浙江省嘉兴市第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题 答案和解析
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由 得 ，即
所以 有解，只需 ，即 ①
取 代入①中化简得 ，解得 或 ，则方程 可能有两个相异实根，故B正确；
，解得 ，即函数 只有一个零点，故C错误；
设
因为 ， ， ， ，
所以 ，即
所以函数 在区间 上为减函数，故D正确；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，用定义证明函数的单调性，求函数零点的个数，属于中档题.
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．已知幂函数 的图象过点 ，则 ______．
12．已知 是 上的增函数，那么 的取值范围是．
13．已知 ＜1，则 的取值范围是________．
三、双空题
14．对 ，记 ，函数 的最小值是_________；单调递减区间为__________.
15．已知不等式 .
9．C
【分析】
根据奇函数的性质判断A选项；
由 ，解得 ，则 时， ，取特殊值 ，得出 有两个相异实根，即可判断B选项；
令 得出 零点的个数，判断C选项；
根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可判断D选项.
【详解】
若 为奇函数，则 恒成立
即 恒成立
恒成立
即 恒成立
所以 ，此时定义域关于原点对称，故A正确；
在 上为增函数，无奇偶性,
选A.
【点睛】
本题考查函数增减性与奇偶性,考查基本分析判断能力,属基础题.
4．B
【分析】
分类讨论 的值，解不等式即可.
【详解】
当 时， ，解得
当 时， ，解得
则满足 的 的取值范围是
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分类讨论解分段函数不等式，属于基础题.
5．D
【分析】
求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果.
7．A
【解析】
∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2 <log22＝1，∴a>b，又 ＝ ＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.
8．D
【解析】
根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图．把函数f(x)向右平移1个单位，得到函数f(x－1)，如图，则不等式f(x－1)<0的解集为(0,2)，选D.
10．B
【分析】
问题转化为 关于原点对称的函数与 在 交点的个数，先求出 关于原点对称的函数 ，利用导数方法求出 在 解的个数，即可得出结论.
【详解】
设 是 关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为 在 上，
，设 ，
“和谐点对”的个数即为 与 在 交点的个数，
于是 ，化为 ，
令 ，下面证明方程 有两解，
【详解】
函数 的定义域为 ，
因为函数 是由 和 复合而成，
而 在定义域内单调递减， 在 内单调递减，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选：D.
【点睛】
易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.
6．D
【分析】
由 ，先求出 ，再将 变为 ，即可得出答案.
【详解】
若 则 ，即
故选：D
【点睛】
本题主要考查了分数指数幂的运算，属于基础题.
浙江省嘉兴市第一中学【最新】高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 则 的子集共有（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
2．函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
3．下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围.
19．已知二次函数 满足 ，且函数 的最大值为2.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的最大值.
20．已知函数 满足 ，其中 且
（1）对于函数 ，当 时， ，求实数 的取值范围；
（2）当 时， 的值恒为负数，求 的取值范围.
（1）若不等式在 上有解，则实数 的取值范围是__________；
（2）若不等式在 上恒成立，则实数 的取值范围是__________.
16．计算：
（1） __________；
（2） __________.
四、解答题
17．已知集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
18．已知函数 .
由于 ，所以 ，解得 ，
∴只要考虑 即可，
， 在区间 上单调递增，
而 ， ，
∴存在 使得 ，
当 单调递减，
单调递增，
而 ， ， ，
∴函数 在区间 ， 分别各有一个零点，
即 的【点睛】
本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
根据函数增减性与奇偶性进行判断选择.
【详解】
是R上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，
是R上增函数，无奇偶性,
在 和 上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，
21．设函数 .
（1）当 时，求函数 的零点；
（2）当 时，写出函数 的单调区间（不要求证明）.
参考答案
1．B
【详解】
因为 ，所以 ，
所以其子集个数为： .
故选：B.
2．B
【分析】
根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数 的不等式组，解出即可得出函数 的定义域.
【详解】
由题意可得 ，解得 ，因此，函数 的定义域为 .
A．(－1,0)B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(1,2)D．(0,2)
9．已知函数 ，其中实数 ，则下列关于 的性质说法不正确的是（）
A．若 为奇函数，则 B．方程 可能有两个相异实根
C．函数 有两个零点D．在区间 上， 为减函数
10．若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在 图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对 是函数 的一个“和谐点对”， 与 可看作一个“和谐点对”.已知函数 则 的“和谐点对”有（）
11．3
A． B． C． D．
4．已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（）
A． B． C． D．
5．函数 的单调递增区间为（）.
