初三数学上学期期中考试试卷含答案

九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，10小题，共30分）1．（3分）下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣2和﹣（﹣2）B．﹣|﹣2|和﹣（﹣2）C．2和|﹣2|D．﹣2和|﹣2|2．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝﹣8B．﹣＝﹣8C．＝±8D．＝±83．（3分）因式分解x﹣4x3的最后结果是（）A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）4．（3分）某市需要铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成．求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数．小宇同学根据题意列出方程﹣＝6．则方程中未知数x所表示的量是（）A．实际每天铺设管道的长度B．实际施工的天数C．原计划施工的天数D．原计划每天铺设管道的长度5．（3分）下列说法中，错误的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．平行四边形的对角线互相平分6．（3分）若x＝2时，代数式ax4+bx2+5的值是3，则当x＝﹣2时，代数式ax4+bx2+7的值为（）A．﹣3B．3C．5D．77．（3分）已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（）A．5B．4C．10D．209．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝2，则弦CD的长是（）A．4B．6C．8D．1010．（3分）如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象一部分，则以下正确的有：①b＞2a；②ax2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1；③a﹣2b+c＜0；④a+b+c＝0；⑤8a+c＞0，其中正确的有（）A．①②B．②③C．②③④D．②③④⑤二、填空题：（每小题3分，10小题，共30分）11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A＝．12．（3分）单项式﹣π2x2y的系数是，次数是．13．（3分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于．14．（3分）计算﹣2+7＝．15．（3分）在反比例函数y＝（x＜0）中，函数值y随着x的增大而减小，则m的取值范围是．16．（3分）一条抛物线，顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，则它的函数表达式是．17．（3分）若（x+y）（x+2+y）＝15，则x+y＝．18．（3分）如图，有两个矩形的纸片面积分别为26和9，其中有一部分重叠，剩余空白部分的面积分别为m和n（m＞n），则m﹣n＝．19．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为（结果保留π）．20．（3分）如图所示，扇形OMN的圆心角为45°，正方形A1B1C1A2的边长为2，顶点A1，A2在线段OM上，顶点B1在弧MN上，顶点C1在线段ON上，在边A2C1上取点B2，以A2B2为边长继续作正方形A2B2C2A3，使得点C2在线段ON上，点A3在线段OM上，……，依次规律，继续作正方形，则A2018M＝．三、解答题：（本题共7小题，总分60分．其中第21题6分，第22题8分，第23题8分，第24题9分，第25题9分，第26题10分，第27题10分．）21．（6分）计算：（）﹣2+|﹣2|﹣+6cos30°+（π﹣3.14）0．22．（8分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k ≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．（1）求k，m的值；（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．23．（8分）如图，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．求证：四边形OBDC是菱形．24．（9分）已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝x1x2+2，求k的值．25．（9分）如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙，O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为，求AE的长．26．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，BC＝6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）填空：在秒时，△PCQ的面积为△ACB的面积的；（2）经过几秒，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，则在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．27．（10分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，点D 为抛物线的顶点．（1）求△ABC的面积；（2）P是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，画出图形并求出P点坐标；（3）若抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，10小题，共30分）1．（3分）下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣2和﹣（﹣2）B．﹣|﹣2|和﹣（﹣2）C．2和|﹣2|D．﹣2和|﹣2|【分析】运用相反数和绝对值的知识，先化简﹣（﹣2）、﹣|﹣2|、|﹣2|，再判断相等的一组．【解答】解：因为﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，所以选项A、B、D中的两个数均不相等，只有选项D中的两个数相等．故选：C．【点评】本题考查了相反数和绝对值的化简，题目难度不大．2．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝﹣8B．﹣＝﹣8C．＝±8D．＝±8【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：A、＝8，故此选项错误；B、﹣＝﹣8，故此选项错正确；C、＝8，故此选项错误；D、＝8，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质化简，正确化简二次根式是解题关键．3．