算法设计与分析习题

第一章算法引论

1、算法的定义？

答：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。

2、算法的特征？

答：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)确定性；４)有穷性

3、算法的描述方法有几种？

答：自然语言、图形、伪代码、计算机程序设计语言

4、衡量算法的优劣从哪几个方面？

答：(1) 算法实现所耗费的时间（时间复杂度）；

(2) 算法实现所所耗费的存储空间（空间复杂度）；

(3) 算法应易于理解，易于编码，易于调试等等。

5、时间复杂度、空间复杂度定义？

答：指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少。

6、时间复杂度计算：

{i=1；

while（i<=n）

i=i*2； }

答：语句①执行次数1次，

语句②③执行次数f(n), 2^f(n)<=n,则f(n) <=log2n;

算法执行时间： T(n)= 2log2n +1

时间复杂度：记为O(log2n) ；

7.递归算法的特点？

答：①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；（递归终止条件）

②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；（递归方程式）

8、算法设计中常用的算法设计策略？

答：①蛮力法；②倒推法；③循环与递归；④分治法；

⑤动态规划法；⑥贪心法；⑦回溯法；⑧分治限界法

9、设计算法：

递归法：汉诺塔问题？兔子序列（上楼梯问题）？

整数划分问题？

蛮力法：百鸡百钱问题？

倒推法：穿越沙漠问题？

答：算法如下：

（1）递归法

汉诺塔问题

void hanoi(int n, int a, int b, int c)

{if (n > 0)

{

hanoi(n-1, a, c, b);

move(a,b);

hanoi(n-1, c, b, a);

} }

兔子序列（fibonaci数列）

递归实现：

Int F(int n)

{

if(n<=2) return 1;

else

return F(n-1)+ F(n-2);

}

上楼梯问题

Int F(int n)

{

if(n=1) return 1

if(n=2) return 2;

else

return F(n-1)+ F(n-2);

}

整数划分问题

问题描述：将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n1+n3+…

将最大加数不大于m 的划分个数，记作q(n,m)。正整数n 的划分数

p(n)=q(n,n)。 可以建立q(n,m)的如下递归关系：

递归算法：

Int q( int n, int m){

if(n<1||m<1) return 0;

If((n=1)||(m=1)) return 1;

If (n

If(n=m) return q(n,m-1)+1;

else

return q(n,m-1)+q(n-m,m); ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=<==-+--+=1

1,1),()1,()1,(1),(1),(m n m n m n m n m m n q m n q n n q n n q m n q

}

（2）蛮力法：百鸡百钱问题

算法设计1：

设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。约束条件：x+y+z=100 且5*x+3*y+z/3=100

main( )

{ int x,y,z;

for(x=1;x<=20;x=x+1)

for(y=1;y<=34;y=y+1)

for(z=1;z<=100;z=z+1)

if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3)

{ print(the cock number is",x)；

print(the hen number is", y)；

print(the chick number is "z);}

}

算法分析：以上算法需要枚举尝试20*34*100=68000次。算法的效率显然太低

算法设计2：

在公鸡（x）、母鸡（y）的数量确定后，小鸡的数量 z就固定为100-x-y，无需再进行枚举了。此时约束条件只有一个： 5*x+3*y+z/3=100

main( )

{ int x,y,z;

for(x=1;x<=20;x=x+1)

for(y=1;y<=33;y=y+1)

{ z=100-x-y;

if(z mod 3=0 and

5*x+3*y+z/3=100)

{print(the cock number is",x)；

print(the hen number is", y)；

print(the chick number is "z);}

}

}

算法分析：以上算法只需要枚举尝试20*33=660次。实现时约束条件又限定Z能被3整除时，才会判断“5*x+3*y+z/3=100”。这样省去了z不整除3时的算术计算和条件判断，进一步提高了算法的效率。

(3) 倒推法：穿越沙漠问题

desert（）

{ int dis，k，oil,k; 2）相同：都是将原问题分解成小问题，通过小问题求解得到原问题解。

不同：

用分治法求解时,分解的子问题是互相独立的,且与原问题类型一致。分治算法实现一般用递归；

动态规划方法经分解得到的子问题往往不是互相独立的；动态规划算法实现一般用循环;

3）基本要素：具有最优子结构；子问题具有重叠性

4）步骤：1)分析最优解的性质，并刻划其结构特征。

2)递推地定义最优值。

3)以自底向上的方式计算出最优值.

4)根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解.

２、序列X={X1，X2,…Xm }和 Y={Y1,Y2…Yn}的最长公共子序列为Z={Z1,Z2,…Zk}用动态规划的方法求序列 X 和Y的最长公共子序列长度？

（要求按照动态规划写出动态规划求解问题的步骤分析①最优子结构②写出递归方程