多目标规划求解方法介绍

g2(x) 0
1, 2 0, 1 2 1
在像空间，
(P)等价为问题：(PF
min f ) s.t. ( f1,
1 f1
f2 )T
2 f2
F(S)
Байду номын сангаас
记 1 2 ，则 0 。 0 及 分别对应单目标问
题(P1)及(P2)。
当正数 1, 2 确定后，可得问题(PF)的最优值
f 1(x) f 2(x) … f p(x)
x(1) f 1(x(1)) f 2(x(1)) … f p(x(1))
…
……
x(p) f 1(x(p)) f 2(x(p)) … f p(x(p))
Mj
M1
mj
m1
M2 … Mp m2 … mp
Mj与mj规定了 f j (x) 在有效解集中的取值范围。
第二步：选择整数r>1，确定
。
2. 常用的两种d 产j 1生功效系数的方法：
dj 0
（1）线性型：
设
min xS
f j (x)
f min j
, max xS
f j (x)
f
, m a x
j
j
1,2,, p
由于 j 1,, k 时求 min f j (x) ，令
故取
dj
1
( f j (x)
f
min j
)
(
f
max j
fk1(x),, f p (x) 要求max。
由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。
1. 功效系数法：针对各目标函数
，用功效
系数 表示（俗称“打分”）f j：(x)( j 1,, p)
满足： d j
或
d j d j ( f j (x)) , j 1,, p
使最满意时0 d j 1 ，最0不 d满j 意1 时（即最差时）
f
0 j
的r个不同阀值：
f
0 jt
mj
r
t 1
(M
j
mj
),
j
1,,
k
1, k
1,,
p;t
0,1,,
r
1
第三步：对 t 0,1,,r 1 ，分别求解问题：
min (Pt j )s.t.
fk (x) gi (x) 0,i 1,2,, m
f j (x) f jt j 0, j 1,, k 1, k 1,, p
考虑： d e , b 0 e(b0b1f j )
j
1
（△）
显然，d j 有如下性质：
10. 当 f j 充分大时，d j 1 ；
20. d j 是 f j 的严格递增函数。
为了便于确定b0、b1，选取两个估计值
： f
0 j
,
f
1 j
取
f
1 j
为合格值（勉强合格，即可接受）；
f
0 j
为不合格值（不合格，即不可接受）。
p
j 0 , j 1 。取评价函数：
p
j 1
h(F(x)) j f j (x)
j 1
线性加权法是最常用的方法之一。
此法可直接解释(VP)有效解的Kuhn-Tucker条件。
△几何意义：
设n=2,p=2。线性加权法解问题：
min 1 f1(x) 2 f2 (x)
(P)s.t. g1(x) 0
令评价函数 h(F)
p
(
f j (x)
f
* j
)
2
，做为目标函数。
j 1
更一般地，取
p
h(F) (
(
f j (x)
f
* j
)q
)1
q
j 1
从不同角度出发，构造评价函数h(F)，求
问题 min h(F(x)) s.t. x S , 得到(VP)的有效解。
下面介绍一些评价函数的构造(即不同的方法)。
把此方法与分层序列法结合，取 q 1 ，用于线性多目
标规划，即得到目标规划方法（运筹学课中所学的）。
4. 虚拟目标法：
仍如“2、3”得到f
0 j
(
j
1,2,,
p)
，设f
0 j
0(
j
1,2,,
p)
取评价函数：
p
h(F)
((
f j (x)
f
0 j
)
f
0 j
)
2
j 1
5.线性加权法：
预先给出每一目标函数 fj(x) 的权系数 j ，满足
§3.3 多目标规划求解方法介绍
一、约束法
1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为 目标函数，其它目标处理为适当的约束。
(VP)V s.t.
