第五讲1非线形模型常用公式

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四、回归模型系数的现实意义解释 ——非线性设定下X变量系数的经济解释

1、多项式回归模型
Y 0 1 X 1 2 X 2 ... r X r u

二次为例，X变化一个单位时，Y的变化值
Y [0 1 ( X X ) 2 ( X X )2 ] (0 1 X 2 X 2 )
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利用复利公式如何测定增长率

复利公式
Yt Y0 (1 r ) t Yt : t期值； Y0：初始值，又称基期值 r：复利率（又称增长率 ）
取自然对数变换 ln Yt ln Y0 t ln( 1 r) 令 ln Y0 0， ln( 1 r ) 1 得到如下公式变换： ln Yt 0 1t
二元模型：ln(Y)=β0+β1 ln(X1)+ β1 ln(X2）+ u
Y AX1 X 2 ...X P v
6
1
2
P
三、非线性回归模型常用形式
3、对数线性模型 Y 取对数，而 X 不取对数。在对数线性回归函数 中，ln(Y)是X的线性函数。示例讲义P79
ln(Yi)=β0+β1 Xi+u
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四、回归模型系数的现实意义解释 ——非线性设定下X变量系数的经济解释

4、双对数模型
lnY=β0+β1ln(X)

X变化一个单位时，Y的变化量 [β0+β1ln(X+ΔX)]-[β0+β1ln(X)] =β1[ln(X+ΔX)-ln(X)] ≈β1(ΔX／X)

如果X变化l％，那么ΔX／X=0.01，Y对应变化量是 β1 %；
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四、回归模型系数的现实意义解释 ——非线性设定下X变量系数的经济解释
经验模型 β 的解释
Xi变化1个单位(Δ X=1)，Y对应变 化β i
1 Yi=β 0+β 1X1+β 2X2+……+β PXp+u 2 Yi=β 0+β 1ln(Xi)+ui 3 ln(Yi)=β 0+β 1Xi+ui
X变化1％，Y对应变化0.Olβ
Where there is will,
there is way.
第三讲 非线性模型
1
第一节 非线性模型
请带着以下问题学习



1、多元非线形模型的形式？ 2、模型的参数是如何计算的？ 3、掌握模型优劣的判断指标有哪些？ 4、模型优劣的尺度是什么？ 5、模型参数的经济解释
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一、非线性回归模型含义

应该使用几次多项式?
2 i
Yi 0 1 X i 2 X
r X ui
r i
5
三、非线性回归模型常用形式
2、多元双对数线性模型（双对数模型） Y 取对数， X取对数。由于 X和 Y 都取对数，因此这种情况被 称双对数模型。第3个公式是模型的原型，第1、2是取对 数后的形式。对数模型中ln(Y)是ln(X)的线性函数。 一元模型：ln(Y)=β0+β1 ln(X1)+u
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三、非线性回归模型常用形式
——对数线性模型举例
消费者贷款的增长模型 Yt Y0 (1 r ) t Y0 初始值 Yt t期Y值 r 复利率（增长率） t 年份序号，取值 1， 2....... n
消费者贷款的增长模型 ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Y0 0 ln Yt 0 1t (1 r ) anti1 r anti1 1 ln(1 r ) 1

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线性对数模型微分变换
Y 0 1 ln X 方程两边取对数，得 d Y 1 当 dX X
dX 1 % 0 .0 1 时d Y 0.0 11 , X 即X变化1%，Y变化0.0 11 dY Y的绝对变化量 dX X的相对变化量 X dY dY 1 弹性系数 Y 1 dX dX Y Y X X
1
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四、回归模型系数的现实意义解释 ——非线性设定下X变量系数的经济解释

3、对数线性模型
lnY=β0+β1X

X变化一个单位时，Y的变化量
ln(Y+ΔY)-ln(Y) =[β0+β1(X+ΔX)]-(β0+β1X) =β1ΔX

如果使X改变1个单位，即ΔX=1，那么ΔY／Y改变β1 变换为百分数，X变化1个百分点，相对应于Y变化100×β1％
模型对自变量是非线性的； 模型对变量系数是线性的； 该类非线性模型可以通过变量代换 变成线性的形式

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二、常用的几个非线性回归模型
双对数模型 半对数模型 多项式模型 双曲线模型

4
三、非线性回归模型常用形式
1、多项式模型 设定非线性回归函数的一种方法就是， 使用X的 多项式。 一般地说，设r表示回归中包含的X的最高次幂。 示例讲义P75
1
X变化1个单位(Δ X=1)，Y对应变化 1OOβ 1％
4 ln(Yi)=β 0+β 5 Yi=β 0+β
1
1
ln（Xi)+ui
X变化1%，Y对应变化β 1％，因 此β 1是Y关于X的弹性
X变化1个单位(Δ X=1)，Y对应变化 -(1/X2）β 1
(1/Xi)+ui系数的现实意义解释 ——非线性设定下X变量系数的经济解释

2、线性对数模型
Y=β0+β1ln(X)

X变化一个单位时，Y的变化量 [β0+β1ln(X+ΔX)]-[β0+β1ln(X)] =β1[ln(X+ΔX)-ln(X)] ≈β1(ΔX／X) 如果X变化l％，那么ΔX／X=0.01 Y对应变化量是 0.01β1
1 是单利增长率
r 是复利增长率
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三、非线性回归模型常用形式
4、线性对数模型


X取对数，而Y不取对数。 在这个对数线性回归函数中，Y是ln(X)的线性函 数。示例讲义P78
Yi=β0+β1ln(Xi)+u
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三、非线性回归模型常用形式
5、倒数模型（双曲线）
Y 0 1 ( 1 )u X
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对数线性模型微分变换
ln Y 0 1 X 方程两边取对数，得 dY 1dX Y dY 当dX 1时, 1 1001 %, Y dY 即X变化1个单位时， 变化1 , Y dY Y的相对变化量 1 Y dX X的绝对变化量 dY dY X Y Y 弹性系数 1 X dX dX X

β1 是Y关于X的弹性系数；
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双对数模型微分变换
ln Y 0 1 ln X 方程两边取对数，得 dY dX 1 Y X dX dY 当 1%时, 1 , X Y 即X变化1%，Y变化 1 % dY Y的相对变化量 1 Y dX X的相对变化量 X dY 弹性系数 Y 1 dX X