人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点详解

二次根式重难点详解

一、 五大重点一一攻克

1． 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。 例1判断下列式子哪些是二次根式．

（1 （2 （3 （4； （5剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为2，被开方数整体是否为非负数．

解：（1）∵ 被开方数-13

（2）∵ 根指数是3 ，

（3）∵被开方数9〉0

(4) ∵ x 可取正数、负数、0； ∴5x -可取正数、负数、0。

即当50x -≥是二次根式；当50x -<不是二次根式。

（5）∵20x ≥ ， ∴20x -≤，即当0x =0x ≠时，

2．二次根式的两个重要性质的理解和运用

（1）(a )2=a (a ≥0)；（2a == (0)(0)

a a a a ≥-<；

例2 化简（1）

2

（2剖析： (a )2=a (a ≥0)的运用主要看被开方数a 整体是否为非负数。

（1） 中2

1x +无论x 取何实数恒为正数，故

2

=21x +；

a ==

(0)(0);

a a a a ≥-<要特别关注a 的正负性。

（2中由340a -≥得0,0a a ≤-≥，所以

=4=22a =2-

3.最简二次根式的概念的运用

例3 在二次根式15453040,,,，

2

2

3中，最简二次根式有（ ）个

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

例3中满足以上两个特点，故都是最简二次根式；而

=

中被开方数分别含有能开得尽方的因数9和4，故

=3，简二次根式。故选B 。

4.运用二次根式乘除法法则计算或化简

例4 化简6)24÷÷

解:原式

==242.33==?=

例5? 解:原式= 44

2392a b a b ab b b b

-??=-

=29a =- 。 点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。 5. 二次根式加减法法则的运用

例6

解:原式=112332??-=+- ??点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式，

再合并同类二次根式。

二、三大难点各个击破

1．二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用。 例1

=-求x 的取值范围？

中a 的取值范围为0a

≥

0≥。

0;≥

∴0-≥

0,0x ≥∴-≥即0.x ≤又20,2x x +≥∴≥- ∴x 的取值范围是20x -≤≤。

例2 数a 、b 在数轴上的位置如图所示， 化简：222)()1()1(b a b a ---++ .由图可知：21,12a b -<<-<<； ∴10;10;0a b a b +<->-<

∴222)()1()1(b a b a ---++

=1111()2a b a b a b b a ++---=--+---=-

2．逆用二次根式乘除法法则进行化简

例3 计算或化简（1

； （2

0;0x y ≥≥）

解：

（1

3==?= （

2

2

23()3(x y x y xy x y +=+

0;0

x y ≥≥）

.

3.灵活运用二次根式加减乘除混合运算化简求值

例4 已知22

x y =

=求22x xy y -+的值.

解:由题可知1

.2

x y xy +==

∴

22x xy y -+=2311(

)37.2

2

x y xy +-=-=

点拨:

观察发现已知条件,2x y 中的

与-2

是一对相反数,而所求式子是这

两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式

简化求值.

栏目名：错题集

解二次根式常见错误分类解析一、审题不清导致错误

例1

______ .

错解：

±4.

16的平方根。

正解：164;

=

±2。

二、化简不彻底，结果不是最简二次根式

例

2

.

=

诊断：化简二次根式的结果一定是最简二次根式，=

。

3

==?=

=

三、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0而导致错误例3化简

(

)

()

--

-

x y x y

x y

===.

0,

≠即x＞0，y＞0，所以x与y有可能相等。

故应分两种情况。

正解：（1）当

x y

=时，原式=0；

（2）当x y

≠时，

(

)

()

x y x y

x y

--

===

-

四、漏掉括号导致错误

例4

错解：原式＝

21

a a ++.

诊断:当一个式子与一个多项式相乘时,多项式应注意添括号. 正解:

=

五

中的隐含条件a ≥0

例5

化简

错解：原式＝1x x

＝1

x x ?

＝x

30,0;

0;0.

x x x x x x -≥≤=≥≤=-即成立的条件是当时

正解：由30,0;x x -≥≤得

∴

原式＝11

(.

x x x x x x

=?-=

例6当1

5a =

时，求1a +

错解：原式＝1a +111

5

a a a a +-==.

诊断:由15a =,得15a =,则1a a -＜

0,11a a a a ?

?=--=- ???.

