高二年级理科数学选修2-1期末试卷
高二年级理科数学选修2-1期末试卷
(测试时间:120分钟 满分150分)
注意事项:答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内.答题时,答案
写在答题纸上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效.........
.本卷考试结束后,上交答题纸. 一、选择题(每小题5 分,共12小题,满分60分)
1. 已知命题tan 1p x R x ?∈=:
,使,其中正确的是 ( ) (A) tan 1p x R x ??∈≠:
,使
(B) tan 1p x R x ???≠:
,使 (C) tan 1p x R x ??∈≠:
,使
(D) tan 1p x R x ???≠:
,使 2. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 ( ) (A )(a , 0) (B )(-a , 0) (C )(0, a ) (D )(0, -a ) 3. 设a R ∈,则1a >是
1
1a
< 的 ( ) (A )充分但不必要条件 (B )必要但不充分条件
(C )充要条件
(D )既不充分也不必要条件
4. 已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的 中线长为 ( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5
5.有以下命题:
①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么,的关系是不共线;
②,,,O A B C 为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,则点,,,O A B C 一定共面; ③已知向量,,是空间的一个基底,则向量,,-+也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 ( ) (A )①② (B )①③ (C )②③ (D )①②③
6. 如图:在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为11C A 与11D B 的交点。若a AB =,b AD =,=1则下列向量中与BM 相等的向量是( )
(A ) ++-
2121 (B )++21
21 (C )c b a +--2121 (D )c b a +-2
1
21
7. 已知△ABC 的周长为20,且顶点B (0,-4),C (0,4),则顶点A 的轨迹方程是 ( )
(A )1203622=+y x (x ≠0) (B )136202
2=+y x (x ≠0)
(C )120622=+y x (x ≠0) (D )16
202
2=+y x (x ≠0)
8. 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)B (x 2, y 2)两点,如果21x x +=6,那么AB = ( )
C1
(A )6 (B )8 (C )9 (D )10
9. 若直线2+=kx y 与双曲线62
2
=-y x 的右支交于不同的两点,那么k 的取值范围是 ( )
(A )(315,315-
)(B )(315,0) (C )(0,315-) (D )(1,3
15--) 10.试在抛物线x y 42
-=上求一点P ,使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小,则该点 坐标为 ( ) (A )??? ??-
1,41 (B )??
?
??1,41 (C )()22,2-- (D )()
22,2- 11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,如果AB=BC=1,AA 1=2,那么A 到直线A 1C 的距离为 ( )
(A )
3 (B ) 2 (C )3 (D ) 3
12.已知点F 1、F 2分别是椭圆22
221x y a b
+=的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点,
若△ABF 2为正三角形,则该椭圆的离心率e 为 ( )
(A )12 (B )(C )13
(D
二、填空题(每小题4分,共4小题,满分16分)
13.已知A (1,-2,11)、B (4,2,3)、C (x ,y ,15)三点共线,则x y =___________。
14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽8米。当水面升高1米后,水面宽度
是________米。
15. 如果椭圆
19
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2=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是___________。 16.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;
②在ABC ?中,“?=∠60B ”是“C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列”的充要条件.
③12x y >??
>?是32
x y xy +>??>?的充要条件;④“am 2 ”是“a 以上说法中,判断错误的有___________. 三、解答题(共6小题,满分74分) 17.(本题满分12分) 设p :方程2 10x mx ++=有两个不等的负根,q :方程2 44(2)10x m x +-+=无实根, 若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围. 18.(本题满分12分) 已知椭圆C 的两焦点分别为()() 12,0,0F F -22、22,长轴长为6, ⑴求椭圆C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度。. 19.(本题满分12分) 如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ,,两两垂直, 且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点。 (1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值; (2)求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值。 20.(本题满分12分) 在平面直角坐标系x O y 中,直线l 与抛物线2 y =2x 相交于A 、B 两点。 (1)求证:命题“如果直线l 过点T (3,0),那么OB OA ?=3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。 21.(本题满分14分) 如图,棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=2 2. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)求二面角P—CD—B余弦值的大小; (3)求点C到平面PBD的距离. 22. (本题满分12分) 如图所示,F1、F2分别为椭圆C:)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x 的左、右两个焦点,A、B为两个顶点, 已知椭圆C上的点) 2 3 ,1(到F1、F2两点的距离之和为4. (1)求椭圆C的方程和焦点坐标; (2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积. P B C A 高二年级理科数学选修2-1期末试卷 参考答案 一、选择题: 二、填空题: 13、 2 14、24 15、 082=-+y x 16、③④ 三、解答题: 17、解:若方程2 10x mx ++=有两个不等的负根,则21240 m x x m ??=->?