多目标优化设计方法

gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k )
i 满足归一性和非负性条件

i 1
L
i
1
i 0 (i 1, 2,..., L)
7.3 主要目标函数法 基本思想：从所有 L 个子目标函数中选出一个设 计者认为最重要的作为主要目标函数，而将其余 L-1 个子目标限制在一定的范围内，并转化为新的约束条 件，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 设f2(X)为主要目标函数，则优化的数学模型为：
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解
设 X * D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X *) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
* 若干个最优解组成的集合称为绝对最优解集,用 Dab 表示。
若干个有效解组成的集合称为有效解集,用 D*pa 表示。
7.1 概述（续）
3、弱有效解（弱非劣解） 设 X * D 若不存在 X D ,使
fi ( X ) fi ( X *)(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的弱非劣解或弱有 效解。
* D 所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集,用 wp 表示。
2
这时权数可取为：i 1 fi ( X ) , i 1, 2,..., L 目的：在评价函数中使各子目标在数量级上达到 统一平衡。
（3）加权因子分解法
i 2i (i 1, 2,..., L)
* 1i

* 1i
本征权因子，反应第 i 个目标的相对重 要程度。 校正权因子，用于调整各目标在量级 方面差异的影响。
每个子目标都用一个功效函数di表示
di di ( fi ( X )) (i 1, 2,..., L)
——其值为功效系数
功效函数的范围[0,1]
fi(X)的值满意时，di=1 fi(X)的值不满意时，di=0
7.4 功效系数法（续）
二、评价函数 用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数
传动效率尽可能高
机械耗损率 f 4 ( X ) 尽可能小。
在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的 问题称为多目标优化设计问题。
7.1 概述（续）
例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将 零件车削成形，为选择合适的切削速度和每转给进量， 提出以下目标：
机械加工成本最低；
生产率最高； 刀具寿命最长。 还应满足的约束条件是： 进给量小于毛坯所留最大加工余量 刀具强度等
只有当 F(X) 的各个子目标 fi(X) 的最优点都存在，并且 全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。
7.1 概述（续）
2、有效解（非劣解）
设 X * D (D为可行域）， 若不存在 X D ，使
fi ( X ) fi ( X *)(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的非劣解或有效解。
7.1 概述（续）
对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多
目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：
求：
X [ x1 , x2 ,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量 向量形式的目标函数 设计变量应满足的所 有约束条件
min F ( X ) [ f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f L ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k )
凭经验评估，并结合统计处理来确定权数的方法。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。
（2）容限法 若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：
i fi ( X ) i , i 1, 2,..., L
则称
fi ( X )
i i
2
(i 1, 2,..., L)
为该目标函数的容限
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法（续)
2、解法： 直接法： 直接求出非劣解，然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题 间接法
线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、 平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
分层序列法、宽容分层序列法
fi (2) fi ( X ) di ( fi ( X )) (2) fi fi (1) (i 1, 2,..., S )
7.4 功效系数法（续）
三、功效函数的确定（续）
3、对于后面L-S个要求极大化的子目标函数fi(X)，若 规定对应的功效函数满足
1 di ( fi ( X )) 0 fi ( X ) fi (2) fi ( X ) fi
X ( x1 , x2 ,..., xn )T
2 * 2 min f ( X ) [ f i ( X ) f i ] i 1 s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) L 1
h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k )
权因子的确定方法： 在确定权因子前，应先将各子目标函数进行 无量纲化，处理的方法是：
fi ' ( X ) fi ( X ) min fi ' ( X )
X D
fi ' ( X ) 是多目标问题中某个带量纲的子目标；
fi ( X ) 是作了无量纲处理后的第i个子目标函数
(1) 专家评判法（老手法）
三者之间关系：
* * Dab D* D pa wp D