正解:

原式＝1a 11214

109.55

a a a a a +-=-=-=

七、连用“＝”号出错

例7 已知Rt ABC ?中，两条直角边长分别为9,40,a b ==求斜边.c 错解：由勾股定理，222c a b =+

＝2294041.+==

诊断：

诊断：运算法则变了，还连用“=”号出错。

正解：由勾股定理，222229401681;c a b =+=+=

41.c ∴== 八、不管字母正负；滥用积（商）的算术平方根性质而出错 例8 已知2,1,a b ab +=-=

错解：原式2=

===-.

诊断:由1ab =＞0,知,a b 同号;又2,a b a +=-∴＜0,b ＜0. 正解:原式

11 2.a b

b a ab

+=--=-= 九、运算顺序不清导致错误 例9 计算

1

诊断：忘记乘除是同一级运算，应按从左到右依次计算。

1b b

a a a

=

= 例10

计算：52-

错解：

523-=

=诊断：，实数的加减乘除四则运算法则对于二次根式的运算仍然适用，

应先算乘除，再算加减。

正解：1552533

--

=-

= 十、乱用运算律导致错误

例11

.

诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。

32===-十一、在去括号时出错

例12

==诊断：去括号法则对二次根式仍然适用，括号前面是负号，去括号时括号内的

每一项都改变符号。

==

十二、用公式时出错

例13 计算：(

2

错解：((

(

222

121830=+=+=

诊断：运用完全平方公式丢项出错。

正解：(((2

2

2

2121830=+?=+=+。

栏目名：期末练兵

综合练习题

一、选择题（每小题3分,共30分） 1．下列各式正确的是（ ）

A 2;=±6;=-=

. D. 5=-

2.下列各式中属于最简二次根式的是（ ）

A

B ．

C ．．

3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）

A B D

4. ②;;⑤;⑥3

,其中最简二次根式是 ( )

A.①③④⑥

B.③④⑥

C.③④⑤⑥

D.②③⑥

5. 化简的结果是（ ）

A ．x

-．x -．2

x

． 2

x

的平方根是 ( )

C.±13

D.

7.若把a 适当变形后移入根号内，得（ ）

A ．． D

8.

= 成立的条件是 ( ) A. 5x ≠ B.x >5 C.x ≥3 D.x ≥3且x ≠5 9.若,x y 为任意实数,则下列各式的值一定为正数的是 ( )

A.│x +5│

B.2

12

y + C.2()n x y - D.

10.已知a a >0,b>0),

( )

A.13

B.12;

C.23

D.3

4

二、填空题:(每空2分,共26分)

的算术平方根是_____.

2. 7

19

-的相反数的平方根是________.

3. 1-

的绝对值是__________，它的倒数__________.

4. 连接起来:_________________________.

5.当x ________x

x

-2有意义，则x _______. 6.当m > n 时，2)(m n -＝___________;=-2)23( .

7. = .

8. 某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积是2

cm ，它的长为

cm ，则这个孔的宽为________cm ．

9.当1≤x <3时3x -=________.

10.若1x x

+=则221x x +=_______. 三、解答题:（共64分)

1.计算、化简: (每小题5分共25分)

(1)

;

(3) 0

2

1)

?+

-- ?;

(4)()

2007

2006

22

+??

(5) 2-a >0,b>0);

2. 已知x

,1的值.( 6分) 3. 解不等式和方程 (每小题4分共8分)

（1）)1(6)3(2+≥-x x （2）2 3.x -=

4. 自由下落物体的高度h 米与下落的时间t 的关系为2

12

h gt =

。有一学生不慎把一个铁球从19.6米高的楼上自由下落,正好另一学生站在与下落的铁球同一直线的地面上,若在铁球下落的同时楼上的学生惊叫一声,问这时楼下的学生听到惊叫声后能躲开吗?(已知声速为340米/秒;9.8g =米/秒2.)(本题5分)

5. (本题6分),,求此三角形的周长与面积.

6、(本题8分)（1）先观察下列分母有理化：

====从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值:

...1)

+++

（2）你能由（1）题得到启发，发现x

规律,试确定x的值在什么范围内.

7.试在图(1)的空格中填上适当的数,使图中每一行、每一列、每条对角线上的三个数的和均为0；你能在图(2)的空格中填上适当的数，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数的积为１吗？试一试。(本题6分)

(2)

(1)

1

-2

3

-3

2