第四章特殊变换及其矩阵优秀课件

上三角阵 T ，使得 AUTUH
显然 AHAAAH当且仅当 THTTTH。
根据引理6，T 是对角矩阵。故 A 是正规阵。
例 7 判断下列矩阵是不是正规矩阵：
（1）实对称矩阵（ AT A ）；
（2）实反对称矩阵（ AT A ）；
（3）正交矩阵 （AT A1 ）； 天下英雄尽
（4）酉矩阵（ AHA1 ）；
根据定理3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵 表示必定酉相似于对角阵，即
Λ UHAU
二、正规矩阵的等价定义
定理 4 ( Schur 引理 ) 任何复方阵 A 必酉相似于
一个上三角阵 T 。即存在酉矩阵 U ，使
UHAU T. 并称 A UTUH为方阵 A 的Schur分解。
100多年前(1909年) Schur给出的Schur 引理是矩阵理 论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在 矩阵计算中也具有相当重要的地位。
根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙 的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
定理 5 方阵 A 是正规的，当且仅当
AAH AHA.
为证明这个结论，再给出一个引理。
引理 6 满足 TTH THT 的三角阵 T 必是
对角阵。
证 对上三角阵 T ( ti j ) ，比较等式
明
TTH THT
两边乘积矩阵在第 i 行第 i 列位置上的元素 ，并注
意到 ti j 0(i j) ，因此对 i1,2, ,n ，有
|tii|2 |tin |2 |t1 i|2 |tii|2
当 i 1 时，有 |t1 1|2 |t1 2|2 |t1 n|2 |t1 1|2
可知 t1j0(j2,3, ,n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 (i j) ，证毕。
入吾彀矣！
（5）Hermite 矩阵（ AH A ）；
（6）反Hermite 矩阵（ AH A ）；
（7）形如 a11 11,aRorC 的矩阵。
定理 8 与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。
证明：如果存在酉矩阵 U ，使得 B U1AU，则
B B H (U 1A U )(U 1A U )H U 1 A U U H A H U H U 1 A A H U H U1AHA UH UHAHAU U H A H ( U 1 ) H U 1 A U ( U 1 A U ) H ( U 1 A U ) BH B.
因此 A ( u 1 ,, u n ) ( A u 1 ,, A u n ) ( 1 u 1 ,,n u n )
并称 T 在任意标准正交基 η1,η2, ,ηn下的矩阵表
示为正规矩阵。
定理3 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是 酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
ε1,ε2, , εn 和 η1,η2,
分别为 A、 B ，并设
,ηn下的矩阵表示
( η 1 , η 2 , ,η n ) ( ε 1 , ε 2 , ,ε n ) U
或
Q TA Q Q1A Q B
则称 A 酉相似（或正交相似）于 B 。
定义2 酉空间 V上的线性变换 T 称为 V上的一个
正规变换，如果存在 V的标准正交基 ε1,ε2, , εn 及对角矩阵 Ddiag(d1, d2, ,dn) 满足
( T ( ε 1 ) ,T ( ε 2 ) , ,T ( ε n ) )( ε 1 , ε 2 , ,ε n ) D
有性质 AAT ATA 的这种新矩阵就“一统江湖”，
具有了统一性。
对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正 交对角化，推广到这种新矩阵后这个性质是否还能保 留呢？
一、正规变换(Normal Transformation)
定义1 对于复方阵（或实方阵）A、B，如果存在酉
矩阵 U 或正交矩阵 Q ，使得 U H A UU 1 A UB
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为 (η1,η2, ,ηn)B
( T (η 1 ) ,T (η 2 ) , ,T (η n ) ) ( T (ε 1 ),T (ε 2 ), ,T (ε n )) U (ε1, ε2, ,εn)A U (η 1 , η 2, ,η n )U H A U 所以 B UHAU，结论成立。
第四章特殊变换及其矩阵
§1、正规变换与正规矩阵
正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换 （对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等 的推广和抽象，即只关心永恒的主题----
“对角化”的问题。这又一次体现出现代
数学高度的抽象和统一。
链接：《现代数学的特点与意义》，孙小礼、杜珣， 《大学数学》，1992，2（或 杜珣《现代数学引论》 序言）或其他。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理 9 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特 征值。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U(u1, ,un) 及对角阵 diag(1, ,n)
使得 UHAU ，即 AUU
因此 A ( u 1 ,, u n ) ( A u 1 ,, A u n ) ( 1 u 1 ,,n u n )
充分性。若有 UHAU，显然可验证
AHAAAH
定理10 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特 征子空间相互正交（完备正交系）。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U(u1, ,un) 及对角阵 diag(1, ,n)
使得 UHAU ，即 AUU
定 必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
理 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 AUDUH 5 的 因此 A A H (U D U H )(U D U H )H U D D U H
证
U D D U H ( U D U H )( U D U H ) A H A
明 充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 U 及
两方阵 A , B 互逆的条件是成立关系式
ABBAI.
从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制， 那么两矩阵是可交换矩阵。 联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两
矩阵互为转置，即要求成立 AAT ATA，情况又如
何？
显然对称矩阵 ( AT A) 和反对称矩阵 ( AT A)
都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具