数学史与初中数学教学(汪晓勤)
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x2 2 x 在1和2之间 1.42 1.96, 1.412 1.9881, 1.4142 1.999396, 1.41422 1.99996164,
结论：找不到一个有限小数或无限循环小数表示x。
案例2 实数的概念
• 概念形成
➢ 2 的引入，几何意义 ➢ 根号的历史 问题4：面积为3和5的正方形边长分别为多少？ ➢ 无理数的定义 视频：无理数的历史（无理数的发现；无理数理论 的发展；无理数的辞源）
数学史的教育价值与数学课程目标
数学课程目标
四基
四能
核心素养
情感与信念
知识之谐
方法之美
探究之乐
能力之助
文化之魅
德育之效
数学融入数学教学
背景
选题与准备 确定课题 查阅历史 搜集素材
研讨与设计 教学设计 交流研讨 改进设计
实施与评价 实施教学 学生反馈 同行评议
整理与写作 教学实录 资料分析 撰写课例
HPM教学设计、实施、评价与案例写作
案例2 实数的概念
问题2：已知正方形边长为1，如何求它的对角线呢？ 思考：我们知道，已知正方形的面积，可以求相应的 边长。那么，能否构造以正方形对角线为边长的正方 形呢？
案例2 实数的概念
拼图方案之一
拼图方案之二
案例2 实数的概念
拼图方案之三
案例2 实数的概念
问题3：所得到的正方形的面积为2，其边长为多少呢？
• 无理数和有理数的定义是如何产生的？
背景
HPM：Relationship between History and Pedagogy of Mathematics
ICME-2 ： 历史与教学 之关系国际 研究小组 （HPM）
ICME-3 ： HPM 正 式 隶属于国际 市教育委员 会 （ ICMI ）
案例 2 实数的概念
• 感悟理性精神
德育之 效
知识之 谐
• 再现无理数的 自然发现过程
• 生活中的无理数； • 无理数的历史 • 根号的历史
➢ 数学史料及其运用； ➢ 教学设计与实施
（教学环节+片段） ➢ 学生反馈（数据整
理） ➢ 结语（目标达成；
反思；启示）
背景
教师专业发展
学科内容知识
教学内容知识
一信般知念内识容
（CCK）
水平内容 知识
（HCK）
内容与学生知识（知Fra bibliotekC识S）专门内容 知识
（SCK）
内容与教学 知识
（KCT）
能力
内容与课程 知识
（趣味性、可学性、科学性、 人文性、有效性）； ➢ 数学史的运用方式（附加式、 复制式、顺应式、重构式）
实施与评价
课堂实施； 课堂观察； 学生反馈（问卷
调查与访谈）； 评议交流
背景
➢ 情感； ➢ 认知。
整理与写作
课堂实录； 数据整理； 课例写作； 论文发表； 教学反思
背景
➢ 引言（背景，教学 目标等）；
数学史与初中数学教学
背景
• 如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何实施数 学学科德育，日益受到人们的关注。
• 基于数学核心素养的培养要求，教师需要实现数学课堂的转型。 • 2017年普通高考考试大纲修订：充分发挥高考命题的育人功能
和积极导向作用，在数学中增加数学文化的内容。 • 数学史融入数学教材已经成了人们关注的重要课题。 • 数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来越多的
案例1 有理数的乘法
• 小结
如果司汤达来打我们今天的课堂，他对负负得正的 解释满意吗？
德育之效
➢ 质疑与探究； ➢ 说理与求真； ➢ 倾听与尊重； ➢ 困难与困惑； ➢ 思考与学问
案例2 实数的概念
• 复习旧知 • 新课探究 问题1：我们熟悉的A4纸，长和宽的比是什么？
案例2 实数的概念
问题1：我们熟悉的A4纸，长和宽的比是什么？
选题与准备
背景
教师按照教学进度确 定课题。
对相关主题的历史进 行研究。
选取合适的历史素材， 供教师学习。
设计与研讨
教师初步完成教 学设计。
共同体成员对进 行设计进行研讨。
教师对教学设计 进行改进。
背景
➢ 教学目标、重难点； ➢ 已发表或常用的教学设计； ➢ 数学史介绍； ➢ 教学设计中史料的适切性
（KCC）
教学取向的数学知识（MKT）的构成
案例1 有理数的乘法
• 引入 司汤达的故事。如何解决“债务乘以债务等于收入” 这一悖论？ M.克莱因的债务模型：某人每天欠债5美元。
