微积分 (中国人民大学出版社)
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2
还需另作讨论． 还需另作讨论．
例4
求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y
− 4 z − 10 = 0 确定的函数 z = f ( x , y ) 的极值
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x + 2 z ⋅ z′x − 2 − 4 z′ = 0 x 2 y + 2 z ⋅ z′y + 2 − 4 z′y = 0
为极大值. 所以 z = f (1,−1) = 6 为极大值
应注意的问题 不是驻点也可能是极值点. 不是驻点也可能是极值点.
(0 例如, 函数z =− x2 + y2 在点 , 0)处有极大值,
但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除 了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存 在的点, 那么对这些点也应当考虑.
一、问题的提出
实例：某商店卖两种牌子的果汁， 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元 外地牌子每瓶进价1.2元 瓶进价 元，外地牌子每瓶进价 元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 − 5 x + 4 y 瓶本 地牌子的果汁， 地牌子的果汁，80 + 6 x − 7 y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 取得最大收益？ 每天的收益为 f ( x , y ) =
思考题解答
不是. 不是
例如 f ( x , y ) = x − y ,
2 2
取极大值; 当 x = 0 时， f ( 0, y ) = − y 在( 0,0) 取极大值
2
取极小值; 当 y = 0 时， f ( x ,0) = x 在( 0,0) 取极小值
2
不取极值. 但 f ( x , y ) = x − y 在( 0,0) 不取极值
的切平面, 四、在第一卦限内作球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 的切平面 , 使 得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, 得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, 求 切点的坐标. 切点的坐标.
练习题答案
(3,2),大,36； 2、 一、1、(3,2),大,36； 2、大,
8 16 二、( , ) . 5 5
下页
极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0,
f y ( x, y) = 0
求出实数解，得驻点. 及偏导数不存在的点 求出实数解，得驻点
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
由函数取极值的必要条件知, 由函数取极值的必要条件知 驻点为 P (1,−1) ,
求偏导数, 将上方程组再分别对 x, y 求偏导数
1 ′ A = z′xx |P = , 2− z
2
1 ′ B = z′′ |P = 0, C = z′yy |P = , xy 2− z
1 有极值. 故 B − AC = − 0 ( z ≠ 2),函数在 P 有极值 2 < (2 − z ) 代入原方程, 将 P (1,−1) 代入原方程 有 z1 = −2, z 2 = 6 , 1 当 z1 = −2 时， A = > 0 , 4 为极小值； 所以 z = f (1,−1) = −2 为极小值； 1 当 z 2 = 6 时， A = − < 0 , 4
对自变量有附加条件的极值． 条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y )， 为某一常数， 其中λ 为某一常数，可由
( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1.2)(80 + 6 x − 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值. 求最大收益即为求二元函数的最大值
二、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义， 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ) ， 则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) > f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值； 小值；
f x ( x , y ) + λϕ x ( x , y ) = 0, f y ( x , y ) + λϕ y ( x , y ) = 0, ϕ ( x , y ) = 0. 解出 x , y , λ ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u = f ( x , y , z , t ) 在条件 ϕ ( x , y , z , t ) = 0 ，ψ ( x , y , z , t ) = 0 下的极值， 下的极值， 先构造函数 F ( x , y , z , t ) = f ( x , y , z , t ) +
仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点 驻点. 的点，均称为函数的驻点 注意： 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0)是函数 z = xy 的驻点， 的驻点， 例如 但不是极值点. 但不是极值点
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
故最大值为 umax = 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 6912.