在多目标优化设计中，如果一个解使每个分目标函数 值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法
1、特点 多目标优化是向量函数的优化（单目标函数是标 量函数的优化）； 对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其 优劣； 多目标优化问题得到的可能只是非劣解（有效解）， 而非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最 优解。
X D X D 1 2 l
D为可行域，f1(X)， f2(X)， …， fl(X)为各个子目 标函数。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
优化的数学模型为 X ( x1 , x2 ,..., xn )T
min f ( X ) i fi ( X )
i 1 L
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k )
注意： 1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。 2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
2 i
2i 1 fi ( X ) ,(i 1, 2,..., L)
目的：使目标变化快慢不一致的趋于一致。
2
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 2、理想点法 基本思想：使各个目标尽可能接近各自的最优值， 从而求出多目标函数的较好的非劣解。 步骤：先用单目标优化方法求得各子目标的约束最 优值和相应的最优点，然后构造评价函数。 评价函数：
f ( X ) L d1d 2 dL
f(X)的值越大，设计方案越好；反之越差； 0 f ( X ) 1 f(X)=1时，表示取得最满意的设计方案
f(X)=0时，表示此设计方案不能接受
该评价函数不会使某一个目标最不满意 ——功效 系数法的特点
三、功效函数的确定
(a)目标函数 越大越好
(b)目标函数 越小越好
7.2 统一目标函数法（综合目标法） 一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X) 统一到一个新构成的总的目标函数
f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统 — 目标函数的单目标问题来求解． 即：
minF ( X ) min F ( f ( X ), f ( X ),..., f ( X ))
7.4 功效系数法（续）
三、功效函数的确定（续）
2、对于前S个要求极小化的子目标函数fi(X)，若规定 对应的功效函数满足
1 di ( fi ( X )) 0 fi ( X ) fi (1) fi ( X ) fi
(2)
(i 1, 2,..., S )
则可得线性功效函数为
7.4 功效系数法 基本思想： 先按各子目标值的“优”或“劣”（即“功 效”）分别求出与其对应的功效函数，然后再由 各个功效函数构造出问题的评价函数进行求解。 目的是将多目标优化问题转化为单目标 优化问题
7.4 功效系数法 一、功效系数 极小值 多目标优化设 计中，各子目 标的要求不同
极大值
一个合适的数值
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 3、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数 i 构造评价函数。
评价函数：
X ( x1 , x2 ,..., xn )T min f ( X ) i [ fi ( X ) fi * ]2
i 1 L
s.t.
(1)
(i S 1,..., L)
则可得功效函数为
fi ( X ) fi (1) di ( fi ( X )) (2) fi fi (1) (i S 1,..., L)
7.4 功效系数法（续）
三、功效函数的确定（续） 4、对于L个子目标函数对应的功效函数为
fi (2) fi ( X ) (2) (1) fi fi di ( fi ( X )) (1) fi ( X ) fi (2) (1) f f i i (i 1, 2,..., S ) (i S 1,..., L)
X ( x1 , x2 ,..., xn )T min f 2 ( X ) s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k ) ft ( X ) ft 0 (t 1, 2,..., L)
ft 0 (t 1, 2,..., L) ——原问题第t个目标函数的上限值。
(c) 目 标 函 数 过 大过小都不好
7.4 功效系数法（续）
三、功效函数的确定（续） 对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多
目标优化问题，若有S个子目标函数为求极小，而其
余L-S个子目标函数为求极大时，各子目标对应的功
效函数的求法：
Hale Waihona Puke Baidu
1、在可行域D中求出各子目标函数的最小值和最大值
fi (1) min fi ( X ) X D (2) fi max fi ( X ) X D (i 1, 2,..., L)
7.1
概述
一、多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法
多目标优化的实例：
物美价廉
7.1 概述（续）
设计车床齿轮变速箱时，要求：

各齿轮体积总和 f1 ( X ) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和
f 2 ( X ) 尽可能小
使变速箱结构紧凑。

合理选用材料
使总成本 f 3 ( X ) 尽可能小。
评价函数：
f ( X ) L d1d 2
dL
5、优化问题的数学模型为：
X ( x1 , x2 ,...xn )T max f ( X ) L d1 ( f1 ( X )) d 2 ( f 2 ( X ))...d L ( f L ( X )) s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0, ( j 1, 2,...k )
即评价函数为： f ( X ) i fi ( X )
i 1 L
f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f L ( X )
——各子目标函数
L
1 , 2 ,..., L ——权数
i 应满足归一性和非负性条件

i 1
i
1
i 0 (i 1, 2,..., L)