A．(0,+ )B．(- 0)C．(2,+ )D．(- -2)
6．已知 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
7．设 ，则（）
A． B． C． D．
8．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )
所以 有解，只需 ，即 ①
取 代入①中化简得 ，解得 或 ，则方程 可能有两个相异实根，故B正确；
，解得 ，即函数 只有一个零点，故C错误；
设
因为 ， ， ， ，
所以 ，即
所以函数 在区间 上为减函数，故D正确；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，用定义证明函数的单调性，求函数零点的个数，属于中档题.
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．已知幂函数 的图象过点 ，则 ______．
12．已知 是 上的增函数，那么 的取值范围是．
13．已知 ＜1，则 的取值范围是________．
三、双空题
14．对 ，记 ，函数 的最小值是_________；单调递减区间为__________.
15．已知不等式 .
9．C
【分析】
根据奇函数的性质判断A选项；
由 ，解得 ，则 时， ，取特殊值 ，得出 有两个相异实根，即可判断B选项；
令 得出 零点的个数，判断C选项；
根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可判断D选项.
【详解】
若 为奇函数，则 恒成立
即 恒成立
恒成立
即 恒成立
所以 ，此时定义域关于原点对称，故A正确；
在 上为增函数，无奇偶性,
选A.
【点睛】
本题考查函数增减性与奇偶性,考查基本分析判断能力,属基础题.
4．B
【分析】
分类讨论 的值，解不等式即可.
【详解】
当 时， ，解得
当 时， ，解得
则满足 的 的取值范围是
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分类讨论解分段函数不等式，属于基础题.
5．D
【分析】
求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果.
7．A
【解析】
∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2 <log22＝1，∴a>b，又 ＝ ＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.
8．D
【解析】
根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图．把函数f(x)向右平移1个单位，得到函数f(x－1)，如图，则不等式f(x－1)<0的解集为(0,2)，选D.
10．B
【分析】
问题转化为 关于原点对称的函数与 在 交点的个数，先求出 关于原点对称的函数 ，利用导数方法求出 在 解的个数，即可得出结论.
【详解】
设 是 关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为 在 上，
，设 ，
“和谐点对”的个数即为 与 在 交点的个数，
于是 ，化为 ，
令 ，下面证明方程 有两解，
【详解】
函数 的定义域为 ，
因为函数 是由 和 复合而成，
而 在定义域内单调递减， 在 内单调递减，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选：D.
【点睛】
易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.
6．D
【分析】
由 ，先求出 ，再将 变为 ，即可得出答案.
【详解】
若 则 ，即
故选：D
【点睛】
本题主要考查了分数指数幂的运算，属于基础题.
浙江省嘉兴市第一中学【最新】高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 则 的子集共有（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
2．函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
3．下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围.
19．已知二次函数 满足 ，且函数 的最大值为2.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的最大值.
20．已知函数 满足 ，其中 且
（1）对于函数 ，当 时， ，求实数 的取值范围；
（2）当 时， 的值恒为负数，求 的取值范围.
（1）若不等式在 上有解，则实数 的取值范围是__________；
（2）若不等式在 上恒成立，则实数 的取值范围是__________.
16．计算：
（1） __________；
（2） __________.
四、解答题
17．已知集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
18．已知函数 .
由于 ，所以 ，解得 ，
∴只要考虑 即可，
， 在区间 上单调递增，
而 ， ，
∴存在 使得 ，
当 单调递减，
单调递增，
而 ， ， ，
∴函数 在区间 ， 分别各有一个零点，
即 的【点睛】
本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
根据函数增减性与奇偶性进行判断选择.
【详解】
是R上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，
是R上增函数，无奇偶性,
在 和 上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，
21．设函数 .
（1）当 时，求函数 的零点；
（2）当 时，写出函数 的单调区间（不要求证明）.
参考答案
1．B
【详解】
因为 ，所以 ，
所以其子集个数为： .
故选：B.
2．B
【分析】
根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数 的不等式组，解出即可得出函数 的定义域.
【详解】
由题意可得 ，解得 ，因此，函数 的定义域为 .
A．(－1,0)B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(1,2)D．(0,2)
9．已知函数 ，其中实数 ，则下列关于 的性质说法不正确的是（）
A．若 为奇函数，则 B．方程 可能有两个相异实根
C．函数 有两个零点D．在区间 上， 为减函数
10．若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在 图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对 是函数 的一个“和谐点对”， 与 可看作一个“和谐点对”.已知函数 则 的“和谐点对”有（）
11．3
A． B． C． D．
4．已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（）
A． B． C． D．
5．函数 的单调递增区间为（）.
A．(0,+ )B．(- 0)C．(2,+ )D．(- -2)
6．已知 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
7．设 ，则（）
A． B． C． D．
8．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )