2 个极值点，当然是曲线 y f (x) 的拐点；
（5）设 A , B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是 （A） AT 与 BT 相似 （B） A1 与 B 1 相似 （C） A AT 与 B BT 相似 （D） A A1 与 B B1 相似
解析：由 A 与 B 相似的定义，存在可逆矩阵 P ，使得 P1AP B ． 对于（A），因为 (P1AP)T BT 得 PT AT (PT )1 BT ，所以 AT 与 BT 相似； 对于（B），因为 (P1AP)1 B1 得 P1A1P B1 ，所以 A1 与 B1 相似； 对于（D），因为 P1( A A1)P P1 AP P1 A1P B B1 ，
0 1 1 其矩阵为 1 0 1 ，由此求得特征值为 2,1,1，满足正惯性指数为 1, 负惯性指数
1 1 0 为 2，即 a 0 成立．
故选（C）
（7）设 A , B 为两个随机事件，且 0 P( A) 1,0 P(B) 1，如果 P( A B) 1，则
（A） P(B A) 1
于是有
lim
x0
1 2
f
(x)sin 2x 3x
2
，即
lim
x0
f
(x) 3
2
所以 lim f (x) 6 ，答案 6 x0
（10）极限
lim
n
1 n2
(sin
1 n
2 sin
2 n
L
n sin n) n
解析：由
lim
n
1 n2
(sin
1 n
2 sin
2 n
)
sin(n
k
)
，（
k
为常数）
（A）绝对收敛
（B）条件收敛
（C）发散
（D）收敛性与 k 有关
解析：由 (
n1
1 n
1
)sin(n k)
n 1
n1
n
sin(n k) n 1( n n 1)
因为
sin(n k)
n n 1( n n 1)
1 n n 1( n
1 n 1) n n
所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛．故选（A）
y
1
D1
y
1
D2
y
1
D3
O
1x
O
1x
O
在区域 D1 D2 上， y x ，于是 3 x y 0 ，即 J1 J2 ； 在区域 D1 D3 上， y x ，于是 3 x y 0 ，即 J1 J3 ； 所以 J3 J1 J 2 ，故选（B）
1x
1
（4）级数 (
n1 n
1 n
1
另外，导函数的图象还有 1 个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点
处连续，所以该点也是曲线 y f (x) 的 1 个拐点．
故选（B）
（2）已知函数
f
(x,
y)
ex x y
，则
（A）函数 f x f y 0
（B）函数 f x f y 0
（C）函数
f
x
f
y
f
（D）函数 f x f y f
解析：由
f
(x,
y)
ex x
y
得
f
x
(x
y)ex (x y)2
ex
，
f
y
(x
ex y)2
于是
f x
f y
(x y)ex ex (x y)2
ex (x y)2
f
，故选
（D）
（3）设 Ji 3 x ydxdy(i 1,2,3) ，其中 D1 (x, y) 0 x 1,0 y 1 ，
（B） P( A B) 0
（C） P( A U B) 1
（D） P(B A) 1
解析：由 P( A B) 1知， P( AB) P(B) ， P( A B) P( A) ．
P(B
A)
P( AB) P( A)
P(A B) 1 P( A)
1 P(A B) 1 P( A)
1．
故选（A）
（8）设随机变量 X 与Y 互相独立，且 X ~ N (1,2) ，Y ~ N (1,4) ，则 D( XY )
Di
D2 (x, y) 0 x 1,0 y x ， D3 (x, y) 0 x 1, x2 y 1 ，则
（A） J1 J 2 J3
（B） J3 J1 J 2
（C） J 2 J3 J1
（D） J 2 J1 J3
解析：在平面坐标系中， D2 , D1, D3 所表示的区域分别为：
（A）6 （B）8 （C）14 （D）15
解析：由随机变量 X 与 Y 互相独立，则 D( XY ) E( XY )2 [E( XY )]2 EX 2 EY 2 (EX EY )2 [DX (EX )2 ][DY (EY )2 ] (EX EY )2 (2 12 ) (4 12 ) (11)2 14 ．
故选（C）
（9）已知函数 f (x) 满足 lim x0
1
f
(x)sin 2x e3x 1
1
2 ，则 lim x0
f
(x)
Baidu Nhomakorabea
解析：因为
lim
x0
1
f
(x)sin 2x e3x 1
1
2 ，用等价的无穷小替换，
当 x 0 时， e3x 1 ~ 3x ，
1 f (x)sin 2x 1 ~ 1 f (x)sin 2x 2
故选（C）
（6）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32 ) 2x1x2 2x2 x3 2x1x3 的正负惯性
指数分别为 1,2，则
（A） a 1 （B） a 2 （C） 2 a 1 （D） a 1 或 a 2 解析：考虑用特殊值法．当 a 0 时， f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 2x2 x3 2x1x3 ，
2016 年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题解析
戴又发
（1）设函数 y f (x) 在 (,) 内连续，其导函数的图象如图所示，则