（3分）因式分解x﹣4x3的最后结果是（）A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（1﹣4x2）＝x（1+2x）（1﹣2x），故选：C．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．（3分）某市需要铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成．求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数．小宇同学根据题意列出方程﹣＝6．则方程中未知数x所表示的量是（）A．实际每天铺设管道的长度B．实际施工的天数C．原计划施工的天数D．原计划每天铺设管道的长度【分析】小宇所列方程是依据相等关系：原计划所用时间﹣实际所用时间＝6，可知方程中未知数x所表示的量．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+10%）x，根据题意，可列方程：﹣＝6，所以小宇所列方程中未知数x所表示的量是原计划每天铺设管道的长度，故选：D．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是依据所给方程还原等量关系．5．（3分）下列说法中，错误的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．平行四边形的对角线互相平分【分析】根据平行四边形、菱形的判定和性质一一判断即可；【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，本选项符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本选项不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，正确，本选项不符合题意；D、平行四边形的对角线互相平分，正确，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（3分）若x＝2时，代数式ax4+bx2+5的值是3，则当x＝﹣2时，代数式ax4+bx2+7的值为（）A．﹣3B．3C．5D．7【分析】将x＝2代入ax4+bx2+5＝3得16a+4b＝﹣2，据此将其代入x＝﹣2时ax4+bx2+7＝16a+4b+7中计算可得．【解答】解：将x＝2代入ax4+bx2+5＝3，得：16a+4b+5＝3，则16a+4b＝﹣2，所以当x＝﹣2时，ax4+bx2+7＝16a+4b+7＝﹣2+7＝5，故选：C．【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握代数式的求值及整体代入思想的运用．7．（3分）已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解答】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜，故①正确；cosα＞sinα，故②错误；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．8．（3分）如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（）A．5B．4C．10D．20【分析】设点A（a，），可得点B坐标（﹣，），即可求△ABP的面积．【解答】解：设点A（a，）∵AB∥x轴∴点B纵坐标为，且点B在反比例函数y＝图象上，∴点B坐标（﹣，）∴S△ABP＝（a+）×＝5故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设点A（a，），利用字母a表示AB的长度和线段AB上的高，是本题的关键．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝2，则弦CD的长是（）A．4B．6C．8D．10【分析】连接OC，根据题意得出OC＝5，再由垂径定理知，点E是CD的中点，CE＝CD，在直角△OCE中，由勾股定理得出CE，从而得出CD的长．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∵AE＝2，AB＝10，∴OC＝5，OE＝3，∴CE＝4，∴CD＝8，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键．10．（3分）如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象一部分，则以下正确的有：①b＞2a；②ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；③a﹣2b+c＜0；④a+b+c＝0；⑤8a+c＞0，其中正确的有（）A．①②B．②③C．②③④D．②③④⑤【分析】①由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，可得出b＝2a，结论①错误；②由抛物线的对称轴及抛物线与x轴一个交点的坐标，可求出另一交点坐标，进而可得出ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，结论②正确；③由抛物线的开口方向及抛物线与y轴交点的位置可得出a＞0，c＜0，结合b＝2a，即可得出a﹣2b+c＝﹣3a+c＜0，结论③正确；④由当x＝1时y＝0，可得出a+b+c＝0，结论④正确；⑤由当x ＝2时y＞0结合b＝2a，可得出4a+2b+c＝8a+c＞0，结论⑤正确．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，结论①错误；②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点的坐标为（1，0），∴抛物线与x轴另一交点的坐标为（﹣3，0），∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，结论②正确；③∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴a﹣2b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，结论③正确；④∵当x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，结论④正确；⑤∵当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＝8a+c＞0，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有②③④⑤．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点，观察函数图象，逐一分析五个结论的正误是解题的关键．二、填空题：（每小题3分，10小题，共30分）11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A＝．【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．【解答】解：由sin A＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．12．（3分）单项式﹣π2x2y的系数是﹣π2，次数是3．