min F (x) gi (x) 0, i
f1 ( x), , 1,, m
f p (x)
T
S x gi (x) 0,i 1,,m
无妨设 f1(x)为主要目标，对其它各目标 f2(x),, f p (x) 可预先
~
~
f j0 ( y) f j0 (x)
由于 ，即 ~
x S j0
~
f j0 (x)
f* j0
min xS j0
f j0 (x)
， 矛盾。得证。
4. 进一步讨论：
上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则 问题 Pj1,, Pp 的求解无意义，因为解都是唯一的。
实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法：
令
dj
e1
e
e
0.3679 , 0.0660 ,
f j (x) f j (x)
f
1 j
f
0 j
1
e
(
b0
b1
f
1 j
)
并取 ee ee e
e
(
b0
b1
f
0 j
)
得
b0
b1
f
1 j
0
b0
b1
f
0 j
1
解得：b0
f
1 j
(
f
0 j
f
1 j
)
,
b1
1
(
f
0 j
f
1 j
)
(b1 0)
代入式(△)，得到功效系数： dj
各目标函数 f j ( j k) 可对应不同的 t j (t j 0,1,, r 1（) 共
有 r p1 个约束问题）。求解后可得到(VP)的一有
效解集合，是(VP)有效解集合的一个子集。
例6：
V
min
F ( x)
f1 ( x),
f2 (x)T
s.t. g1(x) x1 x2 3 0
f p (x) x S p1
得最优值
f
* p
则 Sp
x
f p (x)
f
* p
Sp1 是在分层序列意义下的最优解集合。
3.
性质：
Sp
S
* pa
，即在分层序列意义下的最优解是有
效解。
证明：反证。设
~
xSp
，但
~
x
S
* pa
，则必存在
~
yS
使
~
~
F(y) F(x)
即至少有一个j0 ，使
~
~
f j ( y) f j (x), j 1,, j0 1,
~
f
，如图
18，可知 对应的原像 。 、 。 ~ f
~
x
S
* pa
~
~
~
f 1 f1 2 f2
~
~~
~
f1 f1(x), f2 f2 (x)
可以利用线性加权法来逼近有效解的集合，但不是一
种准确寻找所有有效解的有效方法。当μ从0→-∞时，可
得到非劣解的一个子集。如上图19所示。A、B为相应
集合的端点。
j=2只有一个
于是可得四组解，如图15所示。
~0
x
(1,4)T
,t
0,
f10
3,
f
0 2
15;
~1
x
(4.8,3.2)T
,t
1,
f11
17.6,
f
1 2
8;
~2
x
(6,1.75)T
,t
2,
f12
26.5,
f
2 2
1;
~3
x
(6,0)T
,t
3,
f13
30,
f
3 2
6
二、分层序列法：
1. 基本步骤：把(VP)中的p个目标 f1(x),, f p (x) 按其重 要程度排一次序。依次求单目标规划的最优解。
f
) min
j
d
j
1 , 0 ,
fj
f min j
fj
f max j
又 j k 1,, p 时求 max f j (x) ，令
dj
1 , 0 ,
fj
f max j
fj
f min j
故取
dj
( f j (x)
f
min j
)
(
f max j
f
min j
)
（2）指数型：
先讨论求最大的函数， j k 1,, p 。
取 1 0,, p1 0 为预先给定的宽容值，整个解法同原 方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：
^
^
S
x
f j (x)
f
* j
j
S j1, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1(x), f2 (x),, f p (x) 其中： f1(x),, fk (x) 要求min；
(LVP)
g2 (x) x1 x2 8 0 g3 (x) x1 6 0
g4 (x) x2 4 0
g5 (x) x1 0
g6 (x) x2 0
用约束法求解。设 f1(x) 为主目标。
第一步：分别求解
f1
min s.t.
f1 ( x) xS
得
x(1) (6,0)T
x(1) -30 x(2) 3
因此，约束法求得的解是有效解。
(P)问题中各目标函数期望值的取得有多种方法，
一种方法是取一点 ，而取
得到下列问题：
x(0) S
f
0 j
f j (x(0) ),
j
2,3,,
p
2. 算法一般步骤： min ~ (P)s.t.
f1 ( x) gi (x) 0,i 1,2,, m
f j (x) f j (x(0) ), j 2,3,, p
2.