+=-, …………2分 所以2m >,即:2p m >. ………………………………………………………3分 若方程2 44(2)10x m x +-+=无实根,则2 16(2)160m ?=--<, …………5分 即13m <<, 所以:13p m <<. …………………………………………………6分 因为p q ∨为真,则,p q 至少一个为真,又p q ∧为假,则,p q 至少一个为假. 所以,p q 一真一假,即“p 真q 假”或“p 假q 真”. ……………………………8分 所以213m m m >??≤≥?或或2 13m m ≤??< …………………………………………………10分 所以3m ≥或12m <≤. 故实数m 的取值范围为(1,2][3,)+∞. …………………………………………12分 18、解: ⑴由( )() 12F F 、,长轴长为6 得:3c a ==所以1 b = ∴椭圆方程为22 191 x y += …………………………………………………5分 ⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22 191 x y +=①, ∵直线AB 的方程为 2y x =+② ……………………………7分 把②代入①得化简并整理得21036270x x ++= ∴12121827,5 10 x x x x +=-= ……………………………10分 又AB ……………………………12分 19、解:(1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……………………………3分 (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-=- COS<,EB AC > 2, 555 = =-? ……………………………5分 所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为 5 2 ……………………………6分 (2)设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则 11:20;n AB n AB x z ⊥?=-=知 11:20.n AC n AC y z ⊥?=-=知取1(1,1,2)n =, ………8分 则30 30 6 5012,cos 1= +->= 30 30 …………12分 20、证明:(1)解法一:设过点T(3,0)的直线l 交抛物线2 y =2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于 A(3,6)、B(3,-6),∴3=?。 ……………………………3分 当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -3),其中k≠0. ?? ?-==) 3(22x k y x y 得ky 2 -2y -6k =0,则y 1y 2=-6. 又∵x 1=21y 12, x 2=21y 22, ∴OB OA ?=x 1x 2+y 1y 2=21221)(4 1 y y y y +=3. ……………………………7分 综上所述, 命题“......”是真命题. ……………………………8分 解法二:设直线l 的方程为my =x -3与2 y =2x 联立得到y 2 -2my-6=0 ?=x 1x 2+y 1y 2 =(my 1+3) (my 2+3)+ y 1y 2=(m 2+1) y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=(m 2 +1)× (-6)+3m ×2m+9=3 ………8分 (2)逆命题是:“设直线l 交抛物线y 2 =2x 于A 、B 两点,如果3=?OB OA ,那么该直线过点T(3,0).” …………………………………………………10分 该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点A(2,2),B(2 1 ,1),此时3=?OB OA =3, 直线AB 的方程为y = 3 2 (x +1),而T(3,0)不在直线AB 上. ………………………………12分 点评:由抛物线y 2 =2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)满足3=?,可得y 1y 2=-6。或y 1y 2=2,如果 y 1y 2=-6,可证得直线AB 过点(3,0);如果y 1y 2=2, 可证得直线AB 过点(-1,0),而不过点(3,0)。 21、解:方法一:证:⑴在R t △BAD 中,AD =2,BD =22, ∴AB =2,ABCD 为正方形,因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . 解:(2)由PA ⊥面ABCD ,知AD 为PD 在平面ABCD 的射影,又CD ⊥AD , ∴CD ⊥PD , 知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角. 又∵PA =AD ,∴∠PDA=450 . (3)∵PA =AB =AD =2,∴PB =PD =BD =22 ,设C 到面PBD 由PBD C BCD P V V --=,有d S PA S PBD BCD ??=????3 1 31, 即d ???=????0 260sin )22(21312222131,得332=d 方法二:证:(1)建立如图所示的直角坐标系, 则A (0,0,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2).………………2在R t △BAD 中,AD =2,BD =22, ∴AB =2.∴B (2,0,0)、C (2,2,0), ∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-===BD AC AP ∵0,0=?=?,即BD ⊥AP ,BD ⊥AC ,又AP ∩AC =A ,∴BD ⊥平面PAC . …………4分 解:(2)由(1)得)0,0,2(),2,2,0(-=-=. 设平面PCD 的法向量为),,(1z y x n =,则0,011=?=?n n , 即???=++-=-+00020220x z y ,∴? ??==z y x 0 故平面PCD 的法向量可取为)1,1,0(1=n ∵PA ⊥平面ABCD ,∴)01,0(=为平面ABCD 的法向量. ……………………………7分 设二面角P —CD —B 的大小为θ,依题意可得2 2 cos = = θ . ……………………………9分 (3)由(Ⅰ)得)2,2,0(),2,0,2(-=-=,设平面PBD 的法向量为),,(2z y x n =, 则0,022=?=?n n ,即? ??=-+=-+02200 202z y z x ,∴x =y =z ,故可取为)1,1,1(2=n . ……………11分 ∵)2,2,2(-=PC ,∴C 到面PBD 的距离为3 3 2= = d …………………14分 22、解:(1)由题设知:2a = 4,即a = 2, 将点)2 3,1(代入椭圆方程得 1)(21222 32=+b ,解得b 2 = 3 ∴c 2 = a 2-b 2 = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为13 42 2=+y x , ……………………………5分 焦点F 1、F 2的坐标分别为(-1,0)和(1,0) ……………………………6分 (2)由(Ⅰ)知)3,0(),0,2(B A -,23 ==∴AB PQ k k , ∴PQ 所在直线方程为)1(2 3-=x y , 由???????=+-=134 )1(23 2 2 y x x y 得 093482 =-+y y 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则8 9 ,232121-=?-=+y y y y , ……………………………9分 2 21894434)(2122121=?+= -+=-∴y y y y y y .2 212212212121211=??=-?= ∴?y y F F S PQ F ……………………………12分 高二数学期末试卷(理科)