3-7理想

4r1 6r2 (4,6) {4r1 6r2 / r1, r2 Z} 2(2r1 3r2 ) (2) {2r / r Z}
2=（-1） 4+1 6 （4,6），（2）（4,6）
2r (2) {2r / r Z} 2r 4 (r) 6 r (4,6)
x R, xr x(a1 a2 ) xa1 xa2 I1 I2
rx (a1 a2 )x a1x a2x I1 I2
I1 I2 是 R 的理想.
（2）r, s I1 I2, r, s I1, r, s I2,
r s I1, 且r s I2,r s I1 I2
分别称为理想 I1, I2 的和与交.
定理 1 环 R 的两个理想 I1, I2 的和 I1 I2 与交 I1 I2 都是 R 的理想.
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证明
(1) r a1 a2, s b1 b2 I1 I2,
a1
,
b1

I1
,
a2
,
b2

I
，
2
r s (a1 b1) (a2 b2) I1 I2
p(x) 1(2, x)
这与上面求得的(2, x)的结果矛盾。所以(2, x)不是一个主理想， R[ x]的理想不都是主理想。
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例：找出模6的剩余类环R的所有理想。 解：R {[0],[1],[2],[3],[4],[5]}
如果U是R的一个理想，则U一定是加群R的一个子群。 但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群 G1 ([0]) {[0]} G2 ([1]) {[5]} R
(2, x) {2 f1(x) xf2 (x) / f1(x), f2 (x) R[x]} {2a0 a1x an xn / ai R, n 0}
即为所有常数项为偶数的多项式的集合
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例：设R[x]是整数环R上的一元多项式，求R[x]的理想(2, x) 那么(2, x)能否也是某一多项式生成的主理想呢？
假如(2, x) ( p(x)),则2( p(x)),因R[x]是有单位元的交换环， 设 2 p(x)q(x) (q(x) R[x])，
由次数定理知，p(x)为零次多项式，设p(x) a Z
又x ( p(x)),设x p(x)h(x) (h(x) R[x]),故p(x) a 1
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例：假定R是整数环，证明：(3,7) (1) 1 7 1 3 2 (3,7) (1) (3,7) (1) R
(3,7) R (1)
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例：假定R是偶数环，证明：所有整数4r(r R)是R 的一个理想U. 等式U (4)对不对？
设R是一个环，a R，则R中包含元素a的理想是存在的。 例如R本身就是一个。 易知，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的 包含元素a的最小理想。
这个理想记为: (a)，称为R的由a生成的主理想。
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下面考察一下主理想(a)中的元素是些什么样子。 首先，由于a (a),而理想是一个加群，
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一个主理想(a)中元素的形式在R附加一些条件时会得到简化
(1)若R是有单位元的环，则 xa xa1, ay 1ay, ma (m1)a1
(a)


n i 1
xiayi

xa

ay

ma
|


xi
,
yi
,
x,
y

R,
n

Z

,
mຫໍສະໝຸດ Z 从而对任意整数m,有 ma (a)
其次，对R中任意元素x, y和xi , yi (i, j 1, 2, , n)来说， (a)必包含: xa, ay, xiayi
(a)


n i 1
xiayi

xa

ay

ma
|


xi , yi , x, y R, n Z , m Z

,
m

Z

(a) {ra ma / r R, m N}
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定理 3
设 R 为有单位元的交换环, a R ,则
(a) aR {ar | r R}.
例1里的理想 dZ {dz / z Z}就是由d生成的主理想， dZ (d )，从而整数环的理想都是主理想。
G3 ([2]) {[4]} {[0],[2],[4]} G4 ([3]) {[0],[3]} 易见，G1 , G2 , G3 , G4都是R的理想，因而是R的所有理想
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例3
在高斯整环 Z[i] 中,理想 I (1 i)
由哪些元素组成?
解 I (1 i) (1 i)Z[i]
显然，I是R中包含a1,a2, , am的最小理想
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定义：理想I ={s1 s2 sm / si (ai )}叫做由元 a1, a2 , , am生成的理想，记为(a1, a2, , am )
例：在整数环中，(2) {2r / r Z}, (3) {3r / r Z}
证明：令4r1, 4r2是U的任意两个元，由于偶数减偶数还是偶数， 4r1 4r2 4(r1 r2 ) U 令r是R的任意元，由于偶数乘偶数还是偶数， r(4r1) (4r1)r 4(r1r) U U 是R的一个理想
4（4），但是 4U, U （4）
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定义 4
设 R 为环, a R , 称环 R 中所有
包含 a 的理想的交为由 a 生成的主理想,
记作 (a) ,即 (a) I.
I
(a) 是 R 中包含 a 的最小理想.

(a)


n i 1
xiayi

xa

ay

ma
|


xi , yi , x, y R, n Z , m Z
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下面将主理想的概念加以推广。
设a1, a2, , am为环R中的元素，令 I ={s1 s2 sm / si (ai )}
则I是R的一个理想 u s1 s2 sm , v s1 s2 sm I u v (s1 s1) (s2 s2) (sm sm) I r R ru rs1 rs2 rsm I , ur s1r s2r smr I
近世代数 第三章 环与域 §4 理想、商环
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一、理想的定义与判别
定义1 设 R 为环, I 为 R 的非空子集.
如果 I 满足:
子群
(1)a, b I , 有a b I
(2)a I , x R, 有ax, xa I
则称 I 为 R 的一个理想.
n
(a) { xiayi /xi , yi R, n N} i 1
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(2)若R是交换环，则 xiayi (xi yi )a, ay ya
(a)


n i 1
xiayi

xa

ay

ma
|


xi
,
yi
,
x,
y

R,
n

Z
吸收律
●由定义可知, 理想一定是子环.
●{0}与 R 本身都是 R 的理想.这两个
理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.
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注意：一个子环不一定是一个理想 例如：整数环Z是数环
R {a b 2 / a,b Z} 的一个子环，但它却不是数环R的理想
需要证明：Z是R的一个子环 a,b Z a b Z且ab Z
x R, xr, rx I1, 且xr, rx I2, xr, rx I1 I2
I1 I2 是 R 的理想.
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定理 2
环 R 的任意有限多个理想的和 还是理想. 环 R 的任意多个理想的交还是理想.
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下面从环的元素出发，来做出环的理想
2 (1 i)(1 i) (1 i),
z Z, 2z I.
x y为偶数，x yi ( x y) y(1 i) I ,
(1 i)( x yi) 1 在 Z 中无解，1 I.
x y为奇数，x yi 1 ( x 1) yi I
由此知：(1 i) { x yi | x, y同奇或同偶}.
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例：设R[x]是整数环R上的一元多项式，求R[x]的理想(2, x) 由于R[x]是有单位元的交换环，故 (2) {2 f (x) / f (x) R[x]} 即为所有偶系数多项式的集合。
(x) {xf (x) / f (x) R[x]} 即为所有常数项为零的多项式的集合。