概率论基础知识汇总
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交换律 结合律 分配律
A U B = B U A AB = BA
(AU B) UC = AU(BUC)
A( B U C ) = ( AB ) U ( AC )
A U ( BC) = ( A U B)( A U C)
摩根律
AB = A U B
AU B = A B
Venn图演示集合的关系与运算
古典概型的概率计算
独立性定义P ( B | A) = P ( B )可得
实际问题中，事件的独立性可根据问题的实 实际问题中， 际意义来判断 如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中” 如甲乙两人射击， 甲击中” 乙击中” 可以 认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立 认为相互之间没有影响，
贝努利试验
相互独立的试验
Bernoulli trials
概率论 样本空间（必然事件） 样本空间（必然事件） Ω 不可能事件 Φ 子事件 A⊂B ⊂B 和事件 A∪B ∪B 积事件 A∩B ∩B 差事件 A-B 对立事件
集合论 全集 空集Φ 空集 子集A⊂B 子集 ⊂B 并集A∪B 并集 ∪B 交集A∩B 交集 ∩B 差集A差集 -B 补集
A
A
事件之间的运算律
P(AB) P(AB) = P(AB) = P( A) = P(AB) = P(B) P(B| A) P(AB)/ P(A)
事件的独立性 判别
事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是
P ( AB) = P( A) P ( B )
证明
由乘法公式 P ( AB ) = P ( A) P ( B | A) 和
P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
P( B)
A3
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
构成完备事件组，且诸P（ 设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸 （Ai）>0) B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有 为样本空间的任意事件， （ ） 为样本空间的任意事件
乘法法则
P ( AB ) = P ( A) P ( B A) = P( B) P( A B)
推广
P( AB) P( B A) = P( A) P( AB) P( A B) = P( B)
P ( ABC ) = P ( A) P ( B A) P (C | AB )
P ( A1 A2 L An ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 ( A1 A2 )) L P ( An ( A1 A2 L An −1 ))
P (U Ai ) = ∑ P( Ai ), 各A i，A j互不相容
i =1 i =1 n n
P( A U B) = P( A) + P( B) − P( AB)
若 A ⊂ B，则 P (B － A) = P(B) － P(A) B
P ( A ) = 1 − P ( A)
P( A U B U C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P( AB) − P( BC ) − P( AC ) + P( ABC )
事件的独立性 independence
定义 设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果 Ａ、Ｂ为任意两个随机事件， 为任意两个随机事件 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ） 即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ 即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ 对于事件Ａ独立． 对于事件Ａ独立． 显然，Ｂ对于Ａ独立， 显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称 ，Ｂ对于 对于Ｂ也独立 故称 Ａ与Ｂ相互独立． 相互独立．
P ( Ak | B ) =
P ( Ak ) P ( B | Ak )
n
∑ P( A )P(B | A )
i i i =1
证明
P ( Ak P ( Ak B ) B) = P (B )
( k =1 , 2 , … , n)
=
P ( Ak ) P ( B A k )
n
∑
i =1
P ( Ai ) P ( B A i )
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 Ｐ（Ｂ）＞０ 且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称
P(AB) P(A B) = P (B )
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率． 为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率． 条件概率
确定试验的基本事件总数 设试验结果共有n个基本事件 设试验结果共有 个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 个基本事件 ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性 而且这些事件的发生具有相同的可能性 确定事件A包含的基本事件数 确定事件 包含的基本事件数 事件Ａ由其中的 个基本事件组成 事件Ａ由其中的m个基本事件组成
事件A包含的基本事件数 m P ( A) = = 试验的基本事件总数 n
几何概型 Geometric Probability
