第5章 随机数发生器及随机变量的产生

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5-2 产生随机变量的方法
对于第二章的银行汽车窗口例子来说, 反函数为:p37
F 1(u) G(u) 0.399ln(u)
因此, 现在可用随机数发生器产生一系列的 ( 0, 1 ] 间随机数 Ui , 即可求出一系列的指数分布的随机变量.
对于一些不能求得反函数的分布来说, 利用逆转法 会遇到困难, 这时可借助于数值分析。
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5-2 产生随机变量的方法
2. 合成法(Composition)
当我们要研究的样本的分布 F 可以表示成几个其他分 布 F1，F2，…的组合形式时，我们可以采用合成法。
小面积1
f(x) 小面积2
小面积3
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5-2 产生随机变量的方法
.97,3.5/.98,3.9/.99,4.6/.995,5.3/.998,6.2/.999,7/.9998,8
GENERATE QUEUE
ENTER DEPART ADVANCE
LEAVE TERMINATE
100, FN$1 LINE
S1 LINE 80, FN$2
S1 1
进入存储器, 即加油器 离开存储器, 即加油器
2
FUNCTION RN$2,C24
0,0/.1,.104/.2,.222/.3,.355/.4,.509/.5,.69/.6,.915/.7,1.2/.75,1.38
.8,1.6/.84,1.83/.88,2.12/.9,2.3/.92,2.52/.94,2.81/.95,2.99/.96,3.2
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引言
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➢ 问题？当已知数据的概率分布后， 如何在模拟中方便有效地产生需要 的随机变量的值？
➢ 计算机模拟的关系：
➢ 模拟<－随机变量<－IIDU(0,1)
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第5章 随机数发生器及随机变量的产生
本章主要内容:
1. 随机数发生器 2.产生随机变量的方法 3. GPSS 语言的随机变量
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轴承寿命的数据样本
工作时间 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200
轴承损坏比例‰ 0
15 65 125 225 360 535 685 810 900 975 995 1000
0,0/.1,.104/.2,.222/.3,.355/.4,.509/.5,.69/.6,.915/.7,1.2/.75,1.38
.8,1.6/.84,1.83/.88,2.12/.9,2.3/.92,2.52/.94,2.81/.95,2.99/.96,3.2
.97,3.5/.98,3.9/.99,4.6/.995,5.3/.998,6.2/.999,7/.9998,8
GPSS 语言的随机变量是利用GPSS函数形式产生的
GPSS 指数分布函数随机变量
1 FUNCTION RN$1, C24 0,0/.1,.104/.2,.222/.3,.355/.4,.509/.5,.69/.6,.915/.7,1.2/.75,1.38 .8,1.6/.84,1.83/.88,2.12/.9,2.3/.92,2.52/.94,2.81/.95,2.99/.96,3.2 .97,3.5/.98,3.9/.99,4.6/.995,5.3/.998,6.2/.999,7/.9998,8
1. 确定随机过程中该变量的拟合分布. 2. 确定拟合分布的参数及分布函数 F(X). 3. 求出分布函数的反函数 X= G(u) =F -1(U). 4. 用随机数发生器产生 ( 0, 1 ] 间均-1匀分布的随机数 Ui 5. 用 Xi=G(U)=F-1(Ui) 来计算, 求得该分布的随机变量 Xi.
F（X） 0 0.015 0.065 0.125 0.225 0.360 0.535 0.685 0.810 0.900 0.975 0.995 1.000
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5-2 产生随机变量的方法
经验分布随机变量产生示意图
FHale Waihona Puke X) 1U1000
1500
2000
X
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5-1 随机数发生器
5.1.3 随机数发生器的检验
随机数发生器的经验检验方法
1. K-S 检验 均匀性检验 (内容不要求) 2. 2 检验 均匀性检验 3. 顺序检验 独立性检验 (内容不要求) 4. 距离检验 均匀性检验 (内容不要求) 5. 自相关检验 独立性检验 (内容不要求)
X02=27394756 X12=15578809
……
平方取中法易退化，且均匀分布的差异显著。
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5-1 随机数发生器
2. 同余数法
Zi (aZi1 c)(mod m)
其中: a, c -- 常数 ui 为 [0，1) 间随机数 Zi ---- 任意数, Z0 为随机数种子 m ---- 发生器的模, 近似于发生器的周期, 因此越大越好
程序中调用函数时如下:
GENERATE ADVANCE
80, FN$1 100, FN$2
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例题
例 5.2 并联排队系统
汽车站有二台效率相同的加油器, 汽车排一个队. 这种情况可有多 种解法, 本例将加油器做为存 储器来对待. 其容量为 2 . 标号 为 S1。 分二种情况:
5-3 GPSS 语言的随机变量
GPSS 语言正态分布随机变量函数
2 FUNCTION RN$2, C24 0, -40/ .001, -30/ .006, -25 / .022, -20 / ,066, -15 / .115, -12 .158, -10 / .211, -8 / .274, -6 / .344, -4 / .420, -2 / .500, 0 .579, 2 / .655, 4 / .725, 6 / .788, 8 / .841, 10 / .889, 12 / .933, 15 .977, 20 / .993, 25 / .998, 30 / .999, 40 / 1, 50
3. 结合法
若某个分布的随机变量可以由几个其他分布的 随机变量结合而成, 且其他分布的随机变量容易 产生, 则可用结合法.
