辽宁省抚顺市新宾县九年级数学上学期期中试卷(含解析)新人教版

2016-2017学年辽宁省抚顺市新宾县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B． +4x=6 C．x2﹣3x=x2﹣2 D．（x+1）（x﹣1）=2x2．下列汽车标志可以看作是中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）4．若某商品的原价为100元，连续两次涨价后的售价为144元，设两次平增长率为x．则下面所列方程正确的是（）A．100（1﹣x）2=144 B．100（1+x）2=144 C．100（1﹣2x）2=144 D．100（1﹣x）2=144 5．对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，﹣2）6．若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+37．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A． B．C．D．8．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断9．已知二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k≥﹣l且k≠0 D．k＜1且k≠010．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x=1．下列结论：①b2＞4ac；②ac＞0；③a﹣b+c＞0；④4a+2b+c＜0．其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．二次函数y=﹣（x+1）2+8的开口方向是．12．已知x1，x2是方程x2+2x﹣k=0的两个实数根，则x1+x2= ．13．小明用30厘米的铁丝围成一斜边等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形一直角边长x厘米，根据题意列方程为．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．15．已知一元二次方程（a+3）x2+4ax+a2﹣9=0有一个根为0，则a= ．16．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数是．17．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则该函数的最小值是．18．图1是棱长为a的小正方体，图2、图3出这样相同的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…，第n层，第n层的小正方体的个数为s．（提示：第一层时，s=1；第二层时，s=3）则第n层时，s= （用含n的式子表示）三、解答题（共8小题，满分96分）19．解方程：（1）x2+4x+2=0（配方法）（2）5x2+5x=﹣1﹣x（公式法）20．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．（不写作法）①以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；②再把△A1B1C1绕点C1，顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请你画出△A2B2C2，并写出B2的坐标．21．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．22．如图，直线y=﹣x+1和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0）和点B（k，）（1）k的值是；（2）求抛物线的解析式；（3）不等式x2+bx+c＞﹣x+1的解集是．23．有一座抛物线形拱桥，校下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．（1）在如图的坐标系中，求抛物线的表达式；（2）若洪水到来是水位以0.2米/时的速度上升，从正常水位开始，再过几小时能到达桥面？24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？25．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）是否存在某一时刻，使△PCQ的面积等于△ABC面积的一半，并说明理由．（3）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积达到最大值，并说明利理由．26．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．2016-2017学年辽宁省抚顺市新宾县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B． +4x=6 C．x2﹣3x=x2﹣2 D．（x+1）（x﹣1）=2x【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件进行解答．【解答】解：A、当a≠0时，是关于x的一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、是一元二次方程，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．下列汽车标志可以看作是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．故选：D．【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键．4．若某商品的原价为100元，连续两次涨价后的售价为144元，设两次平增长率为x．则下面所列方程正确的是（）A．100（1﹣x）2=144 B．100（1+x）2=144 C．100（1﹣2x）2=144 D．100（1﹣x）2=144【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，那么两次涨价后售价为100（1+x）2，然后根据题意可得出方程．【解答】解：根据题意可列方程：100（1+x）2=144，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．5．对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，﹣2）【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．【解答】解：A、∵△=22﹣4×（﹣1）×（﹣3）=﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；C、当x=0时，y=﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；D、∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．故选D．【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．6．若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3，故选D．【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A． B．C．D．【考点】根的判别式；一次函数的图象．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况．【解答】解：∵5k+20＜0，即k＜﹣4，∴△=16+4k＜0，则方程没有实数根．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．9．已知二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k≥﹣l且k≠0 D．k＜1且k≠0【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知k≠0．【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，∴△=b2﹣4ac=4﹣4×k×（﹣1）≥0，且k≠0，∴k≥﹣1，且k≠0．故选C．【点评】本题考查了了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式得出不等式是解题关键．10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x=1．下列结论：①b2＞4ac；②ac＞0；③a﹣b+c＞0；④4a+2b+c＜0．其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由对称性可求得抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），容易判断①②③，再由x=2时y＞0可判断④，可得出答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c过点A （3，0），对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，故③错误；∵开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；∵当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④错误；综上可知错误的共有3个，故选C．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握a、b、c与二次函数的图象的关系是解题的关键，注意数形结合思想的应用．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．二次函数y=﹣（x+1）2+8的开口方向是向下．【考点】二次函数的性质．【分析】观看二次函数y=﹣（x+1）2+8，得出a＜0，可知开口向下．【解答】解：∵二次函数y=﹣（x+1）2+8，∴a=﹣1＜0，∴此二次函数开口向下，故答案为：向下．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：二次函数的图象为抛物线，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．12．已知x1，x2是方程x2+2x﹣k=0的两个实数根，则x1+x2= ﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣k=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣=﹣2是解题的关键．13．小明用30厘米的铁丝围成一斜边等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形一直角边长x厘米，根据题意列方程为x2+（30﹣13﹣x）2=132．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】首先表示出两直角边长，再利用勾股定理列出方程解得答案即可．【解答】解：设一条直角边长为x，则另一边长为：30﹣13﹣x=17﹣x，故x2+（17﹣x）2=132．