y
O
x
（A）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点 （B）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 3 个拐点 （C）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 1 个拐点 （D）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点 解析：由导函数的图象得知导函数有 3 个不同零点，其中有一个是导函数图象与 x 轴的切 点，不是函数 f (x) 的极值点，所以函数 f (x) 有 2 个极值点； 又因为导函数有 2 个极值点，当然是曲线 y f (x) 的拐点；
（5）设 A , B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是 （A） AT 与 BT 相似 （B） A1 与 B 1 相似 （C） A AT 与 B BT 相似 （D） A A1 与 B B1 相似
解析：由 A 与 B 相似的定义，存在可逆矩阵 P ，使得 P1AP B ． 对于（A），因为 (P1AP)T BT 得 PT AT (PT )1 BT ，所以 AT 与 BT 相似； 对于（B），因为 (P1AP)1 B1 得 P1A1P B1 ，所以 A1 与 B1 相似； 对于（D），因为 P1( A A1)P P1 AP P1 A1P B B1 ，
0 1 1 其矩阵为 1 0 1 ，由此求得特征值为 2,1,1，满足正惯性指数为 1, 负惯性指数
1 1 0 为 2，即 a 0 成立．
故选（C）
（7）设 A , B 为两个随机事件，且 0 P( A) 1,0 P(B) 1，如果 P( A B) 1，则
（A） P(B A) 1
于是有
lim
x0
1 2
f
(x)sin 2x 3x
2
，即
lim
x0
f
(x) 3
2
所以 lim f (x) 6 ，答案 6 x0
（10）极限
lim
n
1 n2
(sin
1 n
2 sin
2 n
L
n sin n) n
解析：由
lim
n
1 n2
(sin
1 n
2 sin
2 n
)
sin(n
k
)
，（
k
为常数）
（A）绝对收敛
（B）条件收敛
（C）发散
（D）收敛性与 k 有关
解析：由 (
n1
1 n
1
)sin(n k)
n 1
n1
n
sin(n k) n 1( n n 1)
因为
sin(n k)
n n 1( n n 1)
1 n n 1( n
1 n 1) n n
所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛．故选（A）
y
1
D1
y
1
D2
y
1
D3
O
1x
O
1x
O
在区域 D1 D2 上， y x ，于是 3 x y 0 ，即 J1 J2 ； 在区域 D1 D3 上， y x ，于是 3 x y 0 ，即 J1 J3 ； 所以 J3 J1 J 2 ，故选（B）
1x
1
（4）级数 (
n1 n
1 n
1
另外，导函数的图象还有 1 个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点
处连续，所以该点也是曲线 y f (x) 的 1 个拐点．
故选（B）
（2）已知函数
f
(x,
y)
ex x y
，则
（A）函数 f x f y 0
（B）函数 f x f y 0
（C）函数
f
x
f
y
f
（D）函数 f x f y f
解析：由
f
(x,
y)
ex x
y
得
f
x
(x
y)ex (x y)2
ex
，
f
y
(x
ex y)2
于是
f x
f y
(x y)ex ex (x y)2
ex (x y)2
f
，故选
（D）
（3）设 Ji 3 x ydxdy(i 1,2,3) ，其中 D1 (x, y) 0 x 1,0 y 1 ，
（B） P( A B) 0
（C） P( A U B) 1
（D） P(B A) 1
解析：由 P( A B) 1知， P( AB) P(B) ， P( A B) P( A) ．
P(B
A)
P( AB) P( A)
P(A B) 1 P( A)
1 P(A B) 1 P( A)
1．
故选（A）
（8）设随机变量 X 与Y 互相独立，且 X ~ N (1,2) ，Y ~ N (1,4) ，则 D( XY )
Di
D2 (x, y) 0 x 1,0 y x ， D3 (x, y) 0 x 1, x2 y 1 ，则
（A） J1 J 2 J3
（B） J3 J1 J 2
（C） J 2 J3 J1
（D） J 2 J1 J3
解析：在平面坐标系中， D2 , D1, D3 所表示的区域分别为：
（A）6 （B）8 （C）14 （D）15
解析：由随机变量 X 与 Y 互相独立，则 D( XY ) E( XY )2 [E( XY )]2 EX 2 EY 2 (EX EY )2 [DX (EX )2 ][DY (EY )2 ] (EX EY )2 (2 12 ) (4 12 ) (11)2 14 ．
故选（C）
（9）已知函数 f (x) 满足 lim x0
1
f
(x)sin 2x e3x 1
1
2 ，则 lim x0
f
(x)
Baidu Nhomakorabea
解析：因为
lim
x0
1
f
(x)sin 2x e3x 1
1
2 ，用等价的无穷小替换，
当 x 0 时， e3x 1 ~ 3x ，
1 f (x)sin 2x 1 ~ 1 f (x)sin 2x 2