多目标评估方法

2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算步骤
i. 判断矩阵
CK A1 A2
M
A1 a11 a21
M
A2 a12 a22
M
…… …… ……
M
An a1n a2n
M
An
an1
an2
……
ann
标度（aij）的含义：Ai比Aj 时由决策者回答下列问题所得
1 3 5 7 9 表示两个元素相比，具有同样重要性 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要
整体判断
定性判断
n个元素的两两比较。
定量表示（通过标量）
通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重
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2、基本模型—单层次模型 （3）计算步骤 i. 构造两两比较判断矩阵 ii. 计算单一准则下元素的相对重要性（层 次单排序） iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
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归一化
W 3.871
i 1 i
3
W1 0.105 W2 0.637 W3 0.258
0.105 W 0 . 637 0.258
( AW )i max i 1 nWi 0.318 1.196 0.785 3.307 3 0.105 3 0.637 3 0.258
多目标评估方法
AHP方法及其应用
2006.8
1
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层次分析法 (Analytics Hierarchy Process, AHP)
简 介
1 2 3 4 5
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基本模型 基本步骤 应用案例 应用软件
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1、简介 层次分析法是由美国匹兹堡大学教授 T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是 把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些 因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层 次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的 相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素 相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者 解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方 便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。
R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的， 下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：
维数 R.I. 1 0 2 0 3 0.52 4 0.89 5 1.12 6 1.26 7 1.36 8 1.41 9 1.46 10 1.49 11 1.52 12 1.54 13 1.56 14 1.58 15 1.59
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五．问题提出
中国女排在2007年一系列热身赛中成绩不 佳，透露出这么一个重要信息：我们应该怎 样科学地选拔上场队员。 是否应该认真的反 思一下历年来选拔队员 的程序和方法，它们是 否是在科学原则的指导 下进行的。
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一．问题提出 选择上场队员应该有一套科学的方法， 不然 即使再出一个郎平， 也不一定能够再登世界 之巅。
max 5 . 126
C.I =0.032 C.R. =0.028<0.1
d5
1/7
1/5
1
1/3
1
C1
C2
C3
d1 w11
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d2 W12
d3 W13
d4 w14
d5 w15
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（2）计算单一准则下元 素的相对重要性
C2-D d2 d2 d3 d4 d5 1 7 3 5 d3 1/7 1 1/5 1/2 d4 1/3 5 1 3 d5 1/5 2 1/3 1 W=(0.055,0.564,0.118,0.265)
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方根法
1 1 / 5 1 / 3 A 5 1 3 3 1 / 3 1
计算Mi 的n次方根
1 1 1 M 1 1 0.067 5 3 15 M 2 15, M 3 1
W1 3 M1 0.405, W2 2.466 W3 1
A W n W
w1
w2

