多目标优化问题

多目标问题的定义

多目标优化问题的定义为：在可行域中确定由决策变量组成 的向量，使得一组相互冲突的目标函数值尽量同时达到极小。 设有 q 个优化目标，且这 q个优化目标可能是相互冲突的。 其数学表达式为：


minz1 =f z2 =f2(x), L, zq =fq(x) 1(x), s.t.gi(x) 0, i=1, 2, L, m
NSGA



非支配排序遗传算法NSGA（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm）是由Srinivas和Deb于1995年提出的， 这是一种基于Pareto最优概念的遗传算法。 优点：优化目标个数任选，非劣最优解分布均匀，并允许 存在多个不同的等价解。 缺点： 3 a）计算复杂度较高，算法复杂度是O MN (其中N为种群 大小，M为目标函数的个数)，当种群较大时，计算相当耗 时； b）没有精英策略，精英策略能加速算法的执行速度，而且 也能在一定程度上确保已经找到的满意解不被丢失； c）需要指定共享半径 share
NSGA-II
4.精英保留策略:
首先，将父体和子代全部个体合并成一个统一 的种群放入进化池中，种群的个体数成为2N。然后 种群按非劣解等级分类并计算每一个体的局部拥挤 距离。依据等级的高低逐一选取个体直到个体总数 达到N，从而形成新一轮进化的父代种群，其个体数 为N。在此基础上开始新一轮的选择，交叉和变异， 形成新的子代种群。这种方法可加快进化的速度。
设p和q是Pop中的任意二个个体，我们称p支配 （dominated）q，则必须满足下列二个条件： （1）对所有的子目标，p不比q差。 即 fk ( p) fk (q)(k 1, 2,, r)，其中r为子目标的数量 （求极小值） 。 （2）至少存在一个子目标，使p比q好。 即 l {1, 2,, r}, 使fl ( p) fl (q) 此时称p为非支配的，q为被支配的。
NSGA-II

2000年，Deb等人针对NSGA的不足之处，提出NSGA的改进算 法—带精英策略的非支配集排序遗传算法（NSGA-II）。 1.提出了非支配集排序的方法，以降低算法的计算复杂度。 2.采用拥挤度距离，代替了需要指定共享半径的适应度共享 策略，并在快速排序后的同级比较中作为胜出标准，使 Pareto域中的个体能扩展到整个Pareto域，并均匀分布。 3. 它采用了新的选择操作：在包含父种群和子种群的交配池 中，依照适应度和分布度选择最好的N（种群大小）个个体， 从而使解有较好的收敛性。
多目标优化的国内外研究现状
1.传统的方法：权重法，约束法，混合法，目标规划 法，最大最小法等。 特点：将多个目标聚合成一个函数。 缺点：各目标加权值的分配带有较大的主观性；优化 过程中各目标的优度进展不可操作等；在处理高维数、 多模态、非线性等复杂问题上存在许多不足。

多目标优化的国内外研究现状
P[i]dis tan ce ( P[i 1]. f k P[i 1]. f k )
k 1 r
NSGA-II
3.选择运算: 选择过程使优化朝Pareto最优解的方向进行并 使解均匀散布。比较两个个体，如果非劣等级不同， 则取等级高（级数值小）的点。否则，如果两点在 同一等级上，则取比较稀疏区域内的点，以使进化 朝非劣解和均匀散布的方向进行。


NSGA-II
1.快速的非劣解分类方法： 为了根据个体的非劣解水平将种群分类，必须将每一个 体与其他个体进行比较。NSGA-II算法采用快速的非劣解分 类方法，计算速度提高。 首先，对每一个解计算两个属性： （1）ni，支配解i的解数目； （2）si，解i所支配解的集合。 找到所有ni=0的解并将其放入F1，称F1是当前非劣解， 其等级为 1。对当前非劣解中的每一个解i，考察其支配集 中si的每一点j并将nj减少一个，如果某一个体j其nj成为零， 我们把它放入单独的类H。如此反复考察所有的点，得到当 前非劣解H。依次类推，直至所有解被分类。

其中， gi ( x) 0 为不等式约束条件。
可行域 S 为： S = {x Rq | gi (x) 0, i = 1,2, , m}
目标空间 Z 为： Z = {z Rq | z1 f1 ( x), z2 f2 ( x),, zq fq ( x)}
支配关系
NSGA-II
2. 拥挤距离的计算 : 为了保持个体分布均匀，防止个体在局部堆积， NSGA-II算法首次提出了拥挤距离的概念。它指目标 空间上的每一点与同等级相邻两点之间的局部拥挤 距离。使用这一方法可自动调整小生境，使计算结 果在目标空间比较均匀地散布，具有较好的鲁棒性。
NSGA-II
P[i]dis tan ce ( P[i 1]. f1 P[i 1]. f1 ) ( P[i 1]. f 2 P[i 1]. f 2 )
多目标优化的国内外研究现状
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2.多目标优化遗传算法：VEGA，HLGA，FFGA， MOGA，NPGA，NSGA，SPEA，NSGA-II， SPEA2，PAES
缺点： 1.多目标遗传算法的局部搜索能力较差 2.求解过程依赖于染色体的表示形式，即与个体 编码方式的关系很密切 3.非劣最优解域收敛性分析困难 4.参数较多，如果设臵不恰当会导致算法运行的 性能下降
支配关系
其中1、2、3、4代表四个可行解，点4表示的解支配点 1、2、3所表示的解，点2、3所表示的解均支配点1表 示的解；点2与点3所表示的解彼此不相关。
Pareto 边界
非劣解又称为Pareto最优解，多目标优化问题有很 多个Pareto最优解，解决多目标优化问题的关键在 于获得有这些Pareto最优解组成的集合。Pareto 最 优解集在解空间中往往会形成一条边界线（面）。

遗传算法是模拟自然界生物进化过程与机制，求解 优化与搜索问题的一类自组织、自适应的人工智能技术。 由于遗传算法是对整个群体进行的进化运算操作，它着 眼于个体的集合，而多目标优化问题的非劣解一般也是 一个集合，遗传算法的这个特性表明遗传算法非常适合 求解多目标优化问题。近年来，遗传算法应用于多目标 优化领域 。