3 2
四、小结
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件） 取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值 拉格朗日乘数法
思考题
若 f ( x 0 , y ) 及 f ( x , y0 ) 在 ( x 0 , y0 ) 点均取得 极值， f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 是否也取得极值？ 则 是否也取得极值？ 极值，
大 、 小 统 为 值 极 值 极 值 称 极 . 使 数 得 值 点 为 值 . 函 取 极 的 称 极 点
例1 函数 z = 3 x 2 + 4 y 2
处有极小值． 在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z = − x 2 + y 2
(2)
在 (0,0) 处有极大值． 处有极大值．
例３ 函数 z = xy 处无极值． 在 (0,0) 处无极值．
解 令 F ( x , y , z ) = x 3 y 2 z + λ ( x + y + z − 12 ) ,
Fx′ = 3 x 2 y 2 z + λ = 0 ′ 3 Fy = 2 x yz + λ = 0 则 Fz′ = x 3 y 2 + λ = 0 x + y + z = 12 解得唯一驻点( 6,4, 2 ) ，
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC − B > 0时具有极值， 时具有极值，
2
时有极大值， 时有极小值； 当 A < 0 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时没有极值； （2） AC − B 2 < 0时没有极值； 时可能有极值,也可能没有极值， （3） AC − B = 0 时可能有极值,也可能没有极值，
(3)
2、多元函数取得极值的条件
必要条件） 定理 1（必要条件） 具有偏导数， 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数 ， 且 处有极值， 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： 然为零：
f x ( x 0 , y0Байду номын сангаас) = 0 ，
λ1ϕ ( x , y , z , t ) + λ2ψ ( x , y , z , t )
均为常数， 其中λ1 , λ2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , z , t ，即得极值点的坐标 即得极值点的坐标.
例7
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 3 2 u = x y z 为最大 为最大.
推广 如果三元函数u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数， 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .
的符号，再判定是否是极值. 第三步 定出 AC − B 的符号，再判定是否是极值
2
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 元钱， 实例： 小王有 元钱 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带， 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果， 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) = ln x + ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带 元，问他如何分配这 元 每盒磁带10元 问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 元以达到最佳效果． 问题的实质： 问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条 下的极值点． 件 8 x + 10 y = 200下的极值点．
充分条件） 定理 2（充分条件） 的某邻域内连续， 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 有一阶及二阶连续偏导数，
f y ( x0 , y0 ) = 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) = 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) = A ， f xy ( x0 , y0 ) = B ， f yy ( x0 , y0 ) = C ，
f y ( x 0 , y0 ) = 0 .
证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y0 ) 处有极大值 处有极大值,
则对于( x 0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ≠ ( x 0 , y 0 ) 都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) ,
1 3、 ； 3、7,-1. 4
故当 y = y 0 ， x ≠ x 0 时 ，有 f ( x , y 0 ) < f ( x 0 , y 0 ) ,
处有极大值, 说明一元函数 f ( x , y0 )在 x = x 0 处有极大值
必有
f x ( x0 , y0 ) = 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) = 0 .
2 2
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
还需另作讨论． 还需另作讨论．
例4
求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y
− 4 z − 10 = 0 确定的函数 z = f ( x , y ) 的极值
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x + 2 z ⋅ z′x − 2 − 4 z′ = 0 x 2 y + 2 z ⋅ z′y + 2 − 4 z′y = 0
为极大值. 所以 z = f (1,−1) = 6 为极大值
应注意的问题 不是驻点也可能是极值点. 不是驻点也可能是极值点.
(0 例如, 函数z =− x2 + y2 在点 , 0)处有极大值,
但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除 了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存 在的点, 那么对这些点也应当考虑.
一、问题的提出
实例：某商店卖两种牌子的果汁， 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元 外地牌子每瓶进价1.2元 瓶进价 元，外地牌子每瓶进价 元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 − 5 x + 4 y 瓶本 地牌子的果汁， 地牌子的果汁，80 + 6 x − 7 y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 取得最大收益？ 每天的收益为 f ( x , y ) =
思考题解答
不是. 不是
例如 f ( x , y ) = x − y ,
2 2
取极大值; 当 x = 0 时， f ( 0, y ) = − y 在( 0,0) 取极大值
2
取极小值; 当 y = 0 时， f ( x ,0) = x 在( 0,0) 取极小值
2
不取极值. 但 f ( x , y ) = x − y 在( 0,0) 不取极值
的切平面, 四、在第一卦限内作球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 的切平面 , 使 得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, 得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, 求 切点的坐标. 切点的坐标.
