双筛法在计算中的应用

i =1 i =1
i
m
∪A
i =1 m
m
就表示不大于 n 的后部孪生素数的个数。
∪ Ai = n − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i =1 i< j
m
m
i< j <k
∑
m
Ai ∩ A j ∩ Ak +
+ ( −1)
m
∩A
i =1
m
i
又因为
⎡ n − xij ⎤ ⎡ n − xi ⎤ Ai = ⎢ ⎥ ⎥ ， Ai ∩ A j = ⎢ ⎢ ⎣ pi ⎦ ⎣ pi p j ⎥ ⎦
m m
⎡ ⎢ m n− y + ( −1) ⎢ m 12 ⎢ ∏ pi ⎢ ⎣ i =1
⎤ ⎥ i ⎥ +T ⎥ ⎥ ⎦
(
n + 2 +1− m
)
当不超过 n 的素数的个数已知时
T ( n) = ∑ ⎡ ⎣π ( pk +1 + 2 ) − π ( pk +1 ) ⎤ ⎦, pk +1为奇素数,q=π ( n ) -1,n ≥ 4。
T ( n) = ∑ ⎡ ⎣π ( pk +1 + 2 ) − π ( pk +1 ) ⎤ ⎦, pk +1为奇素数,q=π ( n ) -1,n ≥ 4。
k =1
q
命题证毕。 例：n=7，前部素数的个数 m = π
(
7 + 2 = 2 ,前部孪生素数的个数 T
)
(
7 + 2 =1
)
x
⑴
1
≡ 0(mod 2); x 2 ≡ 0(mod 3), x 2 ≡ −2(mod 3); x12 ≡ 0(mod 6), x ≡ −2(mod 6);
12
⎡7⎤ ⎡7⎤ ⎡7 + 2⎤ ⎡ 7 ⎤ ⎡7 + 2⎤ T (7) = 7 − ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ − ⎢ + + +T ⎣2⎦ ⎣3⎦ ⎣ 3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 2× 3⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 2×3 ⎥ ⎦ = 7 − 3 − 2 − 3 +1+1+1 = 2
⑵
(
7+2
)
⎡7 + 2⎤ ⎡7 + 2⎤ T (7) = π (7) − ⎢ + +T ⎣ 3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 2×3 ⎥ ⎦ = 4 − 3 +1+1+1− 2 = 2
首先写出 1，2，3，…………n—1，n。不超过 n + 2 的前部素数为 在自然数中筛去合数 1、 划去 2 的倍数。 2、 划去 3 的倍数。 …………………………………… m+1、划去
p,p ,
1 2
,
p
m
p
m
的倍数。
做到这里，剩下的数就是不超过 n 的后部素数和 1。 在素数中筛去非孪生素数 再分别划去 3k－２;5k－２…… k
i
i
⎡ n − xi ⎤ Ai = ⎢ ⎥ ，任意给定正整数 n 中， ⎣ pi ⎦
⎡ n − xij ⎤ =⎢ ⎥ ，……任意给定正整数 n 中， ⎢ pi p j ⎦ ⎥ ⎣
⎧ x ≡ 0或-2(mod ⎪ ij ⎨ ≡ 0或-2(mod ⎪ ⎩ x ij
p) 同余类的个数为 A ∩ A p)
i
⎡ m ⎢n − x ⎡ n − xijk ⎤ 12 , Ai ∩ A j ∩ Ak = ⎢ ⎥ ,……， ∩ Ai = ⎢ m p p p ⎢ i =1 ⎢ i j k⎦ ⎥ ⎣ ∏ pi ⎢ ⎣ i =1
⎤ ⎥ i ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
T
(
n + 2 为前部素数中能构成孪生素数的素数个数，即前部孪生素数。
i i =1 i =1 i i< j i
m
j
+
i< j <k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak −
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
m m
m
i
那么
∪ Ai = n − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i =1 i< j
m
m
m
i< j <k
∑
m
Ai ∩ A j ∩ Ak +
+ ( −1)
∩A
i =1
y12 i 表示 x12
