复变函数与积分变换-傅立叶变换

出。 此积分很难求出。
但是显然有： 但是显然有：
1 t < 1 +∞ sin ω cos ω t 2 1 t =1 dω = ∫0 π ω 2 0 t > 1 π 2 t <1 即： +∞ sin ω cos ω t π t =1 dω = ∫0 ω 4 0 t >1
4
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近
在间断点 kπ ( k = 0, ±1, ±2,⋯) 处， 1 f ( x ) 收敛于 fT ( t0 + 0 ) + fT ( t0 − 0 ) = 0 2 所有的工程中使用的周期函数都可以 所有的工程中使用的周期函数都可以 用一系列的三角函数的线性组合来逼近。 用一系列的三角函数的线性组合来逼近。 Fourier级数 ---- Fourier级数
《复变函数与积分变换》 复变函数与积分变换》
第八章
湖北警官学院 张东
一、傅里叶变换的概念
在工程计算中,无论是电学还是力学, 在工程计算中,无论是电学还是力学,经 打交道。 常要和随时间而变的周期函数 fT ( t ) 打交道。 例如： 例如：
它们具有性质 fT ( t + T ) = fT ( t ) ，其中 T 1 称作周期, 代表单位时间振动的次数, 称作周期 而 代表单位时间振动的次数 T 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位时间通常取秒 即每秒重复多少次 单位是赫兹(Herz, 或Hz)。 单位是赫兹(Herz, Hz)。 1804年 傅里叶首次提出： 1804年，傅里叶首次提出： 在有限区间上由任意图形定义的任意函数 都可以表示为单纯的正弦与余弦之和。 都可以表示为单纯的正弦与余弦之和。
π ∫0
1
+∞
α cos ω t + ω sin ω t 很难求出， d ω 很难求出， 2 2 α +ω
但是显然有： 但是显然有：
e −α t t > 0 1 1 +∞ α cos ω t + ω sin ω t t=0 dω = 2 2 ∫0 π α +ω 2 0 t<0 π e − β t t > 0 +∞ α cos ω t + ω sin ω t π t=0 dω = ∫0 α2 + ω2 2 0 t<0
引进傅里叶级数复数形式： 引进傅里叶级数复数形式： 由
cos nω 0 t = e
jnω 0 t
sin nω 0 t =
e
jnω 0t
+e 2 − jnω 0t −e 2i 2i
− jnω 0 t
带入傅里叶级数
a0 +∞ fT ( t ) = + ∑ ( an cos nw0 t + bn sin nw0 t ) 2 n=1
即：
1 例题 求 f ( t ) = 0
t ≤1 t >1
的傅氏变换。 的傅氏变换。
dt
解
F (ω ) = ∫
=∫ e
−1
jω
+∞ −∞
f ( t )e
− jω t
1
− jω t
1 − jω t 1 dt = e −1 − jω
e −e = jω
− jω
=
2sin ω
ω
其逆变换为 1 +∞ jω t f (t) = ∫ −∞ F (ω )e d ω 2π 1 +∞ 2sin ω = ∫ −∞ ω ( cos ω t + jsin ω t ) d ω 2π 2 +∞ sin ω cos ω t dω = ∫
an + jbn 1 T 2 fT ( t ) cos nω 0 t + j sin nω0 t dt = ∫ 2 T −T 2 1 T2 fT ( t )e jnω0t dt = c− n = ∫ T −T 2
即
a0 an − jbn an + jbn c0 = , c n = , c− n = 2 2 2
+∞
上式称为傅里叶积分
傅里叶积分变换
F (ω ) = ∫
+∞ −∞
f ( t )e
− jω t
的像函数， 其中F ( w ) 称为 f ( t ) 的像函数，记为 F ( w ) = F f ( t )
d t 称为 f ( t ) 的Fourier变换。 Fourier变换 变换。
1 +∞ f (t) = F ( w ) e jwt dw 称为傅里叶逆变换 2π ∫ −∞ 的像原函数， 其中 f ( t ) 称为F ( w ) 的像原函数，记为
由三角函数的正交性，可以得到： 由三角函数的正交性，可以得到： 2 T /2 an = ∫ fT ( t ) cos nw0 tdt ( n = 0,1, 2,⋯) T − T /2 2 T /2 bn = ∫ fT ( t ) sin nw0 tdt ( n = 1, 2,⋯) T − T /2 三角函数正交性是指三角函数系 1,cos x ,sin x ,cos 2 x ,sin 2 x ,⋯cos nx ,sin nx ,⋯ 中任何不同的两个函数的乘积在区间[−π , π ] 上的积分等于零； 上的积分等于零； 而 ∫ 1 dx = 2π , ∫
π
0
∫ π ( −1) sin nxdx + π ∫ π
− 0
1isin nxdx
π
1 cos nx 1 cos nx = + − π n −π π n 0 1 = [1 − cos nπ − cos nπ + 1] nπ 4 2 n , n = 1,3,5,⋯ 1 − ( −1) = nπ = nπ 0 , n = 2,4,6,⋯
得到
jnω0t − jnω0t e jnω0t + e − jnω0t a0 e −e + ∑ an + bn 2 n=1 2 2j ∞

a0 ∞ an − jbn jnω0t an + jbn − jnω0t e e = + ∑ + 2 n=1 2 2
令
2 −π
π
π
−π
sin nxdx =∫
2
π
−π
cos 2 nxdx = π
