量子力学第二版第六章散射习题答案周世勋

第六章 散射

1．粒子受到势能为

2)(r a

r U =

的场的散射，求S 分波的微分散射截面。

[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在

∞→r 时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。

矢径的波动方程是：

0))1()((12

2

22

=+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛l l

R r l l r V k dr

dR r dr d r

其中l R 是波函数的径向部分，而

E k r U r V 2222),(2)(

μμ

=

=

令

r r x R l l )

(=

，不难把矢径波动方程化为

02)1(222

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛

-+-+''l l x r r l l k x μα

再作变换 )(r f r x l =

，得

0)(221)(1)(2

2

2

2=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝

⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-+'+''r f r e k r f r r f

μα

这是一个贝塞尔方程，它的解是

)

()()(kr BN kr AJ r f p p +=

其中

2

2

2

221 μα+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l p 注意到

)

(kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数

∞

→=

r

N R p l ，不符合波函数的标准条件。所以必须有0=B

故

)(1

kr J r A

R p l =

现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求

得相角位移l δ，由于：

)

2sin(1)42sin(1)(l l

kr r p kr r r R δπππ+-=+-→∞→

⎪⎭⎪

⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+-=++-=∴21221224222

l d l l p l μππ

ππδ

当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到

⎪⎭⎪⎬

⎫

⎪⎩⎪⎨⎧+-=2122l l μαπδ

又因

l i i e l δδ212=- 故 ∑∞=-+=0

2)(cos )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ

∑∞

=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

+-+=02)(cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπ

∑∞

=-

=0

2

)

(cos l l P k θπμα

注意到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⎪⎪⎭⎫

⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=∑∑∞=∞=02121202112121222

112)(cos 1)(cos 1cos 21

1l l l l l l

r r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθ

如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有

∑∞

==

=-0

2sin

21

)(cos )cos 1(21l l P θθθ

故

2sin

21

)(2

θ

πμα

θ k f -

=

微分散射截面为

θ1

r 2

r

r 0

θ

θ

αμπθθ

αμπθθd E

d k d f 2

csc 82

sin

41)(2

22

22

4

22

22 =

=

由此可见，粒子能量E 愈小，则θ较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数α愈大，微分散射截面也愈大。

2．慢速粒子受到势能为

⎩⎨⎧><=a r a r U r U 当当,0,)(0

的场的散射，若0,00>

[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S 分波。

在a r >处，方程为

2210l l l(l )x k x r +⎡⎤''+-=⎢⎥⎣⎦

其中

222 E k μ=

在a r <处，则有

2210l l l(l )x k x r +⎡

⎤'''-+=⎢⎥⎣⎦

其中

202)(2 E U k -=

'μ 而波函数是

r x R l l =

在a >>λ的情况下，只故虑S 分波，即0=l 的情况，上面两个方程变为

0020

=+''>x k x a

r

0020

=-''

r

其解分别为

当a r >时， )sin(00δ+=kr B x 当a r <时，

0x Ashk r A c hk r '''=+

由于在0→r 时，

r x R 0

0=

有限，但

1cos 0

−−→−'→r r k 当

故 0='A 即 )(0a r r

k Ash x <'=