浙江省绍兴一中2011届高三回头考试数学(理)试题

绍兴一中高三数学回头考（理科）试卷(11.02)
班级 姓名 学号
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1
2
3
4
5
6
7
8
9[来源:学&科&网Z&X&X&K]
10
[来源:学科网ZXXK]
二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11． ； 12． ； 13． ；
14． ； 15．___ ____； 16． ；
17． ．
三、解答题:本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 18．在△ABC 中，已知角A 为锐角，且()2
1
2cos 2sin 2cos 2sin 12cos )(22++
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-+=
A A A A
A A f . （1）、将()A f 化简成()()N wA M A f ++=φsin 的形式；
（2）、若2,1)(,12
7===+BC A f B A π
，求边AC 的长.[来源:学。

科。

网]
19．正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，,E F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --．
（１）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；[来源:] （２）求二面角E DF C --的余弦值；
（３）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论.
[来源:学科网]
20．一个房间有3扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。

有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去。

鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 鸟飞向各扇窗子是随机的.
（1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第x 次试飞时飞出了房间,求试飞次数x 的分布列；
（2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y 次试飞时飞出了房间,求试飞次数y 的分布列；
A
B
C
D
E
F
A
B C
D
E
F
21．圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。

若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。

已知点00(,)P x y 、(,)M m n 是圆锥曲线C 上不与顶点重合的任意两点，MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点
(,0)F F x 。

（1）试用00,,,x y m n 的代数式分别表示E x 和F x ；
（2）若C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>（如图），
求证：E F x x ⋅是与MN 和点P 位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C ，试探究E x 和
F x 经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN 和点P 位置无关的定值，
写出你的研究结论并证明。

（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）
y E P
N
M
x
O F
22．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈，2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小
值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．
（1）已知函数()2sin ,[0,]2
f x x x π
=∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式，并判断()f x 是否
为[0,]2π
上的“k 阶收缩函数”，如果是，请求对应的k 的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知0b >，函数32()3g x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围.
绍兴一中高三数学回头考（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．设,P Q 为两个非空实数集合，定义集合P Q +={}
,a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，
{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数为( B )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 2．已知sin 20α<，且cos 0α>，则α的终边落在（D ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（ A ）
A ．23
B ．3
C ．22
D ．4 4．若{}*1112()1n
n n n
a a a a n N a ++==∈-数列满足，，则该数列的前2011项的乘积12320102011a a a a a ⋅⋅⋅
⋅⋅= ( A )
A ．3．
B ．-6．
C ．1-．
D ．
23
． 5．已知函数2221,0
()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩
，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等
式成立的是
A ．12()()0f x f x +<
B ．12()()0f x f x +>
C ．12()()0f x f x ->
D ．12()()0f x f x -< 6．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数29y x =-图象上任意两个“左
整点”作直线，则倾斜角大于45︒的直线条数为 （B ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
7．定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令
*a b mq np =-。

给出以下四个命题：（1）若a 与b 共线，则*0a b =；（2）**a b b a =；
（3）对任意的R λ∈，有()*(*)a b a b λλ=；（4）2
2
2
2
(*)()a b a b a b +⋅=⋅。

（注：这里a b ⋅指a 与b 的数量积）
输入x
x x π
=-是
否
结束
输出y x π<
开始 tan y x
=则其中所有真命题的序号是（ C ）
（A ）（1）（2）（3） （B ）（2）（3）（4） （C ）（1）（3）（4） （D ）（1）（2）（4） 8．已知定点12(2,0),(2,0)F F -，N 是圆2
2
:1O x y +=上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是
（ B ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
9. 设非空集合{}
S x m x l =≤≤满足：当2
x S x S ∈∈时，有，给出如下三个命题：①若
{}1,1m S ==则；②若11
,1;24
m l =-≤≤则③若12,02l m =-
≤≤则；其中正确的命题的个数为（ D ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．已知满足条件12
2
≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域面积为1S ，满足条件1][][2
2
≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域的面积为2S ,其中][][y x 、分别表示不大于y x ,的最大整数，例如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则21S S 与的关系是（ A ）
A. 21S S <
B. 21S S =
C. 21S S >
D. 321+=+πS S [来源:学。

