61 连续信号的相关函数

定义 设信号 x(t ) 和 y(t ) 为功率信号，令
rxpy ( )

lim
T
1 2T
T
x(t) y(t )dt ,
T
(1) 称 rxpy ( ) 为功率信号 x(t ) 和 y(t ) 的互相关函数； (2) 称 rxpx ( ) 为功率信号 x(t ) 的自相关函数。
关
则 rx y ( ) Fourier X ( f )Y ( f ) .
分
析 证明 令 g(t ) y ( t ) , 则 g(t ) 的 Fourier 变换为
G( f ) g(t )e j2π f tdt y ( t )e j2π f tdt


t t y (t )e j2π f tdt y (t )e j2π f tdt Y ( f ) .
关
信号 x (t) 的能量密度谱(简称能量谱)，记为 Ψ ( f ) .
分 析 意义 根据帕塞瓦尔(Parseval)等式，信号 x (t ) 的能量为：
E
x2(t)d t

|
X(
f
)|2
d
f
.


即时域中信号的能量等于频域中信号的能量(能量守恒).
因此，能量谱 | X ( f )|2 反映了信号的能量在频域中随频率的
y (t )

其中，rx y
x(t) y(t)dt ,

Ex
| x(t )|2 dt ,

E y
| y(t )|2 dt .


(信号的能量)

3
§6.1 连续信号的相关函数
第 一、连续信号的相关系数
六 章
目标
考察两个(实)信号 x(t) 和 y(t) 的相似性。
rx y ( )

x(t) y(t )d t



x (t) y ( ( t))d t

x( ) y( ) . 9
§6.1 连续信号的相关函数
第 三、连续相关函数的性质
六 章
3. 相关函数的频谱
相关定理 设 x (t ) Fourier X ( f ) , y (t ) Fourier Y ( f ) , 相
P lim 1 T x2(t)d t lim | XT ( f )|2 d f .
T 2T T
T 2T
可见，功率谱 Φ ( f ) 反映了信号的功率在频域中随频率
的变化与分布情况。 15
§6.1 连续信号的相关函数
第 五、连续信号的功率谱
六 章
3. 功率谱与相关函数的关系
相 意义 根据帕塞瓦尔(Parseval)等式，信号 xT (t)的能量为：
关 分
ET

xT2
(t)d
t


|
XT
(
f
)|2
d
f
.
析

1 2T
T x2(t)d t
T

1 2T
| XT ( f )|2 d f
.
Φ( f ) 令 T ，则得到信号 x(t )的功率 P 满足：

析
x y ( )
rx y ( ) ,
ExEy
y (t )
0
(1) 称 rx y ( )、 x y ( ) 为信号 x(t ) 和 y(t ) 的互相关函数，
其中 x y ( ) 称为标准化(或归一化)的互相关函数；
(2) 称 rxx ( )、 xx ( )为信号 x(t ) 的自相关函数。
min
Ex
1
rx2y ExEy
1

rx y ExEy
2 .
4
§6.1 连续信号的相关函数
第 一、连续信号的相关系数
六 章
定义
设信号 x(t ) 和 y(t ) 为能量信号，即
相
Ex
| x(t)|2 dt ,

Ey
| y(t)|2 dt ,
第 六
第六章 相关分析
章
相 §6.1 连续信号的相关函数
关 分
§6.2 离散序列的相关函数
析 §6.3 相关分析实验
1
§6.1 连续信号的相关函数
第 六
§6.1
连续信号的相关函数
章
一、连续信号的相关系数
相 关
二、连续信号的相关函数
分 析
三、连续相关函数的性质
四、连续信号的能量谱
五、连续信号的功率谱

关 分 析

令 rx y
x(t) y(t)dt ,

xy
rx y , ExEy
称 rx y 、 x y 为信号 x(t ) 和 y(t ) 的相关系数。
注 根据柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式，有
| x y | 1, 当且仅当 y(t) k x(t) 时，等号成立。 因此， x y 又称为标准化(或归一化)的相关系数，
相 定理 [维纳-欣钦(Wiener -Khintchine)定理 ]
关
功率信号的功率谱与自相关函数是一对 Fourier 变换：
分
析
rxpx ( ) Fourier Φ ( f )
其中，rxpx ( )

lim
T
1 2T
T
x(t) x(t )dt ,
T
Φ(
f
) lim T
f
)[

xT
(t
)
e

j
2π
f
t
dt
]
e
j2π f d
f
交换积
分次序
lim 1 T 2T

xT (t) [

XT (
f
)e
j2π f (t ) d
f
]dt
18
§6.1 连续信号的相关函数
第 附 维纳-欣钦(Wiener - Khintchine)定理的证明
2
§6.1 连续信号的相关函数
第 一、连续信号的相关系数
六 章
目标
考察两个(实)信号 x(t) 和 y(t) 的相似性。
x (t)
相
分析
(1) 记 (a) | x(t ) a y(t )|2 dt ,
关
分
则 (a) Ex 2a rx y a2E y .
析


又 rx y ( ) x( ) y( ) , 根据卷积定理有
rx y ( ) Fourier X ( f ) Y ( f ) .
10
§6.1 连续信号的相关函数
第 四、连续信号的能量谱
六 章
1. 能量谱的概念及意义
相 定义 设 x (t ) 为能量信号，其频谱为 X ( f )，则称 | X ( f )|2 为
有 rxx ( ) Fourier X ( f ) X ( f ) | X ( f ) |2.
即
rxx ( )
| X ( f )|2 e j2π f d f .

