等差数列的前n项和的最值

Sn=An2+Bn+C， 若C=0，则{an}为等差数列； 若C≠0，则数列{an}不是等差数列。
(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和 相等。
新课讲授 .将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d 2 d Sn n (a1 )n 2 2
d d 令 A , B a1 2 2
则 Sn=An2+Bn
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
小结
结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，
(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an} 是等差数列。
{an}是等差数列
Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)
结论2：设数列{an}的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数） 若C=0，则{an}为等差数列；
1 1 3 13 3 2 d 11 13 11 10 d 2 2
1 Sn 13n n( n 1) ( 2) 2 2 2 n 14n (n 7) 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
∴ d=－2
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－2<0
2 2 2 2
(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0
1 1 1 1 n + + + + = a1a2 a2a3 a3a4 anan+1 a1an+1
1 1 1 1 = 其中 anan+1 d an an+1
1 1 1 1 求和Sn = + + + + 13 3 5 5 7 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1- + - + - + + 2 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1 1 1 n = 1 = 2n+1 2 2n+1
若C≠0，则数列{an}不是等差数列。
结论:3：等差数列前n项和不一定是关于n的二次 函数： d 2 d n(n 1)d Sn n (a1 )n S n na1 2 2 2 （1）当d≠0是，sn是项数n的二次函数，且不 含常数项； （2）当d=0是，sn=na1,不是项数n 的二次函数。 反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数 列的和。
例1、若等差数列{an}前4项和是2，前9 项和是－6，求其前n 项和的公式。
解：设首项为a1，公差为d，则有：
18 1 2 4a1 4 3d a1 15 2 ， 解之得： 1 7 6 9a1 9 8d d 2 15 ∴S 18 n 1 n(n 1) ( 7 ) 7 n 2 43 n 。 n 15 2 15 30 30
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0
另解：
设 Sn= an2 + bn，依题意得： S4=2, S9= －6, 解之得：
2 a4 b4 即 , 2 6 a 9 b 9
2
7 a 30 , 43 b 30
7 2 43 Sn n n。 30 30
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得
求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn n (a1 )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此 时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由 an≥0且an+1≤0求得.
②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此 时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由 an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.
Sn
3 11 n 7 2
n 3 7 11
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 15 n 2 an 0 由 得 an 1 0 n 13 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.
练习:已知数列{an}的通项为 an=26-2n,要使此数列的前n项和 最大,则n的值为( C ) A.12 D.14 B.13 C.12或13
小结
d 2 d Sn n (a1 )n 2 2
则 Sn=An2+Bn
d d 令 A 2 , B a1 2
Sn是关于n的二次式，常数项为 零。（d可以为零）
n 3 7 11
Hale Waihona Puke Baidu
例2：已知数列{an}是等差数列，且 a1= 21，公差d=－2，求这个数列的前 n项和Sn的最大值。S11最大为121
已知 a3 24, s11 0 求： ①数列 an 的通项公式 an=-8n+48 ②当n为何值时， 最大， sn s22最大
例3设等差数列 an 的前n项和为 s n,
Sn是关于n的二次式，常数项为 零。（d可以为零）
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 当d=0时,Sn=na1不是二次函数
结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，
(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an} 是等差数列。 {an}是等差数列
Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)
∴当n=7时,Sn取最大值49.
例1的变式题一：等差数列{an}中，首 项a1>０，S3 = S11，问：这个数列的前 几项的和最大？
解: 由S3=S11得 d<0，则d/2＜0
Sn
则Sn的图象开口向下，如 图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.
3 11 n 7 2
结论2：设数列{an}的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数） 若C=0，则{an}为等差数列； 若C≠0，则数列{an}不是等差数列。
例1 若一个等差数列前3项和为34，最 后三项和为146，且所有项的和为390，则 这个数列共有______项。 13
例2 已知数列{an}中Sn=2n2+3n，求证： {an}是等差数列.
2.2等差数列的前n项和 （第二课时）
——等差数列的前n项和的函数特 性及最大致与最小值
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
新课讲授
一、常用数列的求和方法：
1 1 1 +2 +3 + +n = n n+1 2n+1 6 2 n n+1 3 3 3 3 2 1 +2 +3 + +n = 2