科。

网Z 。

X 。

X 。

K]
第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）
二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分．[来源:Z*xx*] 11． 如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为22
3
π时，输出的y 的结果为
3 .
12．在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为
31i
i
+-,2i -+，0, 则第四个顶点对应的复数为 i 31+- . 13．若454233241)1()1()1()1(x a x a x a x a x a =+-+-+-+-，则
234a a a ++的值为 14 ．
14．若A 为不等式组0,0,2x y y x ⎧⎪
⎨⎪-⎩
≤≥≤ 表示的平面区域，则a 从-2连续
变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为
74
15．已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x,y ∈R ，都有
()()()f x y xf y yf x ⋅=+成立． 数列{}n a 满足(2)n n a f =()n ∈*N ，且12a =.则数列的
通项公式n a =___n
n 2⋅____ .
16．一个正方体，它的表面涂满了红色，把它切割成27个完全相等的小正方体，从中任取2个，其中1个恰有一面涂有红色，另1个恰有两面涂有红色的概率为
39
8 17．定义：如果函数00()[]y f x a b x a x <b =<在定义域内给定区间，上存在()，满足
0()()
()f b f a f x b a
-=
-，则称函数()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均
值点．如4
[11]
y x =-是，上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数2()1[11]f x x mx =-++-是区间，上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 0<m<2 ． 三、解答题:本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 18．在△ABC 中，已知角A 为锐角，且()2
1
2cos 2sin 2cos 2sin 12cos )(22++
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-+=
A A A A
A A f . （1）、将()A f 化简成()()N wA M A f ++=φsin 的形式（6分）；
（2）、若2,1)(,12
7===+BC A f B A π
，求边AC 的长. （7分）
； 解：（1）()21
2cos cos 2sin cos 22++=A A A A A f （2分）
2
1
2cos sin cos ++
⋅=A A A （1分） )12cos 2(sin 21
++=A A （1分） 2
1)42sin(22++=πA （2分） （2）由.2
2)42sin(,121)42sin(221)(=+∴=++=ππA A A f 得（2分） .
12
5.3,127.4,4342π
πππππ=∴=∴=+==+∴C B B A A A 又（A,B,C 各1分 共3分） 在△ABC 中，由正弦定理得：
.sin sin BC AC A B = sin 6sin BC B
AC A
∴== （2分） 19．正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，,E F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --．
（１）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （２）求二面角E DF C --的余弦值；
（３）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论.
解：法一：（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴AB ∥平面DEF . （II ）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD
∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角
∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD
取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BC D 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角…………6分
在Rt △EMN 中，EM =1，MN =
2
3 ∴tan ∠MNE =
233，cos ∠MNE =7
21
………………………8分 （Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE……………………10分 证明如下：在线段BC 上取点P 。

使BC BP 3
1
=
，过P 作PQ ⊥CD 与点Q ， ∴PQ ⊥平面ACD ∵3
3231==
DC DQ 在等边△ADE 中，∠DAQ=30° ∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE………………………………13分
法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2）B （2，0，0）C （0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32F E ……4分 平面CDF 的法向量为)2,0,0(=DA 设平面EDF 的法向量为),,(z y x n =
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
n DF 即)3,3,3(0303-=⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+n z y y x 取 7
21
|
|||,cos =
>=
<n DA 所以二面角E —DF —C 的余弦值为721 …8分
A
B
C
D
E
F
A
B C
D
E
F
（Ⅲ）在平面坐标系xDy 中，直线BC
323+-=x y
设2,332,(),0,332,(--=-x x x x P 则x DE AP 340=⇔=
⇔=⋅⇔⊥∴…………………12分
所以在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE …………………………13分
另解：设3
3
2023),0,,(=
∴=-=
⋅y y y x P 则 又)0,32,(),0,,2(y x y x --=-= …………………………12分
323)32)(2(//=+∴-=--∴y x xy y x PC BP
把x y 3
1
,34332=∴==
代入上式得所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE …………….13分
20．一个房间有3扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。

有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去。

鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 鸟飞向各扇窗子是随机的.
（1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第x 次试飞时飞出了房间,求试飞次数x 的分布列；
（2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y 次试飞时飞出了房间,求试飞次数y 的分布列；
解：（1）试飞次数x 的分布列如下： ……………………………………………………………………………7分 （2）()11P y ==
，()12P y ==，()1
3P y ==。

试飞次数y 的分布列如下：
x
21．圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。

若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。

已知点00(,)P x y 、(,)M m n 是圆锥曲线C 上不与顶点重合的任意两点，MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点
(,0)F F x 。

（1）试用00,,,x y m n 的代数式分别表示E x 和F x ；
（2）若C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>（如图），
求证：E F x x ⋅是与MN 和点P 位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C ，试探究E x 和
F x 经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN 和点P 位置无关的定值，
写出你的研究结论并证明。

