相干信号源数学模型

相干信号源数学模型

当考察多个信号时，这些信号之间可以是不相关的、相关的或相干的。对两

个平稳信号和，定义它们的相关系数为

由 Schwartz 不等式可知，因此，信号之间的相关性定义如下：

由上面的定义可知，当信号源相干时其数学表现为：相干信号源之间只差一

个复常数。相干信号源模型

式中，是由一系列复常数组成的维矢量。n 为入射到阵列上的相干信号源数目。

从上文相干信号源数学模型可知，当信号源完全相干时，阵列接收的数据协方差矩阵的秩降为 1，显然这会导致信号子空间的维数小于信号源数。也就是说信号子空间“扩散”到了噪声子空间，这会导致某些相干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计信号源方向。

因此在相干信号源情况下如何正确估计信号方向呢？答案是解相干或者去相关。就是通过一系列处理或者变换使得信号协方差矩阵的秩得到有效恢复，从而正确估计信号源方向。目前关于解相干的处理基本有两大类：一类是降维处理；另一类是非降维处理。

降维处理算法是一类常用的解相干处理算法，可以分为基于空间平滑、基于矩阵重构两类算法。其中，基于空间平滑算法主要由前向空间平滑算法、双向空间平滑算法、修正的空间平滑算法及空域滤波法等；基于矩阵重构的算法主要指矩阵分解算法及矢量奇异值法等。这两类算法的区别在于矩阵重构类算法修正后的协方差矩阵是长方阵（估计信号子空间与噪声子空间需要用奇异值分解），而空间平滑算法修正后的矩阵是方阵（估计信号子空间与噪声子空间可以用特征值分解）。

非降维处理算法也是一类重要的解相干处理方法，如频域平滑算法、Toeplitz方法、虚拟阵列变换法等。这类算法与降维算法相比最大的优点在于阵列孔径没有损失，但这类算法往往针对的是特定环境，如宽带信号、非等距阵列、移动阵列等。这里就介绍一种算法：基于空间平滑的 MUSIC 算法。

空间平滑算法

它在一般情况下只适合于均匀阵列（ULA）。下面简要介绍空间平滑 MUSIC利用子阵平滑恢复数据协方差矩阵的原理。

设基阵为一个 M 元等间距线阵，间距为 d。将 M 元线阵划分为 q 个子阵，每个子阵阵元数为 p，如图 1 所示。其中p 和 q 的关系满足

图 1 将阵元分成多个子阵

每个子阵信号矩阵表示为

每个子阵分别求协方差矩阵，然后取平均可得前向协方差矩阵估计

在求最协方差矩阵估计时多使用前向和后向空间平滑子阵划分联合进行协

方差矩阵估计

其中 J 为p阶交换矩阵，除副对角线上的元素为1外，其它为零。

现在通过空间平滑处理实现解相干，那么我们就总结下基于空间平滑的MUSIC 算法的计算过程。

1、由阵列的接收数据得到数据协方差矩阵 R。(详情可见定位算法系列之3-MUSIC 算法，对阵列模型以及算法过程有详细介绍，就不重复了。)

2、利用本文介绍的空间平滑算法对 R 进行修正。

3、利用修正后的协方差矩阵进行MUSIC谱估计，找出极大值对应的信号方向。(将修正后的协方差矩阵进行新号子空间

分解并代入即可，想知道具体公式来源请回溯到定位算法系列之 3-MUSIC 算法）。

对于基于空间平滑的 MUSIC 算法，其中有一点需要注意！空间平滑算法的实质是对数据协方差矩阵的秩进行恢复的过程，但这个过程通常只适用于等距均匀线阵，而且修正后矩阵的维数小于原矩阵的维数，也就是说解相干性能是通过降低自由度换取的。