第五章第一节

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图5－1－1 则第7个三角形数是( A．27 B．28 ) C．29 D．30
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【解析】 28.
由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝
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(1)要善于利用函数性质，解决数列有关项与前n项和的最值．以 方程的思想指导五个量a1，an，Sn，d(q)，n中“知三求二”等数列运 算． (2)一般的数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(等比)数列求 和；其次再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消等化归技巧.
(2)符号与பைடு நூலகம்对值分别考虑；
(3)分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系； (4)规律不明显，适当变形．
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【尝试解答】
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(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总
比前面的数的绝对值大6， 故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． 8 8 8 8 (2)数列变为 (1－0.1)， (1－0.01)， (1－0.001)，„，∴an ＝ 9 9 9 9 (1－ 1 )． 10n
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1．(教材改编题)下列说法正确的是(
)
A．数列 1，3，5，7 可表示为{1，3，5，7} B．数列 0，2，4，6，„可记为{2n} 1 1 1 1 1 C．数列 ， ， ，„ ，„的通项公式为 an＝ 2 3 4 n n
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2．数列的函数特征是什么？ 【提示】 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，
2，3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，
即f(n)＝an(n∈N*)．
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设函数f(x)定义如下表：
x f(x) 1 1 2 4 3 2 4 5 5 3
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定义数列{an}：a0＝5，an＋1＝f(an)，n∈N.
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(1)求a6； (2)求a1＋a2＋a3＋„＋a2 011. 【思路点拨】 (1)由a0＝5，an＋1＝f(an)，n∈N，及表格提供的 信息依次求出a1，a2，„，a6. (2)利用函数的周期性求和．
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3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来
表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 4．数列的递推公式 若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝
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(教师用书独具)
从近两年高考试题可以看出，高考题在数列这一章中的命题呈以 下特点： 1．考查题型较为全面．选择、填空、解答均有所考查，一般一 小一大，分值约占10%，其中解答题难度较大．
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n＋1 1 D．数列{ }的第 k 项为 1＋ n k
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【解析】 根据数列的表示法知 A 不正确，对于选项 B、C 令 n ＝1 分别得到 2，1，不合题意．故 B、C 不正确；对于选项 D，令 n k＋1 1 ＝k 得 ak＝ ＝1＋ ，故 D 正确． k k
【答案】 1 161
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4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
【解析】 当 n＝1 时，a1＝S1＝2； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－ 1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1] ＝n2－(n－1)2＝2n－1
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分母组成数列{n}，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3.即奇 数项为2－1，偶数项为2＋1. 2＋（－1）n ∴an＝(－1)n . n
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1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，„. 2 4 8 16 32 64
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【思路点拨】 归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系；
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2．重点考查等差、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式， 注重在知识的交汇处命题，如数列与函数、方程、不等式等知识的综 合应用．注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查． 3．预计今后高考仍将以等差、等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式为考点，同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方 向.
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(3)各项的分母分别为21，22，23，24，„，易看出第2，3，4项 2－3 的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－ . 2 21－3 22－3 23－3 24－3 原数列化为－ 1 ， 2 ，－ 3 ， 4 ，„， 2 2 2 2 2n－3 ∴an＝(－1) · n . 2
2an－1＋1，n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式． 5．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
S 1 （n＝1） 则an＝ Sn－Sn－1 （n≥2）
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2．数列的分类
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分类标准
项数
类型
有穷数列 无穷数列 递增数列 an＋1 > 递减数列
满足条件
项数 有限 项数 无限 an 其中n∈N* an＋1 < an
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项与项间 的大小关系
常数列
an＋1＝an
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【尝试解答】 (1)由题意得an＋ 1＝f(an)，a1＝f(a0)＝f(5)＝3， ∴a2＝f(a1)＝f(3)＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝4，a4＝f(a3)＝f(4)＝5，a5 ＝f(a4)＝f(5)＝3， ∴a6＝f(a5)＝f(3)＝2. (2)由(1)的计算过程知，{an}是周期数列，且最小正周期为4.
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1.重视两类基本数列的复习，把握好重点与难点． (1)要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念，掌握各公式之 间的联系和内在规律，灵活运用公式． (2)等差、等比数列，基本量的计算，应熟练掌握． 2．重视数学方法和技能训练，强化数学思想
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是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或 (－1)n＋1来调整．
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根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公 式． (1)3，5，7，9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ，－ ， ，－ ， ，„. 2 3 4 5 6
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【解】
(1)各项减去1后为正偶数，∴an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23， 24，„. 2n－1 ∴an＝ n . 2 (3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(－1)n，各项绝对值的
考 纲 传 真
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函 数.
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1．数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫 做这个数列的 项 ．
【答案】 B
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an 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则a5＝________． 2an＋3
a1 1 a2 1 a3 1 【解析】 a2＝ ＝ ，a3＝ ＝ ，a ＝ ＝ ， 2a1＋3 5 2a2＋3 17 4 2a3＋3 53 a4 1 a5＝ ＝ . 2a4＋3 161
n
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1．求数列的通项时，要抓住以下几个特征． (1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后 的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳 法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果
2 ∴an＝ 2n－1
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（n＝1）， （n≥2）.
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【答案】
2 （n＝1） 2n－1 （n≥2）
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(见学生用书第89页)
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，„； (2)0.8，0.88，0.888，„；
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第一节
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数列的概念与简单表示法
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(见学生用书第88页)
1．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？
【提示】 不唯一，如数列－1，1，－1，1，„的通项公式可
－1 （n为奇数） 以为an＝(－1) 或an＝ ，有的数列没有通项公式． 1 （n为偶数）
n
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【答案】 D
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2．(2012· 福州模拟)把1，3，6，10，15，21，„这些数叫做三 角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5－1 －1)．