练习题答案
(3,2),大,36； 2、 一、1、(3,2),大,36； 2、大,
8 16 二、( , ) . 5 5
下页
极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0,
f y ( x, y) = 0
求出实数解，得驻点. 及偏导数不存在的点 求出实数解，得驻点
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
由函数取极值的必要条件知, 由函数取极值的必要条件知 驻点为 P (1,−1) ,
求偏导数, 将上方程组再分别对 x, y 求偏导数
1 ′ A = z′xx |P = , 2− z
2
1 ′ B = z′′ |P = 0, C = z′yy |P = , xy 2− z
1 有极值. 故 B − AC = − 0 ( z ≠ 2),函数在 P 有极值 2 < (2 − z ) 代入原方程, 将 P (1,−1) 代入原方程 有 z1 = −2, z 2 = 6 , 1 当 z1 = −2 时， A = > 0 , 4 为极小值； 所以 z = f (1,−1) = −2 为极小值； 1 当 z 2 = 6 时， A = − < 0 , 4
对自变量有附加条件的极值． 条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y )， 为某一常数， 其中λ 为某一常数，可由
( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1.2)(80 + 6 x − 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值. 求最大收益即为求二元函数的最大值
二、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义， 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ) ， 则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) > f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值； 小值；
f x ( x , y ) + λϕ x ( x , y ) = 0, f y ( x , y ) + λϕ y ( x , y ) = 0, ϕ ( x , y ) = 0. 解出 x , y , λ ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u = f ( x , y , z , t ) 在条件 ϕ ( x , y , z , t ) = 0 ，ψ ( x , y , z , t ) = 0 下的极值， 下的极值， 先构造函数 F ( x , y , z , t ) = f ( x , y , z , t ) +
仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点 驻点. 的点，均称为函数的驻点 注意： 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0)是函数 z = xy 的驻点， 的驻点， 例如 但不是极值点. 但不是极值点
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
故最大值为 umax = 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 6912.
3 2
四、小结
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件） 取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值 拉格朗日乘数法
思考题
若 f ( x 0 , y ) 及 f ( x , y0 ) 在 ( x 0 , y0 ) 点均取得 极值， f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 是否也取得极值？ 则 是否也取得极值？ 极值，
大 、 小 统 为 值 极 值 极 值 称 极 . 使 数 得 值 点 为 值 . 函 取 极 的 称 极 点
例1 函数 z = 3 x 2 + 4 y 2
处有极小值． 在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z = − x 2 + y 2
(2)
在 (0,0) 处有极大值． 处有极大值．
例３ 函数 z = xy 处无极值． 在 (0,0) 处无极值．
解 令 F ( x , y , z ) = x 3 y 2 z + λ ( x + y + z − 12 ) ,
Fx′ = 3 x 2 y 2 z + λ = 0 ′ 3 Fy = 2 x yz + λ = 0 则 Fz′ = x 3 y 2 + λ = 0 x + y + z = 12 解得唯一驻点( 6,4, 2 ) ，
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC − B > 0时具有极值， 时具有极值，
2
时有极大值， 时有极小值； 当 A < 0 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时没有极值； （2） AC − B 2 < 0时没有极值； 时可能有极值,也可能没有极值， （3） AC − B = 0 时可能有极值,也可能没有极值，
(3)
2、多元函数取得极值的条件
必要条件） 定理 1（必要条件） 具有偏导数， 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数 ， 且 处有极值， 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： 然为零：
f x ( x 0 , y0Байду номын сангаас) = 0 ，
λ1ϕ ( x , y , z , t ) + λ2ψ ( x , y , z , t )
均为常数， 其中λ1 , λ2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , z , t ，即得极值点的坐标 即得极值点的坐标.
例7
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 3 2 u = x y z 为最大 为最大.
推广 如果三元函数u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数， 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .
的符号，再判定是否是极值. 第三步 定出 AC − B 的符号，再判定是否是极值
2
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 元钱， 实例： 小王有 元钱 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带， 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果， 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) = ln x + ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带 元，问他如何分配这 元 每盒磁带10元 问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 元以达到最佳效果． 问题的实质： 问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条 下的极值点． 件 8 x + 10 y = 200下的极值点．
充分条件） 定理 2（充分条件） 的某邻域内连续， 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 有一阶及二阶连续偏导数，
f y ( x0 , y0 ) = 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) = 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) = A ， f xy ( x0 , y0 ) = B ， f yy ( x0 , y0 ) = C ，
f y ( x 0 , y0 ) = 0 .
证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y0 ) 处有极大值 处有极大值,
则对于( x 0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ≠ ( x 0 , y 0 ) 都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) ,
1 3、 ； 3、7,-1. 4
故当 y = y 0 ， x ≠ x 0 时 ，有 f ( x , y 0 ) < f ( x 0 , y 0 ) ,
处有极大值, 说明一元函数 f ( x , y0 )在 x = x 0 处有极大值
必有
f x ( x0 , y0 ) = 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) = 0 .
2 2
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.