故答案为：x2+（30﹣13﹣x）2=132【点评】此题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解决问题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为（4，2）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】几何变换．【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解．【解答】解：AB旋转后位置如图所示．B′（4，2）．【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．15．已知一元二次方程（a+3）x2+4ax+a2﹣9=0有一个根为0，则a= 3 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得a的值．【解答】解：根据题意，将x=0代入方程可得a2﹣9=0，解得：a=3或a=﹣3，∵a+3≠0，即a≠﹣3，∴a=3，故答案为：3【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数是125°．【考点】旋转的性质．【分析】先利用互余计算出∠BA C=90°﹣∠B=55°，再根据旋转的性质得到∠BAB1等于旋转角，根据平角的定义得到∠BAB1=125°，所以旋转角的度数为125°．【解答】解：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=55°，∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1等于旋转角，且∠BAB1=180°﹣55°=125°，∴旋转角的度数为125°．故答案为125°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．17．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则该函数的最小值是 1 ．【考点】二次函数的最值．【分析】相交对称轴公式得出b的值，再把x=1代入即可得出该函数的最小值．【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，∴=1，∴b=4，把x=1代入y=2x2﹣4x+3得y=1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，掌握二次函数的点的坐标是解题的关键．18．图1是棱长为a的小正方体，图2、图3出这样相同的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…，第n层，第n层的小正方体的个数为s．（提示：第一层时，s=1；第二层时，s=3）则第n层时，s= n（n+1）（用含n的式子表示）【考点】认识立体图形；规律型：图形的变化类．【分析】第1个图有1层，共1个小正方体，第2个图有2层，第2层正方体的个数为1+2，根据相应规律可得第3层，第n层正方体的个数．【解答】解：∵第1个图有1层，共1个小正方体，第2个图有2层，第2层正方体的个数为1+2，第3个图有3层，第3层正方体的个数为1+2+3，∴第n层时，s=1+2+3+…+n=n（n+1）．故答案为： n（n+1）．【点评】本题考查图形规律性的变化；得到第n层正方体的个数的规律是解决本题的关键．三、解答题（共8小题，满分96分）19．解方程：（1）x2+4x+2=0（配方法）（2）5x2+5x=﹣1﹣x（公式法）【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）移项，得x2+4x=﹣2，配方，得x2+4x+4=﹣2+4，（x+2）2=2，开方，得x+2=±，∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）方程化为：5x2+6x+1=0，a=5，b=6，c=1，△=b2﹣4ac=62﹣4×5×1=16，x=，∴x1=﹣，x2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用各个方法解一元二次方程是解此题的关键．20．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．（不写作法）①以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；②再把△A1B1C1绕点C1，顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请你画出△A2B2C2，并写出B2的坐标．【考点】作图-旋转变换．【分析】①作出各点关于原点的对称点，再顺次连接，并写出B1的坐标即可；②根据图形旋转的性质画出△A2B2C2，并写出B2的坐标即可．【解答】解：①如图，△A1B1C1即为所求，由图可知B1的坐标（﹣5，4）；②如图，△A2B2C2即为所求，由图可知B2的坐标（﹣1，2）．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．21．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．【专题】代数综合题；压轴题．【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0．故K的取值范围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．∵k为整数，∴k的值为﹣1或0．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．22．如图，直线y=﹣x+1和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0）和点B（k，）（1）k的值是；（2）求抛物线的解析式；（3）不等式x2+bx+c＞﹣x+1的解集是x＜或x＞2 ．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）利用图象上点的坐标性质进而得出k的值；（2）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（3）利用函数图象进而得出不等式x2+bx+c＞﹣x+1的解集．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+1和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0）和点B（k，），∴=﹣k+1，解得：k=，故答案为：；（2）由（1）得B（，），分别将A，B代入y=x2+bx+c得：，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣3x+2；（3）由图象可得：不等式x2+bx+c＞﹣x+1的解集是：x＜或x＞2．故答案为：x＜或x＞2．【点评】此题主要考查了待定系数法求抛物线解析式以及利用图象判断不等式的解集，正确利用数形结合得出是解题关键．23．有一座抛物线形拱桥，校下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．（1）在如图的坐标系中，求抛物线的表达式；（2）若洪水到来是水位以0.2米/时的速度上升，从正常水位开始，再过几小时能到达桥面？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2．把D（5，b），则B（10，b﹣3）代入解方程组即可．（2）根据时间=路程÷速度计算即可．【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2．设D（5，b），则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得：，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2；（2）∵b=﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1，∴（1+3）÷0.2=20（小时），所以再过20小时到达拱桥顶．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理得2x2﹣60x+400=0解得x1=20，x2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．25．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）是否存在某一时刻，使△PCQ的面积等于△ABC面积的一半，并说明理由．（3）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积达到最大值，并说明利理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可；（2）根据题意列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；（3）利用配方法把二次函数解析式进行变形，根据二次函数的性质解答．【解答】解：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得：（6﹣x）•2x=8，x=2或x=4，当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；（2）不存在．理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：（6﹣y）•2y=××6×8，整理，得y2﹣6y+12=0，△=36﹣4×12＜0．方程无解，所以不存在；（3）设△PCQ的面积为w，则w=（6﹣x）×2x×=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9∵a=﹣1＜0，∴w有最大值，最大值为9cm2．【点评】本题考查的是三角形的知识、二次函数的性质，正确求出二次函数的解析式、根据配方法求出二次函数的最值是解题的关键．26．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．【解答】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1；∵OC=3BO，∴C（0，﹣3）；（1分）∵y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），∴；解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣3；（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N在y=x2+x﹣3中，令y=0，得方程x2+x﹣3=0解这个方程，得x1=﹣4，x2=1∴A（﹣4，0）设直线AC的解析式为y=kx+b∴，解这个方程组，得，∴AC的解析式为：y=﹣x﹣3，∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=+•DM•（AN+ON）=+2•DM设D（x， x2+x﹣3），M（x，﹣ x﹣3），DM=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣（x+2）2+3，当x=﹣2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．。