将古典概型中的有限性推广到无限性， 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可 能性，就得到几何概型。 能性，就得到几何概型。 特点 有一个可度量的几何图形S 有一个可度量的几何图形 试验E看成在 看成在S中随机地投掷一点 试验 看成在 中随机地投掷一点 事件A就是所投掷的点落在 中的可度量图形 事件 就是所投掷的点落在S中的可度量图形 中 就是所投掷的点落在 中的可度量图形A中
P ( A) ，如果 如果
那么，称 非负性： 非负性 规范性： 规范性：
满足下列三条公理， P (•) 满足下列三条公理 P ( A) 为事件Ａ的概率． Ｐ(Ａ)≥0 Ｐ( )=1
可列可加性： 可列可加性
A1 , A2 ,L
两两互不相容时
Ｐ（Ａ1 ∪Ａ2 ∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…
P(∅) = 0
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 ，Ａ 构成一个完备事件组， Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， Ａ ＞ ＝ ， ， ， ，则对任一随机事件Ｂ， 有
P(B) =
n
∑ P( A )P(B | A )
i =1 i i
Ω
A1 A2
P ( A1 ) P ( B | A1 )
贝努利定理
定理 设在一次试验中事件Ａ 设在一次试验中事件Ａ发生的概率为 p (0<p<1) ， 则Ａ在n次贝努里试验中恰好发生 k次的概率为 次贝努里试验中恰好发生
Pn ( k ) = C p q
k n k
n−k
( k＝ 0，1，2，...，n )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
其中
q = 1− p
将试验E重复进行n 将试验E重复进行n次,若各次试验的 立的. 立的
结果互不影响,则称这n次试验是相互独 结果互不影响,则称这n
贝努利试验
设随机试验E只有两种可能的结果:A及 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 :A A
,
且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独 P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n 在相同的条件下将 立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验， 立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简 称贝努利试验( trials). 称贝努利试验(Bernoulli trials).
A的 几 何 度 量 L(A) P(A) = = S的 几 何 度 量 L (S )
几何度量--------指长度、面积或体积 指长度、 几何度量 指长度
概率的公理 化定义
给定一个随机试验， 是它的样本空间， 给定一个随机试验， 是它的样本空间，对于 任意一个事件Ａ， Ａ，赋予一个实数 任意一个事件Ａ，赋予一个实数
A U B = B U A AB = BA
(AU B) UC = AU(BUC)
A( B U C ) = ( AB ) U ( AC )
A U ( BC) = ( A U B)( A U C)
摩根律
AB = A U B
AU B = A B
Venn图演示集合的关系与运算
古典概型的概率计算
独立性定义P ( B | A) = P ( B )可得
实际问题中，事件的独立性可根据问题的实 实际问题中， 际意义来判断 如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中” 如甲乙两人射击， 甲击中” 乙击中” 可以 认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立 认为相互之间没有影响，
贝努利试验
相互独立的试验
Bernoulli trials
概率论 样本空间（必然事件） 样本空间（必然事件） Ω 不可能事件 Φ 子事件 A⊂B ⊂B 和事件 A∪B ∪B 积事件 A∩B ∩B 差事件 A-B 对立事件
集合论 全集 空集Φ 空集 子集A⊂B 子集 ⊂B 并集A∪B 并集 ∪B 交集A∩B 交集 ∩B 差集A差集 -B 补集
A
A
事件之间的运算律
P(AB) P(AB) = P(AB) = P( A) = P(AB) = P(B) P(B| A) P(AB)/ P(A)
事件的独立性 判别
事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是
P ( AB) = P( A) P ( B )
证明
由乘法公式 P ( AB ) = P ( A) P ( B | A) 和
P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
P( B)
A3
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
构成完备事件组，且诸P（ 设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸 （Ai）>0) B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有 为样本空间的任意事件， （ ） 为样本空间的任意事件
乘法法则
P ( AB ) = P ( A) P ( B A) = P( B) P( A B)
推广
P( AB) P( B A) = P( A) P( AB) P( A B) = P( B)
P ( ABC ) = P ( A) P ( B A) P (C | AB )
P ( A1 A2 L An ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 ( A1 A2 )) L P ( An ( A1 A2 L An −1 ))
P (U Ai ) = ∑ P( Ai ), 各A i，A j互不相容
i =1 i =1 n n