【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案．【解答】解：单项式﹣π2x2y的系数是：﹣π2，次数是：3．故答案为：﹣π2，3．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．13．（3分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于7或﹣1．【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2•x•4，求出即可．【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，解得：m＝7或﹣1，故答案为：7或﹣1．【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．14．（3分）计算﹣2+7＝37．【分析】直接化简二次根式进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣2+7＝4﹣2+7×5＝37．故答案为：37．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．15．（3分）在反比例函数y＝（x＜0）中，函数值y随着x的增大而减小，则m的取值范围是m＞1．【分析】根据反比例函数的性质，构建不等式即可解决问题．【解答】解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，函数值y随着x的增大而减小，∴m﹣1＞0，∴m＞1，故答案为m＞1．【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16．（3分）一条抛物线，顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，则它的函数表达式是y ＝±（x﹣4）2﹣2．【分析】直接利用抛物线形状相同，则|a|的值相等，进而结合函数顶点坐标得出答案．【解答】解：由题意可得：顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，它的函数表达式是：y＝±（x﹣4）2﹣2．故答案为：y＝±（x﹣4）2﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出a的值是解题关键．17．（3分）若（x+y）（x+2+y）＝15，则x+y＝﹣5或3．【分析】令x+y＝a，将原等式变形为a2+2a﹣15＝0，解此一元二次方程可得答案．【解答】解：令x+y＝a，则a（a+2）＝15，∴a2+2a﹣15＝0，∴（a+5）（a﹣3）＝0，则a+5＝0或a﹣3＝0，解得：a＝﹣5或a＝3，即x+y＝﹣5或x+y＝3，故答案为：﹣5或3．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及换元思想的运用．18．（3分）如图，有两个矩形的纸片面积分别为26和9，其中有一部分重叠，剩余空白部分的面积分别为m和n（m＞n），则m﹣n＝17．【分析】设阴影部分面积为x，根据空白部分面积表示出两个矩形的面积，相减即可求出所求．【解答】解：设阴影部分面积为x，根据题意得：m+x＝26，n+x＝9，∴m﹣n＝17，故答案为：17【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为2π（结果保留π）．【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝120°，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BOC＝120°，∴弧BC的长＝＝2π，故答案为：2π．【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的计算公式是解题的关键．20．（3分）如图所示，扇形OMN的圆心角为45°，正方形A1B1C1A2的边长为2，顶点A1，A2在线段OM上，顶点B1在弧MN上，顶点C1在线段ON上，在边A2C1上取点B2，以A2B2为边长继续作正方形A2B2C2A3，使得点C2在线段ON上，点A3在线段OM上，……，依次规律，继续作正方形，则A2018M＝2﹣．．【分析】探究规律，利用规律即可解决问题；【解答】解：∵∠MON＝45°，∴△C1B2C2为等腰直角三角形，∴C1B2＝B2C2＝A2B2．∵正方形A1B1C1A2的边长为2，∴OA3＝AA3＝A2B2＝A2C1＝1．OA1＝4，OM＝OB1＝＝2同理，可得出：OA n＝A n﹣1A n＝A n﹣2A n﹣1＝，∴OA2018＝A2018A2017＝，∴A2018M＝2﹣．故答案为2﹣．【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本题共7小题，总分60分．其中第21题6分，第22题8分，第23题8分，第24题9分，第25题9分，第26题10分，第27题10分．）21．（6分）计算：（）﹣2+|﹣2|﹣+6cos30°+（π﹣3.14）0．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝9+2﹣﹣2+6×+1＝12．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（8分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k ≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．（1）求k，m的值；（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；【解答】解：（1）∵点E（﹣4，）在y＝上，∴k＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，∵F（m，2）在y＝上，∴m＝﹣1．（2）函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（8分）如图，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．求证：四边形OBDC是菱形．【分析】连接OD，证明△BOD和△COD都是等边三角形，得OB＝BD＝DC＝OC，所以四边形OBDC 是菱形．【解答】证明：连接OD，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∵OB＝OD＝OC，∴△BOD和△COD都是等边三角形，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形．【点评】此题考查圆周角定理、角平分线的定义、等边三角形的判定、菱形的判定，关键是熟知有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形以及菱形的判定解答．24．（9分）已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝x1x2+2，求k的值．