⎧x ≡ 0(mod ⎪ 12 i ⎪ ⎪ x12 i ≡ 0(mod ⎨ i 中去掉 ⎪ ⎪ ≡ 0(mod ⎪ ⎩ x12 i m) ( i = 1, 2
p) p)
1 2
的解。那么公式又可以改写为：
p)
i
⎡ n − y ji ⎤ ⎡ n − yi ⎤ T ( n) = π (n) − ∑ ⎢ ⎥+ ⎥+∑⎢ pi ⎦ j <i ⎢ p p i =2 ⎣ ⎥ j i ⎣ ⎦
p + 2 的任何素数整除， 则 p 与 p+2 是一对素数，
称为孪生素数。 分析下面相差为 2 的数组 （１，３） ； （２，４） ；…（k，k+2） ；…（ｎ，ｎ＋２） (１≤k≤n) 若
p,p ,
1 2
,
p
m
为连续素数，不超过 n 的前部素数的个数为 m = π
(
n+2
i
)
i
根据孪生素数的定义， 我们可以得到在上面 n 个数组中筛去 倍数再筛去
双筛法在计算中的应用
作者姓名：弯国强
作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学 E-mail：632158@ 摘 要：本文运用双筛法总结了准确的孪生素数，2a 生素数，以及哥德巴赫素数对的公
式。并结合容斥定理证明了孪生素数，2a 生素数，以及哥德巴赫素数对的公式的成立。从 而结束了孪生素数，2a 生素数，以及哥德巴赫素数对的公式只有近似公式而没有准确公式 的历史， 为进一步研究素数分布规律， 彻底解决孪生素数猜想和哥德巴赫猜想提供了有力的 理论依据。 关键词：素数、双筛法、孪生素数公式、2a 生素数公式、哥德巴赫素数对的公式 中图分类号：O156.1 双筛法是在埃拉托色尼斯基础上， 进行扩展得到的一种筛法。 这种筛法的基本特征是首 先在自然数中筛去合数，得到素数；然后再根据需要，依据一定的条件筛去相应的不适合条 件的素数，剩余的数就是需要留下的数。双筛法可以成功地应用于孪生素数，2a 生素数， 以及哥德巴赫素数对的计算问题。 若自然数 p 与 p+2 同时不能被不大于
⎤ ⎥ i ⎥ 为后部孪生素数的个数。 ⎥ ⎥ ⎦
⎧ x ≡ 0(mod ⎪ ij 设 yi 表示 xi 中去掉 x i ≡ 0(mod p ) 的解；设 yij 表示 xij 中去掉 ⎨ i ≡ 0(mod ⎪ ⎩ x ij
p) 的解； p)
i j
………………………………………………………………………………………………………
⎧x ≡ 0(mod ⎪ 12 i ⎪ ⎪ x12 i ≡ 0(mod ⎨ i 中去掉 ⎪ ⎪ ≡ 0(mod ⎪ ⎩ x12 i m) ( i = 1, 2
p) p)
1 2
的解。那么公式又可以改写为：
p)
i
⎡ n − y ji ⎤ ⎡ n − yi ⎤ T ( n) = π (n) − ∑ ⎢ ⎥+ ⎥+∑⎢ pi ⎦ j <i ⎢ p p i =2 ⎣ ⎥ j i ⎣ ⎦
p)
2
m
pm 表示正整数 n 的前部素数，m 为前部素数的个数。由容斥原理可知
m
∪ Ai = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj +
i =1 i =1 i< j m
i< j <k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak −
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
m
i
其中
∪ Ai 表示不大于 n 的所有非孪生素数和前部孪生素数之和的个数。那么 ∪ Ai 的补
⎡ n − xi ⎤ m ⎡ n − x ji ⎤ T ( n) = n − ∑ ⎢ ⎥+ ⎥+∑⎢ pi ⎦ j <i ⎣ i =2 ⎣ ⎢ p j pi ⎦ ⎥
m
⎡ ⎢ m n−x + ( −1) ⎢ m 12 ⎢ ∏ pi ⎢ ⎣ i =1
⎤ ⎥ i ⎥ +T ⎥ ⎥ ⎦
(
n+2
)
m =π
(
n + 2 为 n+2 的前部素数的个数， T
)
(
n + 2 为前部素数中能构成孪生素数的素
)
数个数，即前部孪生素数的个数。
⎡ n − x ji ⎤ ⎡ n − xi ⎤ n−∑⎢ ⎥+ ⎥+∑⎢ pi ⎦ j <i ⎣ i=2 ⎣ ⎢ p j pi ⎦ ⎥
m m
⎡ ⎢ m n− x + ( −1) ⎢ m 12 ⎢ ∏ pi ⎢ ⎣ i =1
i
证明： 记 A i = x x = 0 ( mod pi ) , x + 2 = 0 ( mod pi ) 示 n 的前部素数，且 p1 , p2 ,
