二进制

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。

二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。

当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统。

*简介20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，因为数字计算机只能识别和处理由‘0’.‘1’符号串组成的代码。

其运算模式正是二进制。

19世纪爱尔兰逻辑学家乔治布尔对逻辑命题的思考过程转化为对符号"0''.''1''的某种代数演算，二进制是逢2进位的进位制。

0、1是基本算符。

因为它只使用0、1两个数字符号，非常简单方便，易于用电子方式实现。

二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。

优点
数字装置简单可靠，所用元件少；
只有两个数码0和1，因此它的每一位数都可用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示；基本运算规则简单，运算操作方便。

缺点
用二进制表示一个数时，位数多。

因此实际使用中多采用送入数字系统前用十进制，送入机器后再转换成二进制数，让数字系统进行运算，运算结束后再将二进制转换为十进制供人们阅读。

二进制和十六进制的互相转换比较重要。

不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。

我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。

首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？
你可能还要这样计算：1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。

即，最高位的权值为2^3 = 8，然后依次是2^2 = 4，2^1=2，2^0 = 1。

记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

下面列出四位二进制数xxxx 所有可能的值（中间略过部分）
仅4位的2进制数快速计算方法十进制值十六进值
1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F
1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E
1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D
1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C
1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B
1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A
1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9
....
0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0
二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。

如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)：
1111 1101 ，1010 0101 ，1001 1011
F D ，A 5 ，9 B
反过来，当我们看到FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？
先转换F：
看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这六个数），然后15如何用8421凑呢？
应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。

接着转换D：
看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1,即：1101。

所以,FD转换为二进制数，为：1111 1101
由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。

比如，十进制数1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。

所以我们可以先除以16，得到16进制数:
被除数计算过程商余数
1234 1234/16 77 2
77 77/16 4 13 (D)
4 4/16 0 4
结果16进制为：0x4D2
然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式：0100 1101 0010。

其中对映关系为：
0100 -- 4
1101 -- D
0010 -- 2
同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。

下面举例一个int类型的二进制数：
01101101 11100101 10101111 00011011
我们按四位一组转换为16进制：6D E5 AF 1B
*基本运算
二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。

最常用的是加法运算和乘法运算。

折叠1.二进制加法
有四种情况：0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
ps:0 进位为1
【例1103】求(1101)2+(1011)2 的和
解：
1 1 0 1
+1 0 1 1
-------------------
1 1 0 0 0
折叠2.二进制乘法
有四种情况：0×0=0
1×0=0
0×1=0
1×1=1
【例1104】求(1110)2 乘(101)2 之积
解：
1 1 1 0
×1 0 1
-----------------------
1 1 1 0
0 0 0 0
1 1 1 0
-------------------------
1 0 0 0 1 1 0
(这些计算就跟十进制的加或者乘法相同，只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了)
3.二进制减法
0－0=0，1－0=1，1－1=0，10－1=1。

4.二进制除法
0÷1=0，1÷1=1。

[1-2]
5.二进制拈加法
拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。

拈加法运算与进行加法类似，但不需要做进位。

此算法在博弈论（Game Theory）中被广泛利用
计算机中的十进制小数转换二进制
计算机中的十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。

比如0.65换算成二进制就是：
0.65 * 2 = 1.3 取1，留下0.3继续乘二取整
0.3 * 2 = 0.6 取0，留下0.6继续乘二取整
0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整
0.2 * 2 = 0.4 取0，留下0.4继续乘二取整
0.4 * 2 = 0.8 取0，留下0.8继续乘二取整
0.8 * 2 = 1.6 取1，留下0.6继续乘二取整
0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整
.......
一直循环，直到达到精度限制才停止（所以，计算机保存的小数一般会有误差，所以在编程中，要想比较两个小数是否相等，只能比较某个精度范围内是否相等。

）。

这时，十进制的0.65，用二进制就可以表示为：1010011。

还值得一提的是，在目前的计算机中，除了十进制是有符号的外，其他如二进制、八进制、16进制都是无符号的。

*进制转换
十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法：
二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法：按权展开求和法
折叠1．二进制与十进制间的相互转换：
（1）二进制转十进制
方法：“按权展开求和”
例：（1011.01）2 =（1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0+0×2^(-1)+1×2^(-2) ）10
=（8+0+2+1+0+0.25）10
=（11.25）10
规律：个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依次递增，而十分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。

