2混沌理论浅说 孙丽 姜小婷PPT课件
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马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小 的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。
10
实例：身边的混沌现象 （文字）
• 1. 当您的妈妈对这您大叫：“你的房间简直一片混沌（混乱）！” 她的话可能正确，但是她一定不会知道：混沌里蕴含着秩序。那些乱 七八糟的书籍、五颜六色的果皮糖纸、臭气熏天的袜子里都隐藏着一 种秩序，只是等待您的发现。
行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。
•
信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除不确定
性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测就会更准确。
但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，成了连续的信息源，
收集更多的信息变得毫无意义。那么信息是从哪里来的呢？以湍流为例，物理 学家认为，来自微观尺度的热库，来自几十亿在随机热力学舞动中的分子。再
11
• 3. 学习音乐演奏是一件非常艰辛的事情，需要反复地 练习。开始演奏一首曲子时可能一塌糊涂，但是，不断练 习就能产生美好的结果，这是一个较好的反馈循环，最终， 有序从混沌中产生，优美的音乐从您的手指间流出。
• 4. 流行是观察自相似特性的一个很好的例子，身边的 朋友们穿着相同的衣服，留着相同的发型，甚至使用相同 颜色的指甲油。如果流行是一种分形的话，那么，是什么 样的混沌过程产生了这样的分形呢？
导致经济形势的巨变，我们至少从1997年东南亚金融危机中感到了这一点。
5
2.2 极为有限的可预测性
wenku.baidu.com
•
当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局部
的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象，如湍流中
的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心脏的纤颤、精神病
12
实例：身边的混沌现象 （图文）
图1 耗散系统（能量不守恒的有摩擦的系统）中的混沌
1963年美国气象学家洛仑兹在《大气科学杂志》上发表"确定性非周期流“ 一文，给出第一个耗散混沌的实例。左为洛仑兹方程组数值解在XOZ平 面上的投 影，右为数值解在YOZ平面上的投影。在计算机屏幕上演示数 值解，只要不人为干预，轨道会永远运 动下去。
7
2.1.1 蝴蝶效应
8
内容：
•
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中
提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场
龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所
谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。
“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大
混沌理论浅说
现代教育技术
1
学习目标
2
一、混沌的定义
混沌 它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。这些表面上 看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律。
混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。
科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规 则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不 可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性， 是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为线性系统， 而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问 题中，混沌是无处不在的！
3
二、混沌的特征
2.1、对初始条件的敏感依赖性。 2.2、极为有限的可预测性。 2.3、混沌的内部存在着超载的有序。
4
2.1 对初始条件的敏感依赖性
•
这是混沌系统的典型特征。意思是说，初始条件的微小差别在最后的现象
中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他的玩
具天气模型中发现了这一特性。
以城市经济运动为例，信息来自成千上万个有决策权的业主的生产行为，来自
千百万个消费者的消费行为，来自系统之外的环境的变化。
6
2.3 混沌的内部存在着超载的有序
•
混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似
性，即所谓的自相似性。
混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普适性。 费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代计 算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此 反复迭代计算。当r值较小时，结果趋向一个定数，当r超过某值时，其轨迹出 现分岔。值得注意的是前一个函数是生物种群变化的逻辑斯蒂方程，r值加大表 示非线性程度加大，当非线性加大到一定程度后，来年的种群数变得无法预测。
• 2. 美国有句言语“一根稻草能压死一头骆驼”，这是蝴蝶效应的 最好体现。小的事情往往能产生让人难以预料的结果。但是，永远是 这样的吗？不是！如果放 在骆驼脊背的那根稻草是第一根稻草，不但不会压死骆驼的脊背，可 能还会为骆驼送上一份美餐。同样的道理，并不是只要北京蝴蝶拍动 一下翅膀，就真的 能够引起纽约的一场风暴。
•
在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会放
大，例如，人行道上摆满自行车，导致行人走上车行道，又导致一次车祸，又
导致交通中断几小时，又导致一连串的误事……。然而混沌意味着这种临界点
比比皆是。它们无孔不入，无时不在。在天气这样的系统中，对初始条件的敏 感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹 断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大。 在社会经济活动中，某些因素可促使成千上万个业主一夜之间改变策略，从而
胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学
魅力。
从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：
系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
9
一则西方寓言：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
13
图2 保守系统（能量守恒的无摩擦系统）中的混沌
相空间中有多级椭圆点和双曲点，在椭 圆点附近有周期小岛，小岛中又有复杂结构， 层层嵌套。左上图为参数取0.8时, 右上图为 参数取1.5时, 下图为参数取1.0时的情况。
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实例：身边的混沌现象 （文字）
• 1. 当您的妈妈对这您大叫：“你的房间简直一片混沌（混乱）！” 她的话可能正确，但是她一定不会知道：混沌里蕴含着秩序。那些乱 七八糟的书籍、五颜六色的果皮糖纸、臭气熏天的袜子里都隐藏着一 种秩序，只是等待您的发现。
行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。
•
信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除不确定