三天以前欠债 (-3)(-5)
今日财务 0
三天后的财务 3(-5)
案例1 有理数的乘法
• 探究 类比M.克莱因的债务模型，提出其他解释。 • 归纳 债务模型；运动模型；运算模型；故事模型 • 拓展 微视频（历史上的其他模型）
中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。
有效教学
背景
学有所得
效果
成绩、认知、情感
效益 学有所用 育智、育德、育美
效率 学有得法
减负增效
背景
一门科学的历史就是这门 科学本身。
——歌德《颜色理论》序
歌德 J. W. von Goethe (1749-1832)
背景
F·克萊因（F. Klein, 1849-1925） 科学的教学方法只是诱导去作科学的思考，并不是一开 头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。推广这种 自然的真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识。
背景
• 数学史融入初中数学教学：材料、原则、方式与价值
数学史料
• 人物事件 • 概念术语 • 数学问题 • 公式定理 • 学科思想 • 工具符号
选材原则
• 趣味性 • 可学性 • 科学性 • 有效性 • 人文性
运用方式
• 附加式 • 复制式 • 顺应式 • 重构式
效果评价
• 知识之谐 • 方法之美 • 探究之乐 • 能力之助 • 文化之魅 • 德育之效
ICME-5 ： HPM卫星会 议在澳大利 亚举行
ICME-14 ： HPM 卫 星 会议将在中 国举行
1972
1976
1984
2020
背景
数学史 融入教 材研究
HPM与 教师专 业发展
HPM领域的研究课题
为何与 如何之
探讨
HPM
教学实 践与案 例开发
教育取 向之历 史研究
历史相 似性实 证研究
背景
背景
中学教师心目中的疑难问题
m
• 为什么规定 a n n am
，而不是
m
an
m
an
？
• 负负得正不能用数学语言来证明吗？只能通过数学模型来帮
助理解吗？
• 为什么把平面直角坐标系的四个部分叫象限？
• 正比例函数和反比例函数是什么意思？是“正向变化和反向 变化”？
• FUNCTION 为什么译为“函数”？
结论：找不到一个有限小数或无限循环小数表示x。
案例2 实数的概念
• 概念形成
➢ 2 的引入，几何意义 ➢ 根号的历史 问题4：面积为3和5的正方形边长分别为多少？ ➢ 无理数的定义 视频：无理数的历史（无理数的发现；无理数理论 的发展；无理数的辞源）
数学史的教育价值与数学课程目标
数学课程目标
四基
四能
核心素养
情感与信念
知识之谐
方法之美
探究之乐
能力之助
文化之魅
德育之效
数学融入数学教学
背景
选题与准备 确定课题 查阅历史 搜集素材
研讨与设计 教学设计 交流研讨 改进设计
实施与评价 实施教学 学生反馈 同行评议
整理与写作 教学实录 资料分析 撰写课例
HPM教学设计、实施、评价与案例写作
案例2 实数的概念
问题2：已知正方形边长为1，如何求它的对角线呢？ 思考：我们知道，已知正方形的面积，可以求相应的 边长。那么，能否构造以正方形对角线为边长的正方 形呢？
案例2 实数的概念
拼图方案之一
拼图方案之二
案例2 实数的概念
拼图方案之三
案例2 实数的概念
问题3：所得到的正方形的面积为2，其边长为多少呢？
• 无理数和有理数的定义是如何产生的？
背景
HPM：Relationship between History and Pedagogy of Mathematics
ICME-2 ： 历史与教学 之关系国际 研究小组 （HPM）
ICME-3 ： HPM 正 式 隶属于国际 市教育委员 会 （ ICMI ）
案例 2 实数的概念
• 感悟理性精神
德育之 效
知识之 谐
• 再现无理数的 自然发现过程
• 生活中的无理数； • 无理数的历史 • 根号的历史
➢ 数学史料及其运用； ➢ 教学设计与实施
（教学环节+片段） ➢ 学生反馈（数据整
理） ➢ 结语（目标达成；
反思；启示）
背景
教师专业发展
学科内容知识
教学内容知识
一信般知念内识容
（CCK）
水平内容 知识
（HCK）
内容与学生知识（知Fra bibliotekC识S）专门内容 知识
（SCK）
内容与教学 知识
（KCT）
能力
内容与课程 知识