进一步，令 0 ，有
rxx (0)
| X ( f )|2 d f


x2(t)d t .
关
分
证明
rx y ( )

x(t) y(t )d t

t t

x(t ) y(t)d t

析


y (t) x (t ( ))d t

ryx ( ).
2. 相关与卷积的关系
性质 rx y ( ) x( ) y( ).
证明
若极限 lim | XT ( f )|2 存在，则该极限称为信号 x(t ) T 2T
的功率密度函数(简称功率谱)，记为 Φ( f ) , 即
Φ(
f
) lim T
1 2T
| XT (
f
)|2 .
14
§6.1 连续信号的相关函数
第 五、连续信号的功率谱
六 章
2. 功率谱的概念及意义
3e2t 2e3(t ) d t

6e3 e5t d t 6 e2 .

5
y (t ) y (t y(t)) x (t )


t
8
§6.1 连续信号的相关函数
第 三、连续相关函数的性质
六 章
1. “对称” 性质
相 性质 rx y ( ) ryx ( ) , rxx ( ) rxx ( ) .
x (t)
相
分析
(1) 记 (a) | x(t ) a y(t )|2 dt ,
关
分
则 (a) Ex 2a rx y a2E y .
析
y (t )
(2来自百度文库 令
d (a) 0 ,
da
得 a rxy , Ey

min

Ex

rx2y Ey
,
即得相对误差为
变化情况。它对研究信号的能量分布以及确定信号所占有的
频带等问题具有重要的作用。
11
§6.1 连续信号的相关函数
第 四、连续信号的能量谱
六 章
2. 能量谱与相关函数的关系
相 结论 能量信号的能量谱与自相关函数是一对 Fourier 变换。
关
事实上，根据相关定理：
分
析
rx y ( ) Fourier X ( f ) Y ( f ) ,
1 2T
| XT (
f
)|2 .
证明 (略)
(维纳-欣钦定理的证明)
16
§6.1 连续信号的相关函数
第 六 章
相 关 分 析
休息一下 ……
17
§6.1 连续信号的相关函数
第 附 维纳-欣钦(Wiener - Khintchine)定理的证明
六 章
(1) 设功率谱 Φ ( f ) 的 Fourier 逆变换为 ( ) ，则
六 章
(1) 设功率谱 Φ ( f ) 的 Fourier 逆变换为 ( ) ，则
相 关
( ) lim 1
T 2T

xT (t) [

XT ( f
)e
j2π f (t ) d f
]dt
分 析
lim 1
T 2T

xT (t ) xT (t ) dt

12
§6.1 连续信号的相关函数
第 五、连续信号的功率谱
六 章
1. 功率信号的相关函数
相
如果信号为功率信号，即 P lim 1 T | x(t)|2 dt ,
T 2T T
关 分
且能量为 E , 则前面所定义的相关函数以及能量谱就
析
失去意义，因此需要重新定义。

rx y ( )
x(t) y(t ) dt .

下面主要对实信号的情况进行讨论。
7
§6.1 连续信号的相关函数
第 例 设 x (t ) 3e2t u(t ) , y (t ) 2e3t u(t ) , 求相关函数 rx y ( ) .
六
章
解
rx y ( )
6
§6.1 连续信号的相关函数
第 二、连续信号的相关函数
六 章
意义
主要用来提取两个信号之间的时差，
x (t)
从而进行信号的时差校正与信号匹配。 相
关 分
如图，当 时移量 0 时，
析
即 y(t)向右移动 | 0|时，
y (t )
rx y ( ) 达到最大值。
0
注 当信号 x(t )、y(t ) 为复信号时，互相关函数定义为：
lim 1
T 2T
T
T x (t ) xT (t ) dt
t t
lim 1 T 2T
T
T x (t ) xT (t )dt
lim 1
T 2T
相
( ) Φ( f ) e j2 f d f
关
分 析


lim
T
1 2T
| XT (
f
)|2
e
j2π f d
f
lim 1
T 2T

XT
(
f
)
XT
(
f
)
e
j2π
f
d
f
lim 1
T 2T

XT (
它定量地刻画了两个信号之间的相似程度。 5
§6.1 连续信号的相关函数
第 二、连续信号的相关函数
六 章
目标
考察信号 y(t) 移动后与 x(t) 的相似情况。
x (t)
相 定义 设信号 x(t ) 和 y(t ) 为能量信号，
关 分

令 rx y ( )
x(t) y(t )dt ,
13
§6.1 连续信号的相关函数
第 五、连续信号的功率谱
六 章
2. 功率谱的概念及意义
定义 设信号 x(t ) 为功率信号，令 相
关 分
xT (t)


x(t),
|t| T,
析
0, |t| T,
(其中 T 0 )
将信号 xT (t) 的 Fourier 变换(即频谱)记为 XT ( f ),

x(t) y(t )d t ,

x (t)
相 关
(1) 当 0 时，
分 析
rx y ( )
3e2t 2e3(t ) d t
0
6e3 e5t d t 6 e3 .
0
5
t
y (t )
t
(2) 当 0 时，
rx y ( )