（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分） 解． （1）因为MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，所以(,)N m n - 则00:()MP y n
l y n x m x m
--=
-- ……………. 2分 令0,y =则00
0E my nx x y n
-=
-……………. 4分
同理可得：00
0F my nx x y n
+=
+，……………. 6分
（2）由（1）可知：2222
0022
0E F m y n x x x y n -⋅=-……………. 8分
,M P 在椭圆C ：22221x y a b
+=上，222222
0022(1),(1)x m n b y b a a ∴=-=-，
则2222
2
202220
2220222
222200222(1)(1)()()(1)(1)E F x m m b b x b m x a a x x a x b m
m x b b a a a
----⋅===----（定值） E F x x ∴⋅是与MN 和点P 位置无关的定值 …………. 12分
y E P
N
M
x
O F
（3）第一层次：
①点P 是圆C ：222
x y R +=上不与坐标轴重合的任意一点，MN 是垂直于x 轴的垂轴
弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x ，则2
E F x x R ⋅=。

(16)
分
证明如下：由（1）知： 2222
0022
0E F m y n x x x y n -⋅=-
,M P 在圆C ：222x y R +=上，22222200,n R m y R x ∴=-=-，
则2222222222000222222
00()()()
()()()
E F m R x R m x R m x x x R R x R m m x ----⋅===---- E F x x ∴⋅是与MN 和点P 位置无关的定值
②点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上不与顶点重合的任意一点，MN 是垂直
于x 轴的垂轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x ，则
2E F x x a ⋅=。

……………. 16分
证明如下：由（1）知： 2222
0022
0E F m y n x x x y n
-⋅=-
,M P 在双曲线C ：22221x y a b
-=上，22
22220
022(1),(1)x m n b y b a a ∴=-=-，
则22
22
22
022*********
22
2200222(1)(1)()()(1)(1)E F x m m b b x b x m a a x x a x b m x m b b a a a
----⋅===---- E F x x ∴⋅是与MN 和点P 位置无关的定值
第二层次：
点P 是抛物线C ：2
2(0)y px p =>上不与顶点重合的任意一点，MN 是垂直于x 轴的垂轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x ，则0E F x x +=。

…………. 18分
证明如下：由（1）知： 220022
02()
E F my n x x x y n
-+=-，
,M P 在抛物线C ：22(0)y px p =>上，22002,2y px n pm ∴==
则2200002222
002()2(22)
0E F my n x m px pmx x x y n y n
--+===-- E F x x ∴+是与MN 和点P 位置无关的定值
22．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈，2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小
值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．
（1）已知函数()2sin ,[0,]2
f x x x π
=∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式，并判断()f x 是否
为[0,]2π
上的“k 阶收缩函数”，如果是，请求对应的k 的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知0b >，函数32()3g x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 解：（1）由题意可得，1()0f x =，2()2sin ,[0,]2f x x x π
=∈．
于是21()()2sin f x f x x -=．
若()f x 是为[0,]2π上的“k 阶收缩函数”，则2sin x kx ≤在[0,]2π上恒成立，且0[0,],2x π
∃∈
sin (1)x k x >-使得2成立.
令()sin x x x ϕ=-,[0,]2x π∈，则()cos 10x x ϕ'=-<，所以()sin x x x ϕ=-在[0,]2π
单调递减，
∴()(0)x ϕϕ≤,[0,]2x π∈，即sin x x ≤，于是2sin 2x x ≤在[0,]2π
恒成立; 又0,2
x π
∃=
2sin x x >成立．
故存在最小的正整数2k =，使()f x 是为[0,]2π
上的“２阶收缩函数”．…………6分
（2）()2()3632g x x x x x '=-+=--,令'()0g x =得0x =或2x =. 函数()g x ,'()g x 的变化情况如下： x (-∞,0) 0
(0,2)
2 (2,+∞) y’ - 0[来源:Z+xx+] + 0 - y
减
极小
增
极大
减
…………………… 8分
ⅰ）2b ≤时，()g x 在[0,]b 上单调递增，因此，()322()3g x g x x x ==-+，()1()00g x g ==. 因为32()3g x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数， 所以，①()()21()20g x g x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；
②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0g x g x x ->-成立.
①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥， 要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤.
②即：存在[0,]x b ∈，使得()
2310x x x -+<成立.
由()
2310x x x -+<得：0x <x <<
，所以，需且只需b >.
综合①②1b <≤.
………………12分 ⅱ）当2b >时，显然有3
[0,]2
b ∈，由于()f x 在[0,2]上单调递增，根据定义可得：
2327()28f =
，13()02f =，可得 213327
3()23228
2f f ⎛⎫-=>⨯= ⎪⎝⎭， 此时，()()21()20f x f x x -≤-不成立.
综合ⅰ）ⅱ1b <≤.
……………14分
注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用3
2
只是因为简单而已.。