的周期函数， 例题 设 f ( x ) 是周期为 2π 的周期函数， 它在 [−π , π )上的表达式为 −π ≤ x < 0 −1, f ( x) = 0≤ x<π 1, 展开成傅里叶级数。 将 f ( x ) 展开成傅里叶级数。
例题： 例题：求单边指数衰减函数
e −α t , t ≥ 0 f (t) = , (α > 0) 0 , t<0
的傅氏变换，并画出频谱图。 的傅氏变换，并画出频谱图。
解
1 − ( α + jω ) t +∞ e =∫ e e dt = − 0 α + jω 0 1 α − jω = = 2 α + jω α + ω 2
不过我们可以通过傅氏变换得到积分的结果。 不过我们可以通过傅氏变换得到积分的结果。
e −α t , t ≥ 0 例如上例中求出 f ( t ) = 的 0 , t<0 α − jω 傅氏变换 F (ω ) = 2 后，虽然其逆变换 2 α +ω 1 +∞ jω t f (t) = ∫ −∞ F (ω )e d ω 2π 1 +∞ α − jω = ∫ −∞ α 2 + ω 2 ( cos ω t + jsin ω t ) d ω 2π =
f (t) = F
−1
F ( w )
f ( t )与F ( w ) 构成一个傅氏变换对 F ( w ) 是 f ( t ) 中各频率分量的分布密度， 中各频率分量的分布密度，
因此称F ( w )为频谱密度函数。 为频谱密度函数。
F ( w ) 为振幅谱。 为振幅谱。
arg F ( w ) 为相位谱。 为相位谱。
+∞ − α t − jω t
F (ω ) = ∫
+∞ −∞
f ( t )e − jω t d t
振幅谱
相位谱
Fourier变换 Fourier变换 F (ω ) = ∫
+∞ −∞
f ( t )e
− jω t
dt
1 +∞ F (ω )e jω t d ω 和逆变换 f ( t ) = 2π ∫ −∞ 的重要作用： 的重要作用： 1 +∞ jω t 很难求出， 通常情况下， 通常情况下， ∫ F (ω )e d ω 很难求出， 2π −∞
所以 f ( x )在( −π , π )的傅里叶级数展开式为
4 1 1 f ( x ) = sin x + sin 3 x + ⋯ + sin ( 2k − 1) x + ⋯ π 3 2k − 1
1 sin ( 2k − 1) x = ∑ π k =1 2 k − 1 4
∞
4 4 sin x + sin 3 x + sin 5 x + ⋯ 3π 5π π f ( x)
f ( t ) = lim fT ( t )
T →+∞
1 T /2 jnw0t − jnw0τ fT (τ ) e dτ e = lim ∑ ∫ − T /2 T →+∞ n=−∞ T 2π 2π nw 将 w0 记为 ∆w ， 0记为 wn ，并由 T = = w0 ∆w
+∞
可以得到： 可以得到：
+∞ 1 π / ∆w f (τ ) e − jwnτ dτ i e jwnt ∆w f (t) = lim ∑ ∫ − π / ∆w T ∆w → 0 2π n=−∞
按积分定义，上式可以写为 按积分定义，
1 f (t) = 2π +∞ f (τ ) e − jwt dτ e jwt dw ∫−∞ ∫−∞
1829年 由狄利克雷证明了下面的定理。 1829年，由狄利克雷证明了下面的定理。 定理： 为周期的实值函数， 定理：设 fT ( t ) 是以 T 为周期的实值函数，且 T T 上满足狄利克雷条件， 在 [− , ] 上满足狄利克雷条件，即 fT ( t ) 2 2 (1)连续或只有有限个第一类间断点 连续或只有有限个第一类间断点， (1)连续或只有有限个第一类间断点， (2)只有有限个极值点。 (2)只有有限个极值点。 只有有限个极值点 则在 fT ( t ) 的连续点处有 a0 +∞ fT ( t ) = + ∑ ( an cos nw0 t + bn sin nw0 t ) 2π 2 n=1 其中: 其中 w0 = T
二、单位冲激函数 定义 单位冲激函数 δ ( t ) 是满足下面两个
条件的函数： 条件的函数：
δ (1)当 (1)当 t ≠ 0时， ( t ) = 0
(2) ∫
+∞ −∞
cn 为离散振幅谱， 为离散振幅谱，
arg cn 为离散相位谱。 为离散相位谱。
表示某种信号， 若以 fT ( t ) 表示某种信号，则 cn 可以 的频率特征。 刻画 fT ( t ) 的频率特征。
傅里叶积分 任何非周期函数 f ( t ) 都可以看成由周期 函数 fT ( t ) 当T → +∞ 时转化来的。 时转化来的。
则傅里叶级数指数形式为
fT ( t ) = ∑ cn e
−∞ +∞ jnw0 t
1 T2 − jnω0 t dt 其中 cn = ∫ −T 2 fT ( t )e T
的离散频谱， 通常记 F ( nw0 ) = c0 为 fT ( t ) 的离散频谱， 的各种频率， 其中 nw0 为组成 fT ( t ) 的各种频率，
计算傅里叶系数如下： 解：在连续点 ( −π , π ) 计算傅里叶系数如下：
an = =
π∫
1
1
π
−π 0
f ( x ) cos nxdx 1
π
0
∫ π ( −1) cos nxdx + π ∫ π
−
1 ⋅ cos nxdx
=0
( n = 0,1, 2,⋯)
bn = =
π∫
1
1
π
−π 0
f ( x ) sin nxdx 1
1 T2 − jnω0 t cn = ∫ fT ( t )e dt T −T 2
则
a0 1 T 2 fT ( t )dt = c0 = ∫ 2 T −T 2 an − jbn 1 T 2 fT ( t ) cos nω 0 t − j sin nω0 t dt = ∫ −T 2 2 T 1 T2 − jnω0t fT ( t )e dt = cn = ∫ T −T 2