P( A U B) = P( A) + P( B) − P( AB)
若 A ⊂ B，则 P (B － A) = P(B) － P(A) B
P ( A ) = 1 − P ( A)
P( A U B U C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P( AB) − P( BC ) − P( AC ) + P( ABC )
事件的独立性 independence
定义 设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果 Ａ、Ｂ为任意两个随机事件， 为任意两个随机事件 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ） 即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ 即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ 对于事件Ａ独立． 对于事件Ａ独立． 显然，Ｂ对于Ａ独立， 显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称 ，Ｂ对于 对于Ｂ也独立 故称 Ａ与Ｂ相互独立． 相互独立．
P ( Ak | B ) =
P ( Ak ) P ( B | Ak )
n
∑ P( A )P(B | A )
i i i =1
证明
P ( Ak P ( Ak B ) B) = P (B )
( k =1 , 2 , … , n)
=
P ( Ak ) P ( B A k )
n
∑
i =1
P ( Ai ) P ( B A i )
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 Ｐ（Ｂ）＞０ 且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称
P(AB) P(A B) = P (B )
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率． 为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率． 条件概率
确定试验的基本事件总数 设试验结果共有n个基本事件 设试验结果共有 个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 个基本事件 ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性 而且这些事件的发生具有相同的可能性 确定事件A包含的基本事件数 确定事件 包含的基本事件数 事件Ａ由其中的 个基本事件组成 事件Ａ由其中的m个基本事件组成
事件A包含的基本事件数 m P ( A) = = 试验的基本事件总数 n
几何概型 Geometric Probability
将古典概型中的有限性推广到无限性， 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可 能性，就得到几何概型。 能性，就得到几何概型。 特点 有一个可度量的几何图形S 有一个可度量的几何图形 试验E看成在 看成在S中随机地投掷一点 试验 看成在 中随机地投掷一点 事件A就是所投掷的点落在 中的可度量图形 事件 就是所投掷的点落在S中的可度量图形 中 就是所投掷的点落在 中的可度量图形A中
P ( A) ，如果 如果
那么，称 非负性： 非负性 规范性： 规范性：
满足下列三条公理， P (•) 满足下列三条公理 P ( A) 为事件Ａ的概率． Ｐ(Ａ)≥0 Ｐ( )=1
可列可加性： 可列可加性
A1 , A2 ,L
两两互不相容时
Ｐ（Ａ1 ∪Ａ2 ∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…
P(∅) = 0
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 ，Ａ 构成一个完备事件组， Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， Ａ ＞ ＝ ， ， ， ，则对任一随机事件Ｂ， 有
P(B) =
n
∑ P( A )P(B | A )
i =1 i i
Ω
A1 A2
P ( A1 ) P ( B | A1 )
贝努利定理
定理 设在一次试验中事件Ａ 设在一次试验中事件Ａ发生的概率为 p (0<p<1) ， 则Ａ在n次贝努里试验中恰好发生 k次的概率为 次贝努里试验中恰好发生
Pn ( k ) = C p q
k n k
n−k
( k＝ 0，1，2，...，n )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
其中
q = 1− p
将试验E重复进行n 将试验E重复进行n次,若各次试验的 立的. 立的
结果互不影响,则称这n次试验是相互独 结果互不影响,则称这n
贝努利试验
设随机试验E只有两种可能的结果:A及 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 :A A
,
且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独 P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n 在相同的条件下将 立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验， 立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简 称贝努利试验( trials). 称贝努利试验(Bernoulli trials).
A的 几 何 度 量 L(A) P(A) = = S的 几 何 度 量 L (S )
几何度量--------指长度、面积或体积 指长度、 几何度量 指长度
概率的公理 化定义
给定一个随机试验， 是它的样本空间， 给定一个随机试验， 是它的样本空间，对于 任意一个事件Ａ， Ａ，赋予一个实数 任意一个事件Ａ，赋予一个实数