注意：不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。

（2）十进制转二进制
·十进制整数转二进制数：“除以2取余，逆序排列”（除二取余法）
例：（89）10 =（1011001）2
89÷2 (1)
44÷2 0
22÷2 0
11÷2 (1)
5÷2 (1)
2÷2 0
1
·十进制小数转二进制数：“乘以2取整，顺序排列”（乘2取整法）
例：(0．625)10= (0．101)2
0.625X2=1.25 (1)
0.25 X2=0.50 0
0.50 X2=1.00 (1)
十进制1至100的二进制表示：
0=0
1=1
2=10
3=11
4=100
5=101
6=110
7=111
8=1000
9=1001
10=1010
11=1011
12=1100
13=1101
14=1110
15=1111
16=10000
17=10001
18=10010
19=10011
20=10100
21=10101
22=10110
23=10111
24=11000
26=11010 27=11011 28=11100 29=11101 30=11110 31=11111 32=100000 33=100001 34=100010 35=100011 36=100100 37=100101 38=100110 39=100111 40=101000 41=101001 42=101010 43=101011 44=101100 45=101101 46=101110 47=101111 48=110000 49=110001 50=110010 51=110011 52=110100 53=110101 54=110110 55=110111 56=111000 57=111001 58=111010 59=111011 60=111100 61=111101 62=111110 63=111111 64=1000000 65=1000001 66=1000010 67=1000011 68=1000100
70=1000110
71=1000111
72=1001000
73=1001001
74=1001010
75=1001011
76=1001100
77=1001101
78=1001110
79=1001111
80=1010000
81=1010001
82=1010010
83=1010011
84=1010100
85=1010101
86=1010110
87=1010111
88=1011000
89=1011001
90=1011010
91=1011011
92=1011100
93=1011101
94=1011110
95=1011111
96=1100000
97=1100001
98=1100010
99=1100011
100=1100100
折叠2．八进制与二进制的转换：
二进制数转换成八进制数：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每3位为一组用一位八进制数的数字表示，不足3位的要用“0”补足3位，就得到一个八进制数。

八进制数转换成二进制数：把每一个八进制数转换成3位的二进制数，就得到一个二进制数。

八进制数字与二进制数字对应关系如下：
000 -> 0 100 -> 4
001 -> 1 101 -> 5
010 -> 2 110 -> 6
011 -> 3 111 -> 7
例：将八进制的37.416转换成二进制数：
3 7 ．
4 1 6
011 111 ．100 001 110
即：（37.416）8 =（11111.10000111）2
例：将二进制的10110.0011 转换成八进制：
0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0
2 6 . 1 4
即：（10110.011）2 = （26.14）8
折叠3．十六进制与二进制的转换：
二进制数转换成十六进制数：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每4位为一组用一位十六进制数的数字表示，不足4位的要用“0”补足4位，就得到一个十六进制数。

十六进制数转换成二进制数：把每一个十六进制数转换成4位的二进制数，就得到一个二进制数。

十六进制数字与二进制数字的对应关系如下：
0000 -> 0 0100 -> 4 1000 -> 8 1100 -> C
0001 -> 1 0101 -> 5 1001 -> 9 1101 -> D
0010 -> 2 0110 -> 6 1010 -> A 1110 -> E
0011 -> 3 0111 -> 7 1011 -> B 1111 -> F
例：将十六进制数5DF.9 转换成二进制：
5 D F ．9
0101 1101 1111 ．1001
即：（5DF.9）16 =（10111011111.1001）2
例：将二进制数1100001.111 转换成十六进制：
0110 0001 ．1110
6 1 ．E
即：（1100001.111）2 =（61.E）16
*其他资料
20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，其运算模式正是二进制，同时证明了莱布尼兹的原理是正确的。

折叠进制数
折叠二进制数据的表示法
二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。

例如二进制数据110.11，其权的大小顺序为2^2、2^1、2^0、2^-1、2^-2。

对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：
（a(n-1)a(n-2)…a(-m)）2=a(n-1)×2^(n-1)+a(n-2)×2^(n-2)+……+a(1)×2^1+a(0)×2^(0)+a(-1)×2^(-1)+a(-2)×2^(-2)+……+a(-m)×2^(-m)
二进制数据一般可写为：（a(n-1)a(n-2)…a(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m)）2。

注意：
1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。

2.a(n-1)中的(n-1)为下标，输入法无法打出所以用括号括住，避免混淆。

3.2^2表示2的平方，以此类推。

【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。

解：（111.01）2=(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2)
二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。

折叠莱布尼茨与二进制
在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆（Schlossbiliothke zu Gotha）保存着
一份弥足珍贵的手稿，其标题为：“1与0，一切数字的神奇渊源。