wn w1 w1 w2 w w2 2 wn n M M w wn w n n wn w1
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2、基本模型—单层次模型
（1） 单层次模型结构
C
A1
A2
……
An
C—目标
Ai—隶属C的n个评价元素 决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评 价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
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2、基本模型—单层次模型 （2） 思想：
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（2）计算单一准则下元 素的相对重要性
ii. 第三层元素相对于第二层元素判断矩阵
C1-D d1 d1 d2 d3 d4 1 1/2 1/3 1/4 d2 2 1 1/3 1/2 d3 3 3 1 2 d4 4 2 1/2 1 d5 7 5 1 3 W =(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)
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（3）计算步骤
ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经 归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ
max
W
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
max 4.117
C.I=0.039 C.R.=0.042<0.1
C1
C2
C3
d1 w21
d2 W22
d3 W23
d4 w24
d5 w25
C3-D d1 d1 d2 d3 d4 1 1 1/3 1/3
d2 1 1 1/3 1/3
d3 3 3 1 1
d4 3 3 1 1
max 4
C.R.=0
W=(0.406,0.406,0.094,0.094)
C1
C2
C3
d1
d2
d3
d4
d5来自百度文库
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（3）计算各元素的总权重
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5 0.105 0.491 0.232 0.092 0.136 0.046 0.637 0 0.055 0.564 0.118 0.265 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0 0．157 0．164 0．393 0．113 0．172 C1 C2 C3 总权重
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4、应用案例
某厂有一笔企业留成利润要决定如何使 用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖 金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆； 购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动 积极性、提高职工技术文化水平、改善职工 物质文化生活三方面，据此构造各因素之间 相互联结的层次结构模型如下图所示。
W是 A 的最大特征值的向量
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AHP方法计算原理
实际评价时，并不知道这权重向量 比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近 似的比值aij aij～wi/wj 得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A. A～A 精确判断矩阵A 的最大特征值的向量 W= (w1, w2, …,wn) T 是完全精确的权重向量 近似判断矩阵A最大特征值的向量 W= (w1, w2, …,wn) T 可以作为近似的权重向量
A2 a2
b
2 1
…… ……
b
m 1
Am am B 层次元素组合权重
…… ……
M
b1
ab
i 1 m i 1
m
i i 1
1 b2
2 b2
b2m
M
i b2 a i b2
M
M
Bn
b
1 n
2 bn
……b
m n
i bn a i bn i 1
m
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（4）评价层次总排序计 算结果的一致性
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（2）计算单一准则下元 素的相对重要性
i. 第二层相对于第一层的判断矩阵
A
A-C C1 C2 C3 C1 1 5 3 C2 1/5 1 1/3 C3 1/3 3 1
C1 w1=0.105
C2 W2=0.637
C3 W3=0.258
W=(0.105,0.637,0.258) λmax=3.308 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R. C.I.=0.019 C.R.=0.033<0.1 说明判断矩阵的一致性可以接受。
（c）计算一致性比例C.R.： C.R.＝ C.I./ R.I.
当C.R.<0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
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3、多层次分析法基本步骤
1 2
3 4 建立递阶层次结构 计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型） 计算各层次上元素的组合权重（层次总排序） 评价层次总排序计算结果的一致性
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（1）层次结构图
目标层A A 合理使用企业留利 ××万元
C1 准则层C 调动职工劳动 积极性
C2
提高企业 技术水平
C3 改善职工物质 文化生活状况
d1 方案层D 发奖金
d2 扩建集体 福利设施
d3 办技校
d4
d5
建图 书馆
购买新 设施
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（4）结论
发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新 设备
W=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172)
C.I.=0.028 R.I.=0.923 CR=0.03<0.10 计算结果表明，对于合理使用企业留成利润 来说，办技校是首选的方案。
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（1）递阶层次结构
目标层
决策目标
准则层
准则1
准则2
…… ……
准则k
子准则层
子准则1
子准则2
子准则m
……
……
……
方案层
方案1
方案2
……
方案n
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（3）计算各元素的总权重
层次 A 权重 层次 B B1 B2
M M
A1 a1
b
1 1
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（3）计算步骤
判断矩阵中的元素具有下述性质
(i)aij 0 1 (ii)aij a ji (iii)aii 1
例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5 这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这 是AHP的特点之一。
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设：CI为层次总排序一致性指标： RI为层次总排序随机一致性指标。 m 其计算公式为： CI ai CI i
i 1
CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。
RI ai RIi
i 1 m
并取 CR CI
RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标
RI 当 CR 0.10 ，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。
w1 w 1 w2 A w1 wn w 1 w1 w2 wn w2 wn w n wn w1

是完全精确的判断矩阵
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AHP方法计算原理
满足
w1 w 1 w2 A W w1 wn w 1
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n
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AHP方法计算原理
问题
为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量
W (w1, w2 ,...wn )
T
可以作为评价单元A1, A2, …,An的权重向量？
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AHP方法计算原理 解释
假设事先已知这n个评价单元的权重向量为W (w1, w2 ,...wn )T 比较Ai与Aj重要性时，标量aij=wi/wj 是一精确比值 所构成的两两比较判断矩阵
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（3）计算步骤
iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验 a 在单层次判断矩阵A中，当 aij ik 时，称判断矩阵为一致性矩阵。 a jk 进行一致性检验的步骤如下： n （a）计算一致性指标C.I.： ，式中n为判断矩阵阶数。 C.I . max n 1 （b）计算平均随机一致性指标R.I.