数据结构习题及答案与实验指导(数组和广义表)5

第5章数组和广义表

本章所讨论的多维数组和广义表是对线性表的推广，其特点是数据元素仍可被视为一个表。要求熟悉多维数组的逻辑结构、存储结构，广义表的逻辑结构、表示形式，以及矩阵的压缩存储的有关内容。

重点提示：

●多维数组的存储方式和存取特点

●特殊矩阵的存储

●稀疏矩阵的存储

●广义表的表示形式

5-1 重点难点指导

5-1-1 相关术语

1．特殊矩阵

要点：矩阵中非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。

2．对称矩阵

要点：一种特殊矩阵；n阶方阵的元素满足性质：a ij=a ji（0≤i，j≤n-1）。

3．三角矩阵

要点：以主对角线划分，有上三角矩阵和下三角矩阵两种；主对角线以下，不包括主对角线中的元素，均为常数c，称为上三角矩阵；主对角线以上，不包括主对角线中的元素，均为常数c，称为下三角矩阵。

4．对角矩阵

要点：非零元素集中在以主对角线为中心的带状区域中，也称带状矩阵。

5．稀疏矩阵

要点：矩阵中非零元素的个数远小于矩阵元素总数的矩阵。

6．三元组表

要点：是稀疏矩阵的一种存储结构；将稀疏矩阵的非零元素的三元组（行、列和值）按行优先的顺序排列；得到结点均是三元组的线性表。

7．广义表

要点：是线性表的推广；是n个元素a1,a2,…,a n的有限序列；其中a i或者是原子或者是广义表；通常记为LS=(a1,a2,…,a n)，LS为广义表的名字。

5-1-2 多维数组

1．对n维数组逻辑结构的理解

n维数组可视为由n-1维数组为元素的线性结构。

举例：一个m行n列的二维数组可视为由m个一维数组为元素组成的线性结构，其中

每个一维数组又由n 个单元素组成。

]a ,,a ,[a A A A A a a a a a a a a a Amn in i2i1i m 21mnv m2m12n 2221

1n 1211 =⎪⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=其中

2．数组的顺序存储方式

（1）行优先顺序——将数组元素按行向量排列，即第i ＋1行紧接在第i 行后面。如Amn 的存储序列为：

a 11 a 12 … a 1n a 20 a 21 … a 2n … a m1 a m2 … a mn 第1行 第2行 … 第m 行

（2）列优先顺序——将数组元素按列向量排列，即第i ＋1列紧接在第i 列后面，如Amm 的存储序列为：

a 11 a 21 … a m1 a 12 a 22 … a m2 … a 1n a 2n … a mn 第1列 第2列 … 第n 列

3．数组元素的存储地址（以行优先顺序计算，假设每个元素为d 个单元） （1）二维数组中a ij 的地址

LOC(a ij )= LOC(a 11)+[(i-1)*n+j-1]*d

在C （Visual C++）语言中，因数组下标从0起，故

LOC(a ij )=LOC(a 00)+(i*n+j)*d

（2）三维数组中a ijk 的地址（A mnp ）

LOC(a ijk )= LOC(a 111)+ [(i-1)*n*p+(j-1)*p+(k-1)]*d

在Visual C++语言中，因数组下标从0起，故

LOC(a ijk )=LOC(a 000)+(i*n*p+j*p+k)*d

（3）对于一般的二维数组A[c 1 … d 1,c 2 … d 2]

LOC(a ij )=LOC(a c1c2)+[(i-c 1)*(d 2-c 2+1)+j-c 2]*d

5-1-3 特殊矩阵

矩阵在存储中常用二维数组，而对于一些特殊的矩阵，可将其按一定规律压缩存储在一维向量中，如sa[ ]中。

1．对称矩阵

（1）特点：在n 阶方阵A 中有a ij =a ji （0≤i ，j ≤n -1）。

（2）存储：按行优先的存储顺序为：a 00,a 10,a 11,a 21,a 22, … a n-1 0,a n-1 1 … a n-1 n-1 （3）元素的二维下标(i ，j)与其在一维向量中的位置k 的对应关系：

I=max(i ，j)， J=min(i ，j) k=I*(I+1)/2+J

LOC(a ij )=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k*d=LOC(sa[0]+[I*(I+1)/2+J]*d

2．三角矩阵

（1）特点：n 阶方阵A 中，上三角或下三角（不包括主对角线）元素均为常数c 。

（2）存储：按行优先存放。 上三角矩阵的存储序列为：

下三角矩阵的存储序列为：

第行第行第行常数

（3）元素的二维下标（i,j ）与其在一维向量中的位置k 的对应关系： 上三角矩阵：

⎩⎨

⎧+-++-=1)/2

(n *n i

j 1)/2i (2n *i k 下三角矩阵：

⎩

⎨

⎧+++=1)/2(n *n j

1)/2(i *i k 即有：LOC(a ij )=LOC(sa[k]) 3．对角矩阵

（1）特点：除对角线和其相邻两侧的若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零。 （2）存储：以3条带的带状矩阵为例，即主对角线两侧各有一条带的元素，见图5-1。

其存储特点为第一行和最后一行为两个元素，其他各行为3个元素。 a 00 a 01 a 10 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 … … …

a n-2n-3 a n-2n-2 a n-2n-1

a n-1n-2 a n-1n-1

图5-1 n ×n 的带状矩阵

（3）按行优先的存储序列为：

-3])

元素的二维下标(i,j)与其在一维向量中的位置k 的对应关系： k=3i -1+j -i ＋1=2i+j i ≤ j

i>j （常数c 的位置）

i ≤ j

i>j （常数c 的位置）