这是造物的秘密美妙的典
范，因为，一切无非都来自上帝。

”这是德国天才大师莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 - 1716）的手迹。

但是，关于这个神奇美妙的数字系统，莱布尼茨只有几页异常精炼的描述。

莱布尼茨不仅发明了二进制，而且赋予了它宗教的内涵。

他在写给当时在中国传教的法国耶稣士会牧师布维（Joachim Bouvet，1662 - 1732）的信中说：“第一天的伊始是1，也就是上帝。

第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。

所以，这最后的一天也是最完美的。

因为，此时世间的一切都已经被创造出来了。

因此它被写作‘7’，也就是‘111’（二进制中的111等于十进制的7），而且不包含0。

只有当我们仅仅用0和1来表达这个数字时，才能理解，为什么第七天才最完美，为什么7是神圣的数字。

特别值得注意的是它（第七天）的特征（写作二进制的111）与三位一体的关联。

”
布维是一位汉学大师，他对中国的介绍是17、18世纪欧洲学界中国热最重要的原因之一。

布维是莱布尼茨的好朋友，一直与他保持着频繁的书信往来。

莱布尼茨曾将很多布维的文章翻译成德文，发表刊行。

恰恰是布维向莱布尼茨介绍了《周易》和八卦的系统，并说明了《周易》在中国文化中的权威地位。

八卦是由八个符号组构成的占卜系统，而这些符号分为连续的与间断的横线两种。

这两个后来被称为“阴”、“阳”的符号，在莱布尼茨眼中，就是他的二进制的中国翻版。

他感到这个来自古老中国文化的符号系统与他的二进制之间的关系实在太明显了，因此断言：二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言。

另一个可能引起莱布尼茨对八卦的兴趣的人是坦泽尔（Wilhelm Ernst Tentzel），他当时是图灵根大公爵硬币珍藏室的领导，也是莱布尼茨的好友之一。

在他主管的这个硬币珍藏中有一枚印有八卦符号的硬币。

与中国易经的联系
1679年3月15日戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发明了一种计算法，用两位数代替原来的十位数，即1 和0。

1701年他写信给在北京的神父Grimaldi（中文名字闵明我）和Bouvet （中文名字白晋）告知自己的新发明，希望能引起他心目中的“算术爱好者”康熙皇帝的兴趣。

白晋很惊讶，因为他发现这种“二进制的算术”与中国古代的一种建立在两个符号基础上的符号系统是非常近似的，这两个符号分别由一条直线和两条短线组成，即──和——。

这是中国最著名大概也是最古老的书《易经》的基本组成部分，据今人推测，该书大约产生于公元前第一个千年的初期，开始主要是一部占卜用书，里边的两个符号可能分别代表“是”和“不”。

莱布尼茨对这个相似也很吃惊，和他的笔友白晋一样，他也深信《易经》在数学上的意义。

他相信古代的中国人已经掌握了二进制并在科学方面远远超过当代的中国人。

现在我们可以肯定地说，这种解释与《易经》没有联系。

《易经》不是数学书，而是一本“预言”，并在漫长的历史中逐渐演变为一本“智慧之书”。

书里的短线意味着阴阳相对，也即天与地、光明与黑暗、造物主和大自然。

六爻以不同的组合出现，人们可以借此对自然界和人类生活的变换做出各种不同的解释。

比利时神父P．Couplet（中文名字柏应理）的Confucius．Sinarum Philosophus （《孔子，中国人的思想家，…》）第一次在欧洲发表了易经的六十四幅六爻八卦图。

这一次将数学与古代中国《易经》相联的尝试是不符合实际的。

莱布尼茨的二进制数学指向的不是古代中国，而是未来。

莱布尼茨在1679年3月15日记录下他的二进制体系的同时，还设计了一台可以完成数码计算的机器。

我们今天的现代科技将此设想变为现实，这在莱布尼茨的时代是超乎人的想象能力的。

计算机内部采用二进制的原因
（1）技术实现简单，计算机是由逻辑电路组成，逻辑电路通常只有两个状态，开关的接通与断开，这两种状态正好可以用“1”和“0”表示。

（2）简化运算规则：两个二进制数和、积运算组合各有三种，运算规则简单，有利于简化计算机内部结构，提高运算速度。

（3）适合逻辑运算：逻辑代数是逻辑运算的理论依据，二进制只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假”相吻合。

