大学物理下册第十三章

1 μ I 3μ I 第十三章 稳恒磁场13—1 求各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。

[解] (a) P 点在水平导线的延长线上，水平导线在 P 点不产生磁场。

P 点到竖直导线两端的连线与电流方向的夹角分别为 θ = 0 ， θ = π 。

因此，P 点的磁感应强度的大小为B = μ 0I ⎛ 0 π ⎞ ⎜ cos 0 − cos =2 2μ 0 I 4πa ⎝2 ⎠ 4πa方向垂直纸面向外。

(b) 两条半无限长直导线在 P 点产生的磁场方向相同，都是垂直于纸面向内，它们在 P 点产 生的磁场的磁感应强度之和为B = 2 μ 0 I = μ 0I 14πr 2πr半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形 导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即B 2 = 1 μ 0I= μ 0 I 2 2r 4r 方向垂直纸面向内。

(c) P 点到三角形每条边的距离都是d =3 a 6每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是B = 0 (cos 30 0 − cos 150 0 )= 0 0 4πd 2πa 故 P 点总的磁感应强度大小为B = 3B =9μ 0 I 0 2πa方向垂直纸面向内。

13—2 有一螺线管长 L ＝20cm ，半径 r =2.0cm ，导线中通有强度为 I =5.0A 的电流，若在螺 线管轴线中点处产生的磁感应强度 B ＝ 6.16 ×10 −3T 的磁场，问该螺线管每单位长度应多少匝?[解] 已知载流螺线管轴线上场强公式为μB =nI (cosβ1 −cos β2 ) = μ0 nI cos β22−3 −72n =B μ0 I cos β 2 = B L 2 μ0 I 2 =6.16 ×10 4π ×10 −7× 5.0 ×20 2 2= 200匝 L + r 2 4 20 + 2 2413—3 若输电线在地面上空 25m 处，通以电流1.8 ×103A 。

求这电流在正下方地面处产生的磁感应强度。

[解] 已知直线电流的磁场公式μ0 IB = 4πa(cos θ1 − cos θ 2 )= 4π ×10 ×1.8 ×103 (cos 0 − cos π ) = 3.6 ×10 −6 T 4π × 2513—4 在汽船上，指南针装在距载流导线 0.80m 处，该导线中电流为 20A 。

(1)将此导线作 无限长直导线处理，它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北) 为 0.18 ×10 −4 T 。

由于电流磁场的影响，指南针的 N 极指向要偏离正北方向。

如果电流的磁 场是水平的，而且与地磁场垂直，指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下，上述汽船中 的指南针的 N 极将偏离北方多少度?[解] (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为B = μ 0I2 × 10 −7×20=T = 5.0 ×10 −6 T12πr0.80(2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量 B 2 垂直(如图 a)，指南针偏离正北方 向的角度为 ϕ ，则tan ϕ = B 1 = 5.0 × 10 −6 = 0.28 ϕ = 150 31′B 0.18 ×10 −4设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为 ϕ1 ，由图(b)可知B 2 sin ϕ1 = B 1 sin ϕ 2两边微分后可得d ϕ1 d ϕ 2= B 1 cos ϕ 2 B 2 cos ϕ1为求 ϕ1 的最大值 ϕ m ，令d ϕ1 d ϕ 2= 0 ，则有m cos ϕ 2 = 0πϕ 2 = 2因此 sin ϕ m =B 1B 2= 0.28 ϕ = 16 08′13—5 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕平面线圈，通有电流 I ， 方向如图所示。

求中心 O 处的磁感应强度。

[解] 取一半径为 x 厚度为 dx 的圆环,其等效电流为:dI = jdx = NI dxR − rdB 0μ dI =2 x= μ0NIdx2 x (R − r )∴ B 0 = R ∫ dB 0 = ∫ μ0 NIdx = μ0 NIln RNIr 2 x (R − r ) 2(R − r ) r 方向垂直纸面向外.13—6 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I =5.0A ，圆筒半径 R =1.0 ×10 2 m 如图所示。

求轴线上一点的磁感应强度。

[解] 在金属片上对称地取两个宽为 ds = ds 1 = ds 2 的窄条。

条上电流为 dI =ds I πR每个窄条是一条无限长载流直导线，在中心轴线上 P 点产生的 dB 为dB = dB = μ 0 dI 1 22πRd B 1 和 d B 2 的方向已表示于图中，两者 x 分量相抵消，y 分量相加，总场只有 y 分量。

由这两条导线上电流共同贡献的磁感应强度是dB = 2 ⋅μ 0dI cos θ = μ 0 I cos θds2πR ∵ ds = Rd θπ 2 R 2μ I∴ dB = 0 cos θdθ π 2 Rμ I dB = 0 cos θd θ π 2R13—7 如图所示，长直导线通有电流 I ，求通过与长直导线共面的矩形面积 CDEF 的磁通 量。