例: 均值为 的 ERLANG 分布 (m - Erlang ) , 可由 m 个均值
为 / m 的 IID 指数随机变量结合而成, 这样, 只要先产生 m 个参数为 / m 的指数分布随机变量 Y1, Y2, Y3, .....
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5-2 产生随机变量的方法
例: 指数分布函数随机变量的产生
已知指数分布分布函数为:
F(x) 1 ex/
(X>=0)
则可求得该分布函数的反函数如下:
F 1(u) G(u) ln(1 u)
或者:
F 1(u) G(u) ln(u)
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关于理论检验
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5-2 产生随机变量的方法
1. 逆转换法
F(X) 1
U
假设数据的分布类型已经 通过某些方法确定下来， 如何从这个分布中产生模 拟所需的随机变量？
x X
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5-2 产生随机变量的方法
逆转换法是利用拟合分布的分布函数的 反函数来产生随机变量. 其步骤如下:
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3 第5章 随机数发生器及随机变量的产生
5-1 随机数发生器
1. 什么是随机数发生器
产生 ( 0, 1 ]间均匀分布随机数的程序称为随机 数发生器。（所谓随机数，就是具有给定概率分布的 随机变量的可能值。）
2. 为什么需要随机数发生器
因为所有各类随机变量都是以随机数发生器产生 的 [0, 1) 间均匀分布随机数为基础而得来的。 因此要 产生各类随机变量必须首先要有产生 ( 0, 1 ]间均匀分 布随机数的随机数发生器。
GPSS 指数分布函数由 24 个点的连续函数组成, 均值 为 1. RN$1 为一号 0, 1 间均匀分布随机函数, 这样的 随机函数 GPSS 允许同时使用多组, 如 RN$1, RN$2, RN$3, RN$4, ....., 每组都必须事先定义.
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加油器2
1. 到达时间与加油时间为均匀分布
2. 到达时间与加油时间为指数分布
100/10 加油器1
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例题
均匀分布 SIMULATE
LINE EQU S1 EQU S1 STORAGE
GENERATE QUEUE ENTER DEPART ADVANCE LEAVE TERMINATE
START
100
END
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上机前的准备
1. 掌握好 GPSS 系统的进入，执行和退出的指令。 2. 编制好 GPSS 程序，可设计几个方案，并分别编制
:
:
:
:
A=M-1 A (mod M) = M-1
A=M A (mod M) = 0
A=M+1 A (mod M) = 1
:
:
A=2M A (mod M) = 0
可见, 数列是循环的, 有周期
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5-1 随机数发生器
常用同余式随机数发生器
Zi (515 Zi1 1)(mod 235 ) Zi (314159269Zi1 453806245)(mod 231)
mod 是一种运算, 其算法如下:
对于 Z=A mod M 则
Z
A
A M
*
M
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5-1 随机数发生器
同余数法的讨论
例 Z= A (MOD M)
Z
A
A M
*
M
当 A=0 A (mod M) = 0
A=1 A (mod M) = 1
A=2 A (mod M) = 2
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5-1 随机数发生器
5.1.2 常见的随机数发生器
1.平方取中法 将一个四位数平方后，取中间四位数 为第一个随机数，然后再平方取中间四位 数为第二个随机数，以此类推。
X i1
[
X
2 i
/10s
](mod
102s )
Ui1 X i1 /102s
例：
X0=5234 X1=3947 X2=5788
由上可见, 计算机随机数发生器产生的随机数是一个具有一定周期 的循环数列, 从这个意义上说, 计算机产生的随机数是一个伪随机数. （所谓伪随机数就是说它并不是真正意义上随机数）它必须经过检验 才能使用.
BASIC 语言的随机数发生器是函数 RND( ) RND( ) 的种子可由 RANDOMIZE 设定.
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5-1 随机数发生器
5.1.1 对随机数发生器的要求
1. 产生的随机数必须是均匀分布 2. 产生的随机数必须是独立同分布 (IID) 3. 可产生相同的数列, 又可产生不同的数列 4. 数列具有足够长的（重复）周期 5. 速度快 6. 占有内存小
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Ym , 则 m - Erlang 分布的随机变量可求得如下:
X= Y1 + Y2 + Y3+ ...... + Ym
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5-2 产生随机变量的方法
4. 经验分布随机变量的产生
若只有实验数据, 得不到拟合分布, 则可直接从数据中产生 随机变量.
例 5.1 一个表示轴承寿命的样本如下页所示. 其经 验分布图如下下页 所示。 则随机变量可按如下方 法产生。
START END
1 1 2
100,10 LINE S1 LINE 80,8 S1 1
进入存储器, 即加油器 离开存储器, 即加油器
100
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例题
指数分布
SIMULATE
LINE EQU
1
S1 EQU
1
S1 STORAGE 2
1 FUNCTION RN$1,C24
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5-2 产生随机变量的方法
经验分布随机变量产生方法
1. 先产生一 (0, 1 ] 间均匀分布的随机变量 U 2. 判断 U 落入那一个区间, 既可确定寿命的随机变量
以下方法不要求:
D. 取舍法 E. 近似法 F. 内插法
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5-3 GPSS 语言的随机变量