（趣味性、可学性、科学性、 人文性、有效性）； ➢ 数学史的运用方式（附加式、 复制式、顺应式、重构式）
实施与评价
课堂实施； 课堂观察； 学生反馈（问卷
调查与访谈）； 评议交流
背景
➢ 情感； ➢ 认知。
整理与写作
课堂实录； 数据整理； 课例写作； 论文发表； 教学反思
背景
➢ 引言（背景，教学 目标等）；
数学史与初中数学教学
背景
• 如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何实施数 学学科德育，日益受到人们的关注。
• 基于数学核心素养的培养要求，教师需要实现数学课堂的转型。 • 2017年普通高考考试大纲修订：充分发挥高考命题的育人功能
和积极导向作用，在数学中增加数学文化的内容。 • 数学史融入数学教材已经成了人们关注的重要课题。 • 数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来越多的
案例1 有理数的乘法
• 小结
如果司汤达来打我们今天的课堂，他对负负得正的 解释满意吗？
德育之效
➢ 质疑与探究； ➢ 说理与求真； ➢ 倾听与尊重； ➢ 困难与困惑； ➢ 思考与学问
案例2 实数的概念
• 复习旧知 • 新课探究 问题1：我们熟悉的A4纸，长和宽的比是什么？
案例2 实数的概念
问题1：我们熟悉的A4纸，长和宽的比是什么？
选题与准备
背景
教师按照教学进度确 定课题。
对相关主题的历史进 行研究。
选取合适的历史素材， 供教师学习。
设计与研讨
教师初步完成教 学设计。
共同体成员对进 行设计进行研讨。
教师对教学设计 进行改进。
背景
➢ 教学目标、重难点； ➢ 已发表或常用的教学设计； ➢ 数学史介绍； ➢ 教学设计中史料的适切性
（KCC）
教学取向的数学知识（MKT）的构成
案例1 有理数的乘法
• 引入 司汤达的故事。如何解决“债务乘以债务等于收入” 这一悖论？ M.克莱因的债务模型：某人每天欠债5美元。
三天以前欠债 (-3)(-5)
今日财务 0
三天后的财务 3(-5)
案例1 有理数的乘法
• 探究 类比M.克莱因的债务模型，提出其他解释。 • 归纳 债务模型；运动模型；运算模型；故事模型 • 拓展 微视频（历史上的其他模型）
中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。
有效教学
背景
学有所得
效果
成绩、认知、情感
效益 学有所用 育智、育德、育美
效率 学有得法
减负增效
背景
一门科学的历史就是这门 科学本身。
——歌德《颜色理论》序
歌德 J. W. von Goethe (1749-1832)
背景
F·克萊因（F. Klein, 1849-1925） 科学的教学方法只是诱导去作科学的思考，并不是一开 头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。推广这种 自然的真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识。
背景
• 数学史融入初中数学教学：材料、原则、方式与价值
数学史料
• 人物事件 • 概念术语 • 数学问题 • 公式定理 • 学科思想 • 工具符号
选材原则
• 趣味性 • 可学性 • 科学性 • 有效性 • 人文性
运用方式
• 附加式 • 复制式 • 顺应式 • 重构式
效果评价
• 知识之谐 • 方法之美 • 探究之乐 • 能力之助 • 文化之魅 • 德育之效
ICME-5 ： HPM卫星会 议在澳大利 亚举行
ICME-14 ： HPM 卫 星 会议将在中 国举行
1972
1976
1984
2020
背景
数学史 融入教 材研究
HPM与 教师专 业发展
HPM领域的研究课题
为何与 如何之
探讨
HPM
教学实 践与案 例开发
教育取 向之历 史研究
历史相 似性实 证研究
背景
背景
中学教师心目中的疑难问题
m
• 为什么规定 a n n am
，而不是
m
an
m
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？
• 负负得正不能用数学语言来证明吗？只能通过数学模型来帮
助理解吗？
• 为什么把平面直角坐标系的四个部分叫象限？
• 正比例函数和反比例函数是什么意思？是“正向变化和反向 变化”？
• FUNCTION 为什么译为“函数”？