2019届高考数学(理)一轮总复习课件选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式

法二 ①当 x<1 时，不等式化为－(x－1)－(x－2)≤2. 解得 x≥12，所以 x 的取值范围是12≤x＜1. ②当 1≤x≤2 时，不等式化为(x－1)－(x－2)≤2， 得 x 的取值范围是 1≤x≤2. ③当 x>2 时，原不等式化为(x－1)＋(x－2)≤2， 解得 x 的取值范围是 2＜x≤52. 综上可知，不等式的解集是x12≤x≤25.
(2014·江西卷改编)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，试 求 x＋y 的取值范围．
解：由绝对值的几何意义知，|x|＋|x－1|是数轴上的点 x 到原点 和点 1 的距离之和，所以|x|＋|x－1|≥1，当且仅当 x∈[0，1]时取等 号．
同理|y|＋|y－1|≥1，当且仅当 y∈[0，1]时取“＝”．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解； 当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1； 当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x＜2. 所以 f(x)>1 的解集为x23<x<2.
当 a>3 时，f(3)＝a＋a1
由
f(3)<5，得
5＋ 3<a< 2
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21
当 0＜a≤3 时，f(3)＝6－a＋1a
由 f(3)<5，得1＋2 5＜a≤3.
综上，a
的取值范围是1＋ 2
5，5＋2
21 .
(2015·课标全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|， a>0.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范 围．
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a－ 3 1，0，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)．
因此△ABC 的面积 S＝12|AB|·(a＋1)＝23(a＋1)2 由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨 论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思 维方法．
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|， 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0 时等号成立， |a|≥|b|时，|a＋b|＋|a||a－b|≥2 成立， 也就是|a＋b|＋|a||a－b|的最小值是 2，即 m＝2. (2)|x－1|＋|x－2|≤2. 法一 利用绝对值的意义得：21≤x≤52.
选修4－5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
对于任意的实数 a(a≠0)和 b，不等式|a＋b|＋|a－ b|≥M·|a|恒成立，记实数 M 的最大值是 m.
(1)求 m 的值； (2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m. 解：(1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即 M≤|a＋b|＋|a||a－b| 对于任意的实数 a(a≠0)和 b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的 最小值．
1．(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件 当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|；当 (a－b)(b－c)≥0 时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|. (2)对于求 y＝|x－a|＋|x－b|或 y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利 用绝对值三角不等式更方便． 2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论 是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．
∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2. 又|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2. ∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2， 此时 x∈[0，1]，y∈[0，1]， ∴x＋y 的取值范围是[0，2]．
已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝－3 时，不等式 f(x)≥3 化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若 x≤2 时，由(*)式，得 5－2x≥3，∴x≤1. 若 2<x<3 时，由(*)式知，解集为∅. 若 x≥3 时，由(*)式，得 2x－5≥3，∴x≥4. 综上可知，f(x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}．
(2014·课标全国卷)设函数 f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a>0)． (1)证明：f(x)≥2； (2)若 f(3)<5，求 a 的取值范围． (1)证明：当 a>0 时，f(x)＝x＋1a＋|x－a| ≥x＋a1－（x－a）＝1a＋a≥2. 所以 f(x)≥2.
(2)解：f(3)＝3＋1a＋|3－a|.
1．求解本题要注意两点：(1)要求的不等式的解集是各类情形的 并集，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．(2)对 于(**)式，恰当运用条件，简化了分类讨论，优化了解题过程．
2．求解该类问题的关键是去绝对值符号，本题中运用零点分段 法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．
提醒：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分 类不重、不漏； 在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件 求交集．
(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**) 当 1≤x≤2 时，(**)式化为 4－x－(2－x)≥|x＋a|， 解之得－2－a≤x≤2－a. 由条件，[1，2]是 f(x)≤|x－4|的解集的子集， ∴－2－a≤1 且 2≤2－a，则－3≤a≤0， 故满足条件的实数 a 的取值范围是[－3，0]．
2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号化 f(x) 为分段函数；(2)数形结合求△ABC 的三个顶点坐标，进而得出△ABC 的面积； (3)解不等式求 a 的取值范围．
(2016·郑州质检)已知函数 f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式|x－1|<f(x)； (2)已知 m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤m1 ＋n1(a>0)恒成立， 求实数 a 的取值范围． 解：(1)依题设，得|x－1|<|3x＋2| ∴(x－1)2<(3x＋2)2，则 x>－14或 x<－32. 故原不等式的解集为xx>－14或x<－32.