性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测就会更准确。
但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，成了连续的信息源，
收集更多的信息变得毫无意义。那么信息是从哪里来的呢？以湍流为例，物理 学家认为，来自微观尺度的热库，来自几十亿在随机热力学舞动中的分子。再
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• 3. 学习音乐演奏是一件非常艰辛的事情，需要反复地 练习。开始演奏一首曲子时可能一塌糊涂，但是，不断练 习就能产生美好的结果，这是一个较好的反馈循环，最终， 有序从混沌中产生，优美的音乐从您的手指间流出。
• 4. 流行是观察自相似特性的一个很好的例子，身边的 朋友们穿着相同的衣服，留着相同的发型，甚至使用相同 颜色的指甲油。如果流行是一种分形的话，那么，是什么 样的混沌过程产生了这样的分形呢？
导致经济形势的巨变，我们至少从1997年东南亚金融危机中感到了这一点。
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2.2 极为有限的可预测性
wenku.baidu.com
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当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局部
的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象，如湍流中
的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心脏的纤颤、精神病
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实例：身边的混沌现象 （图文）
图1 耗散系统（能量不守恒的有摩擦的系统）中的混沌
1963年美国气象学家洛仑兹在《大气科学杂志》上发表"确定性非周期流“ 一文，给出第一个耗散混沌的实例。左为洛仑兹方程组数值解在XOZ平 面上的投 影，右为数值解在YOZ平面上的投影。在计算机屏幕上演示数 值解，只要不人为干预，轨道会永远运 动下去。
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2.1.1 蝴蝶效应
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内容：
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1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中
提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场
龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所
谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。
“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大
混沌理论浅说
现代教育技术
1
学习目标
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一、混沌的定义
混沌 它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。这些表面上 看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律。
混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。
科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规 则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不 可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性， 是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为线性系统， 而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问 题中，混沌是无处不在的！
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二、混沌的特征
2.1、对初始条件的敏感依赖性。 2.2、极为有限的可预测性。 2.3、混沌的内部存在着超载的有序。
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2.1 对初始条件的敏感依赖性
•
这是混沌系统的典型特征。意思是说，初始条件的微小差别在最后的现象
中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他的玩
具天气模型中发现了这一特性。
以城市经济运动为例，信息来自成千上万个有决策权的业主的生产行为，来自
千百万个消费者的消费行为，来自系统之外的环境的变化。
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2.3 混沌的内部存在着超载的有序
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混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似
性，即所谓的自相似性。
混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普适性。 费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代计 算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此 反复迭代计算。当r值较小时，结果趋向一个定数，当r超过某值时，其轨迹出 现分岔。值得注意的是前一个函数是生物种群变化的逻辑斯蒂方程，r值加大表 示非线性程度加大，当非线性加大到一定程度后，来年的种群数变得无法预测。
• 2. 美国有句言语“一根稻草能压死一头骆驼”，这是蝴蝶效应的 最好体现。小的事情往往能产生让人难以预料的结果。但是，永远是 这样的吗？不是！如果放 在骆驼脊背的那根稻草是第一根稻草，不但不会压死骆驼的脊背，可 能还会为骆驼送上一份美餐。同样的道理，并不是只要北京蝴蝶拍动 一下翅膀，就真的 能够引起纽约的一场风暴。
•
在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会放
大，例如，人行道上摆满自行车，导致行人走上车行道，又导致一次车祸，又
导致交通中断几小时，又导致一连串的误事……。然而混沌意味着这种临界点
比比皆是。它们无孔不入，无时不在。在天气这样的系统中，对初始条件的敏 感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹 断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大。 在社会经济活动中，某些因素可促使成千上万个业主一夜之间改变策略，从而
胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学
魅力。
从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：
系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
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一则西方寓言：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
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图2 保守系统（能量守恒的无摩擦系统）中的混沌
相空间中有多级椭圆点和双曲点，在椭 圆点附近有周期小岛，小岛中又有复杂结构， 层层嵌套。左上图为参数取0.8时, 右上图为 参数取1.5时, 下图为参数取1.0时的情况。