μ I [解] 长直导线形成的磁感应强度为: B =0 ,取如图所示的微元,设顺时针方向为正,则2πxr r μ I d Φ = B ⋅ dS =0 ldx2πxb μ Il μ Il b Φ = ∫ d Φ = ∫ 0dx = 0 lnSa 2πx 2π a13—8 长直导线 aa ′ 与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a ，另一直导线 bb ′ 沿半径方向与圆环接于点 b ，如图所示。

现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。

(1)求圆环中心点 O 的 B 。

(2)B 沿闭合路径 L 的环流 ∫B ⋅ dl 等于什么?Lr r r r r[解] (1) B 0 = B 1 + B 2 + B 3 + B 4其中: B4 = 0 B1 =μ0 I4πRB =2 μ0 I 2 , B =1 μ0 I 3 , I2 = l 32 3 2R 3 3 2R I 3 l 2r r故 B 2 与 B 3 大小相等,方向相反,所以 B 2 + B 3 = 0因而 B o = B 1 = μ0 I 4πR,方向垂直纸面向外.(2)由安培环路定理,有:r r 2 I∫ B ⋅ dlL= μ0 ∑ I i = μ0 (I − 3 I ) = μ0313—9 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I ，试证明通过螺绕环截面的磁通量为Φ =μ 0 NIh ln D 1 2π D 2[证明] 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为 r ，D 2 < r < D1 ，2 2∫ B ⋅ dl = 2πrB = μ 0NIB =μ 0 NI2πr∴Φ = ∫ d Φ = ∫ BdS = ∫D 12 μ 0 NIhdr =μ 0 hNI ln D 1 D 2 22πr 2πD 213—10 试证明在没有电流的空间区域内，如果磁感应线是一些同方向的平行线，则磁场一 定均匀。

[证明] 在 B 线同方向平行的磁场中，作如图的矩形回路 abcda ，其 ab 边与 B 线平行。

由于 回路中无电流，所以安培环路定理给出 ∫B ⋅ d L = 0Lb c da又∫B ⋅d L = ∫a B1⋅d L + ∫bB ⋅d L + ∫cL B2⋅d L + ∫dB ⋅d L=2c a其中∫bB ⋅ d L 及 ∫dB ⋅ d L 因 B ⊥d l ，所以其值为零。

bd故 ∫ B ⋅ d L =∫aB 1 ⋅ d L + ∫c LB 2 ⋅ d L = 0因为磁感应强度 B 是垂直于通过单位面积的磁通量即磁通密度，所以 B 线平行的磁场中，ab 线上 B 处处等于 B 1 ，cd 线上 B 处处等于 B 2 ，因此有B 1 ab − B 2 cd = 0又 ab = cd所以 B 1 = B 2由于矩形回路的位置和宽度不限，此式均可成立。

所以，在没有电流的空间区域内，若 B线是同方向平行的直线，则磁场一定均匀。

13—11 如图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为 a 和 b ，导体内通有电流 I ，且电 流在横截面上均匀分布，介质的影响可以忽略不计。

求证导体内部(a <r <b )各点的磁感应强 度由下式给出B μ0 Ir 2 − a 2[解] 作图示的安培环路,有2π (b 2 − a 2 ) rr r∫ B ⋅ dlL= μ0 ∑ I i即: ∫ Bdl = μLI 0π (b 2 − a 2 )π (r 2 − a 2 )∴ B =μ0 I (r − a 2 ) 2π (b 2 − a 2 )r13—12 一电磁铁的长直引线构造如下：中间是一直径为 5.0cm 的铝棒，周围同轴地套以内 直径为 7.0cm ，外直径为 9.0cm 的铝筒作为电流的回程(筒与棒间充以油类并使之流动以便散热)。

若通以电流I＝5.0 ×103 A，且导体的截面上电流分布均匀。

试计算从轴心到圆筒外侧的磁场分布(铝和油本身对磁场分布无影响)，并画出相应的关系曲线。

[解] 取圆筒轴线上一点为圆心，以r 为半径的圆周为积分回路L，圆面垂直于轴线。

则L 上各点的磁感应强度B 大小相等。

方向沿径向。

由安培环路定理得= × I − ∫ B ⋅ dL = μI 内L∴ B ⋅ 2πr = μ0 I 内当 0<r<2.5cm 时， I =I πr2= 8 ×106 r 2内π (0.025)2∴ B =μ0 I 内μ = 0 × 8 ×106 r 2 = 1.6r 2πr 2πr当 2.5cm<r<3.5cm 时， I 内 = Iμ I ∴ B = 02πr当 3.5cm<r<4.5cm 时，I π (r 2 − 0.0352 ) I 内= I − π (0.0452 − 0.0352 )μ0 I 内 μ0I π (r 2 − 0.0352 ) ∴ B =2πr2πr π (0.0452 − 0.0352 )当 4.5cm<r 时， ∴ B = 0I 内 = I − I = 013—13 厚为 2d 的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为 j ，求空间磁感应强度的分布。