【分析】（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系结合x1+x2＝x1x2+2，即可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出k值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝，x1x2＝．∵x1+x2＝x1x2+2，即＝+2，解得：k＝﹣4，经检验，k＝﹣4是原分式方程的解，∴k＝﹣4．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1+x2＝x1x2+2，找出关于k的分式方程．25．（9分）如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙，O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为，求AE的长．【分析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论；（2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC＝，PB＝，求得AP＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∴PE是⊙O的切线；（2）∵PB：PC＝1：2，∴设PB＝x，PC＝2x，∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（+x）2，∴x＝，∴PC＝，PB＝，∴AP＝，∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA，∴，∴AE＝4．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟记切线的判定是解题的关键．26．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，BC＝6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）填空：在2或4秒时，△PCQ的面积为△ACB的面积的；（2）经过几秒，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，则在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ＝S△ABC列出方程求解；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ＝∠A或∠CPQ ＝∠B，则有或，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设运动时间为ys，PQ与CD互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠B，再证明△PCQ∽△BCA，那么，依此列出比例式，解方程即可．【解答】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的，由题意得：PC＝2xm，CQ＝（6﹣x）m，则×2x（6﹣x）＝××8×6，解得：x＝2或x＝4．故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的；故答案为：2或4；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．当△PCQ与△ACB相似时，则有或，所以，或，解得t＝，或t＝．因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似；（3）有可能．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，BC＝6m，由勾股定理得AB＝＝10．∵CD为△ACB的中线，∴∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠B，又∵PQ⊥CD，∴∠CPQ＝∠B，∴△PCQ∽△BCA，∴，，解得y＝．因此，经过秒，PQ⊥CD．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，在（2）中体现了分类讨论的思想．27．（10分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，点D 为抛物线的顶点．（1）求△ABC的面积；（2）P是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，画出图形并求出P点坐标；（3）若抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m，求m的值．【分析】（1）先求出点A，B，C坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）①当点P在第三象限时，先作出图形，再构造出全等三角形，设出点M的坐标，进而表示出点P 坐标，即可得出结论，当点P在第二象限时，同①的方法即可得出结论；（3）先判断出直线CD下方的抛物线上只有一个点到直线CD的距离为m，再求出直线CD解析式，进而求出直线EG的解析式，最后判断出△CFE∽△COH，即可得出结论．【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，∴x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴S△ABC＝AB×|y C|＝6；（2）如图，①点P在第三象限时，∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∴AQ＝2过点P作PG⊥DM于G，∴∠PGM＝∠MQA＝90°，∴∠MPG+∠PMG＝90°，∵∠AMP＝90°，∴∠PMG+∠AMQ＝90°，∴∠MPG＝∠AMQ，在△PGM和△MQA中，，∴△PGM≌△MQA（AAS），∴MG＝AQ＝2，PG＝QM，设M（﹣1，m）（m＜0），∴QM＝﹣m，∴PG＝﹣m，QG＝QM+MG＝2﹣m，∴P（m﹣1，m﹣2），∵点P在抛物线y＝x2+2x﹣3上，∴（m﹣1）2+2（m﹣1）﹣3＝m﹣2，∴m﹣1＝﹣2或m﹣1＝1（舍），∴P（﹣2，﹣3）．②当点P在第二象限时，同①的方法得，P（﹣4，5）；（3）∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），∵C（0，﹣3），∴直线CD的解析式为y＝x﹣3，如图1，作直线EG∥CD交y轴于E，交x轴于G，设直线EG的解析式为y＝x+b①，∵抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m，∴在直线CD下方的抛物线上只有一个点到直线CD的距离为m，即直线EG与抛物线y＝x2+2x﹣3②只有一个交点，联立①②得，x2+2x﹣3＝x+b，∴x2+x﹣3﹣b＝0，∴△＝1+4（b+3）＝0，∴b＝﹣，∴直线EG的解析式为y＝x﹣，∴E（0，﹣），∴OE＝，∵直线CD的解析式为y＝x﹣3，∴H（3，0），∴OH＝3，OC＝3，∴CH＝3，CE＝﹣3＝，直线过点E作EF⊥CD于F，∴∠CFE＝∠COH，∵∠ECF＝∠HCO，∴△CFE∽△COH，∴，∴，∴EF＝，即：m＝．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．。