{
} ( i = 1, 2
m ) ，p1 , p2 ,
pm 表
pm 为连续素数。任意给定正整数 n 中，
x
i
≡ 0或-2(mod
p) 同余类的个数为
m m
⎡ ⎢ m n− y + ( −1) ⎢ m 12 ⎢ ∏ pi ⎢ ⎣ i =1
⎤ ⎥ i ⎥ +T ⎥ ⎥ ⎦
(
n + 2 +1− m
)
当不超过 n 的素数的个数已知时，在 π ( pk +1 + 2 ) − π ( pk +1 ) 中，如果 pk +1 + 2和pk +1 同为素 数则 π ( pk +1 + 2 ) − π ( pk +1 ) =1 把所有的奇素数从 p2 到 pq +1 累加起来，就可以得到不超过 n 的孪生素数的个数， pk +1为奇素数,q=π ( n ) -1,n ≥ 4 。所以
)
那么不超过 n 的孪生素数的个数：
⎡ n − x ji ⎤ ⎡ n − xi ⎤ T (n) = n − ∑ ⎢ ⎥+ ⎥+∑⎢ pi ⎦ j <i ⎣ i =2 ⎣ ⎢ p j pi ⎦ ⎥
m m
⎡ ⎢ m n−x + ( −1) ⎢ m 12 ⎢ ∏ pi ⎢ ⎣ i =1
⎤ ⎥ i ⎥ +T ⎥ ⎥ ⎦
x + 2≡0mod p ，即是 x ≡−2mod p ( i = 1, 2
i i
m ) ，则
余下的数组（k，k+2）中，k 和 k+2 都不是前 m 个素数的倍数，根据素数的判定定理，余 下的数组全为素数且相差为 2，即为后部孪生素数。然后在前部素数中找出孪生素数，就可 以得到前部孪生素数。那么不超过 n 的孪生素数的个数就等于前部孪生素数的个数加上后 部孪生素数的个数。 根据以上分析，可以求出不超过正整数 n 的一切孪生素数，具体方法是：
p
m
− 2 就可以得到不超过 n 的后部孪生素数。
然后在前部素数中找出孪生素数，就可以得到前部孪生素数。那么不超过 n 的孪生素 数的个数就等于前部孪生素数的个数加上后部孪生素数的个数。 仿照素数公式可得出类似的孪生素数计算公式 设：
x
i
≡ 0或- 2(mod
p)
i
⎧ x ≡ 0或-2(mod ⎪ ij ⎨ ≡ 0或-2(mod ⎪ ⎩ x ij
j
j
⎧x ≡ 0(mod p ) 1 ⎪ 12 i ⎪ ⎪ x12 i ≡ 0或- 2(mod ⎨ ⎪ ⎪ ≡ 0或- 2(mod ⎪ ⎩ x12 i m) ( i = 1, 2
p1 , p2 ,
m m
⎡ ⎤ ⎢n − x ⎥ 同余类的个数为 ∩ Ai = ⎢ m 12 m ⎥ ⎢ i =1 pi ⎥ ∏ ⎢ ⎥ p i) ⎣ i =1 ⎦
k =1
q
容斥原理：设 A1 , A2 ,
于 A1 , A2 , 设 A1 ∩ A2 ∩
m m
Am 是有限集 A 的子集， A = n ，那么 A 中所有不属
Am 中任何一个元素个数为：
∩ Am简记为∩ Am ； A1 ∪ A2 ∪
i =1
m
∪ Am简记为∪ Am
i =1
m
∪A = ∑ A −∑ A ∩ A解； p)
i j
⎧ x ≡ 0(mod ⎪ ij 设 yi 表示 xi 中去掉 x i ≡ 0(mod p ) 的解；设 yij 表示 xij 中去掉 ⎨ i ≡ 0(mod ⎪ ⎩ x ij
………………………………………………………………………………………………………
y12 i 表示 x12
⑶
(
7 + 2 +1− 2
)
q=π ( 7 ) -1=3
即是 p x ≡0mod p ，
x + 2≡0mod p ，即是 x ≡−2mod p ( i = 1, 2
i i
m ) ，则余下的数
组（k，k+2）中，k 和 k+2 都不是前 m 个素数的倍数，根据素数的判定定理，余下的数组 全为素数且相差为 2，即为后部孪生素数。然后在前部素数中找出孪生素数，就可以得到前 部孪生素数。那么不超过 n 的孪生素数的个数就等于前部孪生素数的个数加上后部孪生素 数的个数。 也可以这样理解，首先在上面 n 个数组中筛去合数，数组中第一个数剩下 1 和质数， 接着在质数中再筛去
p) p)
i j
⎧x ≡ 0(mod p ) 1 ⎪ 12 i ⎪ ⎪ x12 i ≡ 0或- 2(mod ⎨ ⎪ ⎪ ≡ 0或- 2(mod ⎪ ⎩ x12 i m) ( i = 1, 2
p)
2
p)
i
xi , x ji ,
x12 i 是同余方程组的解，这些解取解的绝对值不大于模的负值。
孪生素数计算公式： T ( n ) 表示不超过 n 的孪生素数的个数。