（4）易于进行转换，二进制与十进制数易于互相转换。

（5）用二进制表示数据具有抗干扰能力强，可靠性高等优点。

因为每位数据只有高低两个状态，当受到一定程度的干扰时，仍能可靠地分辨出它是高还是低。

折叠二进制与周易的澄清
改革开放前，大多数中国人不知道计算机是什么东西。

1980年，美国人第一台8086CPU芯片个人计算机（PC，俗称电脑）上市，80年代初，中国出现了进口电脑。

一台苹果机，价格近两万元，是普通干部工人工资的数百倍，个人根本没有能力购买。

90年代以后中国有了互联网，电脑才逐步为中国人所熟悉。

面对外来的先进科学技术，中国有些传统文化人很不服气，连基本数学常识都没有，却说什么计算机二进制原理，源于中国的《周易》。

这些文化人有个共同特点，大力宣扬用传统文化抵制西方文化的同时，却喜欢拉个外国名人为自己壮胆。

可是忽略了一点，老祖宗的东西既然如此伟大，为什么中国人发明不了，愣是让西方人莱布尼兹抢了头功？
飞机与鸟儿都能在高空中飞翔，飞机的原理却不是来自鸟类。

同样，莱布尼兹见过中国的太极图，不能证明计算机二进制原理源于《易经》。

据说伏羲创八卦。

传说中的伏羲时代已有5000多年历史了。

5000多年前的人类已经有了计数能力，可是还没有“0”这个数字概念，直到公元628年，印度人Brahmagupta首次使用O。

12世纪印度人Bhaskara指出正数的平方根有两个，一正一负。

（《数学：确定性的丧失英.M.克来因》湖南科技出版社）。

0不仅仅表示“无”或“没有”，如气温0度，不是没有温度。

有了0，就可建立一个参照系，如在一条直线上任取一点为0，0点的左边为负数，右边为正数。

学过计算机原理的人都知道，计算机电路的高电平和低电平对应二进制数1与0。

若高电平为1，则低电平为0；反之，高电平为0，低电平为1。

这是正逻辑与反逻辑问题。

计算机的工作原理基于“布尔代数”，进行逻辑运算。

计算机电路尽管十分复杂，但基本单元却很简单，由或门、与门、非门、与非门、或非门、异或门、同或门等组成。

因为计算机是高科技，有人就想当然，二进制也是高科技。

如百家讲坛的毛佩奇教授在他的《图解周易》书中说，二进制是“世界上数学进制中最先进的”，“20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，其运算模式是二进制。

它不但证明了莱布尼茨的原理是正确的，同时也证明了《易经》数理原理是很了不起的。

”
毛教授代表了相当一部分中国传统文化人的观点。

这是对数学进制的无知，数学的进制原理，不存在“正确”与“错误”，更没有“先进”与“落后”之分。

用什么制式进行数学运算，要看什么场合，什么方便用什么。

数学上有二进制、八进制、十进制、十六进制、六十进制，…等多种进制，原则上可取任何数进制，只要它实用。

12个月一年是十二进制，365天一年是三百六十五进制。

不同进制的数可以相互转换，如十进制135，转换成二进制为10000111，二进制的101转换成十进制为5。

很显然，若人工进行十进制计算135除5，十分简捷，但换成二进制100001111除101，计算起来既费力又费时间，是最笨拙的进制。

易经八卦阳爻为一长划“一”，阴爻为一断划“--”（马王堆西汉考古证明，阴爻为“<”。

后来演变成“--”），阴阳二爻任取三爻成一卦，共八个卦，八卦两两叠加，成六十四卦。

这是
十进制数的乘方运算，23=8，82=64，与二进制毫不相关。

有人认为，把八卦的阳爻“一”视作1，阴爻“--”视作0，就是二进制。

这是牵强附会，因为八卦产生的年代还没有0与1的概念。

乾坤二卦象征天地。

乾卦由三个阳爻“一”上下叠加组成，坤卦由三个阴爻“--”上下叠加组成。

若把阳爻符号“一”看成1，阴爻符号“--”视作0，则乾卦三个爻为二进制111，对应十进制7；坤卦三个爻为二进制000，对应十进制0。

《系辞》曰：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极即无，无中生有，产生8个卦。

若0等于无，太极即0，这岂不与上面说的坤为0相矛盾？并且，乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八，八个卦的“数”，都不能与各自六个爻符转换成的“二进制数”一一对应。

两个八卦叠加成六十四卦，六十四卦各由六个爻组成。

如乾卦为六个“一”，对应二进制111111，转换成十进制，25+24+23+22+21+20=63；坤卦六个阴爻“--”，对应二进制000000，转换成十进制仍为0。

六十四个卦的“数”，与各自的六个爻符转换成的“二进制数”，也不能一一对应。

古代汉字有“零”，零并不等于0，零的含意是：1，部分的、细碎的，与整相对，如零碎、十元零八毛；2，落，如雕零。

零的现代意义，可以是无，如“一切从零开始”。

没有0这个数，二进制无从谈起(有没有0不重要，0和1只是代表了开和关二字。

）。

《易经》有数理原理，八八六十四卦有简单的算术运算，但二进制源于八卦之说，是以讹传讹。

远古时代先民画的八卦占卜符号，竞成了高科技计算机的数学原理，无疑是现代版的天方夜谭。