平方和加权法： 求出各单目标问题
min (Pj)js.t.
f j (x) gi (x) 0,i
1,2,, m
最优值的下界
f
0 j
(期望的最好值)。
p
令评价函数 h(F)
j(
f j (x)
f
0 j
)
j 1
其中1, 2 ,, p 为预先确定的一组权数，且满足
p
j 0, j 1,2,, p; j 1 j 1
j 的值为各目标函数的权数，较重要的取值较大。
3. lg 范数和加权法：
同上面类似，先求出各单目标问题的最优值下界
f
0 j
，
取 q 1 ，构造评价函数：
p
h(F(x)) (
j(
f
j (x)
f
0 j
)q
)1
q
j 1
p
其中 j
为权系数，且 j
0, j 1,2,, p; j j 1
1
。
e ( e
f
1j
f
j
(
x
))
(
f
0 j
f
1 j
)
d e 同理可得当 j 1,, k 时的功效系数： j
(
e
f
j
(
x
)
f
1 j
)
(
f
0 j
f
1 j
)
3.利用功效系数求解问题(VP)：
设(VP)的功效系数为 d j d j ( f j (x)), j 1,2,, p
p
令 h(F) ( d j )1 p j 1
构造问题：
(P)max
h(F ( x))
(
p j 1
d
j(
f
j
( x)))1
p
s.t. gi (x) 0,i 1,, m
可以证明：上述问题(P)的最优解 x* ，即原问题
(VP)的有效解。
四、评价函数法：
1.理想点法：
设
f
* j
min xS
f
j (x),
j
1,2,,
p
，即各单目标问题的最优值。
2. 过程：无妨设其次序为 f1, f2 ,, f p
先求解
min (P1)s.t.
f1 ( x) xS
再解
min (P2 )s.t.
f2 ( x) x S1
依次进行，直到
得最优值 f1*
得最优值
f
* 2
，记 S1 x f1(x) f1* S
，S2
x
f2 (x)
f
* 2
S1
(Pp )ms.ti.n
C(6,2)T 、 D(4,4)T 、 E(1,4)T 、 F(0,3)T 是每两条直线
的交点。
F(A)=MA= (0,0)T ， F(B)=MB= (-30,6)T ，
考虑上述(VP)问题， 为主目标。
fk (x)
第一步： （1）对 j 1,2,, p ，求解单目标问题：
min (VPj )s.t.
f j (x) xS
得解 x( j) (x1( j) , x2( j) ,, xn( j) )T ；
（2）计算 x(1) , x(2) ,, x( p) 对应的各目标函数值，并对每个函 数 f j (x) ，求其p个点值中的最大值Mj和最小值mj。得到下表：
min s.t.
f2 ( x) xS
得
x(2) (1,4)T
Mj 3 mj -30
f1(x) 5x1 2x2
f2 (x) x1 4x2
f2 6 -15 6 -15
选定r=4: t 0 1 2 3
f
0 2t
-15
-8
-1
6
求解
min
f1 ( x)
(Pt j )s.t. x S
f2 (x) f2tj 0
当
0(1 0)
或
(2
0) 时，
~
x
可能是弱有效解，
如下图20。只有 AE*pa ，由A到B的其余点为弱有效点。
它们对应的原像为弱有效解。
例7：
V
min
F
(x)
f1 ( x),
f2 (x)T
s.t. g1(x) x1 x2 3 0
(LVP)
g2 (x) x1 x2 8 0 g3 (x) x1 6 0
g4 (x) x2 4 0
g5 (x) x1 0
g6 (x) x2 0
其中：f1(x) 5x1 2x2， f2 (x) x1 4x2
c1 (5,2)T c2 (1,4)T
F映射是由x1ox2到f1of2空间的一个线性变换。
F
(x)
Mx
5 1
2 4
x1 x2
可行域是多胞形H(A,B,C,D,E,F)。其A(0,0)T、 B(6,0)T 、
给定一个期望值，不妨记为
f20 ,
f30 ,,
f
0 p
，
则有 f
0 j
min xS
f
j (x),
j
2,3,,
p
求解下列问题： min (P)s.t.
f1 ( x) gi (x)
0, i
1,2,, m
f
j (x)
f
0 j
0,
j
2,3,,
p
容易证明，约束法求问题(P)的最优解，其
Kuhn-Tucker条件与(VP)有效解的K-T条件一致。