第2章 随机变量及其函数的概率分布

第二章 随机变量及其函数的概率分布

§2.1 随机变量与分布函数

§2.2 离散型随机变量及其概率分布

三、 计算下列各题

1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。

解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(510

41===-k C

C k X P k

所以X 的分布列为

2. 一批元件的正品率为4，次品率为4

，现对这批元件进行有放回的测试，设第

X 次首次测到正品，试求X 的分布列。

解 X 的取值为1，2，3，… 且 ,3,2,1 ,434341)(k

1

==⋅

⎪

⎭

⎫

⎝⎛==-k k X P k . 此即为X 的分布列。

3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2

，2，2，3，3，从中任取一个球，令X 为取出的球的号码，试求X 的分布列及分布函数。 解 X 的分布列为

由分布函数的计算公式得X 的分布函数为 ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3 ,132 ,3

221 ,6

1

1

,0)(x x x x x F

4. 设随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1 15

)(==

=k k

k X P 。

求 ).3( )3( ),31( )2( ),2

5

21( )1(>≤≤<

解 ,5

1

152151)2()1()2521( )1(=+==+==<

.

5

3

155154)5()4()3( )3(,5

2

153152151)3()2()1()31( )2(=+==+==>=++=

=+=+==≤≤X P X P X P X P X P X P x P

5. （1）设随机变量X 的分布律为0 ;,2,1 !

)(>λ=λ== k k a k X P k

为常数，试

确定a 。（2）设随机变量Y 只取正整数值N ，且)(N Y P =与2N 成反比，求Y 的分布律。

解 （1）因为

∑∞===1

,1)(k k X P 及0 ,1!

1

>-=∑∞

=λλλe k k k

，所以.1

1

-=

λ

e a （2）令 ;,2,1N )(2 ===N k a

N Y P 类似上题可得 2

6

π=

k 。 所以Y 的分布律为 ,2,1,6

)(2

2=π=

=N N N Y P

6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X 的概率分布

解 X =0, 1, 2, 3, i A =“汽车在第i 个路口遇到红灯.”，i =1，2，3. )()0(1A P X P ===

21, )1(=X P =41

2

1221==）（A A P )2(=X P

113321==

）（A A A P ，)3(=X P =8

1

2133

21==）（A A A P

为所求概率分布

7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X 的概率分布律.

,2,1 ,3611

)36111()()( ,,2,1 ,36

11

)( ,"6" 1121=⋅-=====

=--k A A A A P k X P X i A P i A k k k i i 的概率分布为所以点次出现第设解

四、证明题

，是两个常数，且都是分布函数，又和设1 ,0 ,0)()(21=+>>b a b a x F x F 试证明：

.)()()(21也是分布函数x bF x aF x F +=

1112220)1, 0)

1 0))1

;0)1,0)F x aF x a aF x bF x a b F x bF x b ≤≤≤≤⎧⇒≤+≤+=⎨≤≤≤≤⎩（（解（）因为（（（（ []111212212211121221221212))

(2) , ))

()))))(),(). 3 lim ()lim ))lim )lim )1

x x x x aF x aF x x x bF x bF x F x aF x bF x aF x bF x F x F x F x aF x bF x a F x b F x a b →+∞

→+∞

→+∞

→+∞

≤⎧∀<⎨

≤⎩⇒=+≤+==+=+=+=（（有（（（（（（所以是不减函数（）（（（（[]1212 lim ()lim ))lim )lim )000

x x x x F x aF x bF x a F x b F x a b →-∞

→-∞

→-∞

→-∞

=+=+=⨯+⨯=（（（（ .

)()()()()()0()0()0()4(2121是分布函数质，所以满足分布函数的四个性由于x F x F x F x bF x aF x bF x aF x F =+=+++=+

§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数

三、计算下列各题

1. 设连续型随机变量X 的密度函数为⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<-≤<=其它 ,021 ,21

0 ,)(x x x x x f ；求X 的分布函数。

解 ⎰

∞

-=x

dx x f x F )()( ， ⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤<≤=2

,121 ,12210 ,2

0 ,0)(2

2

x x x x x x x x F 2. 设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-0

,00

,)1(1)(x x e x x F x ；求X

X P )2( );1( )1(≥的密度函数。

解 ;2)21(1)1()()1( )1(11--=--=-+∞=≥e e F F X P ⎩⎨⎧<≥='=-0 ,00

,)()( )2(x

x xe x F x f x

3. 设连续型随机变量X 的密度函数为⎩

⎨⎧<<=其它 ,01

0 ,4)(3x x x f ；