六年级下册数学试题-奥数专题讲练:数学思想与方法-构造法 全国通用测试题(含答案)
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数学思想与方法—构造法(含答案)
所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定
的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
这是一种重要死亡数学方法和技巧,通过“构造”可
以把原本复杂、隐蔽、陌生的条件和问题变得简单、明显、容易,借助构造法可以把许多问题化难为易,化繁为简,从而达到正确解题的目的。
【例1】有3个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三
甲、乙两人进行下面的游戏:两人先约定一个自然【例2】
数N,然后由甲开始,轮流把0,1,2,3,4,5,6,7,
8,9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格
中,每一方格只能填一个数字,但各方格所填的数
字可以重复。当6个方格都填有数字后,就形成一个
六位数。如果这个六位数能被N整除,那么乙获胜;
如果这个六位数不能被N整除,那么甲获胜。设N小
于15,问当N取哪几个数时。乙能取胜?
在一次射击练习中,甲、乙、丙3位战士各打了【例3】
4发子弹,全部中靶。其命中情况如下:
①每人4发子弹所命中的环数各不相同;
②每人4发子弹所命中的总环数均为17环;
③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样,
乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样:
④甲与丙只有1发环数相同;
⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
问:甲与丙命中的相同环数是几?
老师在黑板上依次写了三个数21、7、8,现在进【例4】
行如下的操作,每次将这三个数中的某些数加上
2,其他数减去1,试问能否经过若干次这样的操
作后,使得:
⑴三个数都变成12?⑵三个数变成23、15、19?
老师在黑板上依次写了三个数21、7、8,现在进【例4】
行如下的操作,每次将这三个数中的某些数加上
2,其他数减去1,试问能否经过若干次这样的操
作后,使得:
⑴三个数都变成12?⑵三个数变成23、15、19?
有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆【例5】
中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一石
子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆。
开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有989块
石子,第三堆有89块石子。问能否做到:
⑴某2堆石子全部取光?
⑵3堆中的所有石子都被取走?
任意选取9个连续的正整数,即它们的乘积为P,【例6】
最小公倍数为Q。我们知道,P除以Q所得到的商必
定是自然数,那么这个商的最大可能值是多少?
测试题
1.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有3 名专业选手与3 名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见,用以下方法记分:开赛前每位选手各有10分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分,每胜专业选手一场加2分,每胜业余选手一场加1分;专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分。问:一位业余选手最少要胜几场,才能确保他的得分比某位专业选手高?
2.如图,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分别填入图中的10个圆圈内,使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。求M的最小值并完成你的填图。
3.1998 名运动员的号码依次为1 至1998 的自然数。现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队,使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积。那么,选为仪仗队的运动员最少有多少人?
4.在10×19方格表的每个方格内,写上0或1,然后算出每行及每列的各数之和。问最多能得到多少个不同的和数?
5.在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色,都存在3个红色方格,它们的中心构成一个直角三角形的顶点。求n的最小值。
6.在图中有16个黑点,它们排成了一个4×4的方阵.用线段连接其中4 点,就可以画出各种不同的正方形.现在要去掉某些点,使得其中任意4点都不能连成正方形,那么最少要去掉多少个点?
答案
1.答案:当一位业余选手胜2场时,如果只胜了另两位业余选手,那么他得10+2-3=9(分)。此时,如果专业选手间的比赛均为一胜一负,而专业选手与业余选手比赛全胜,那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)。所以,一位业余选手胜2场,不能确保他的得分比某位专业选手高。
当一位业余选手胜3场时,得分最少时是胜两位业余选手,胜一位专业选手,得10+2+2-2=12(分)。此时,三位专业选手最多共得30+0+4=34(分),
其中专业选手之间的三场比赛共得0分,专业选手与业余选手的比赛最多共得4分。由三个人得34分,34÷3=11 1
3
,推知,必有人得分不超过11分。
也就是说,一位业余选手胜3场,能确保他的得分比某位专业选手高。
2.答案:要使M 最小,就要尽量平均的填写,因为如果有的连续5 个圆圈内的数特别小,有的特别大,那么M 就只能大于等于特别大的数,不能达到尽量小的目的。因为每个圆圈内的数都用了5次,所以10次的和为5×(1+2+3+…+10)=275.每次和都小于等于朋,所以IOM大于等于275,整数M大于28。
下面来验证M=28时是否成立,注意到圆圈内全部数的总和是55,所以肯定是一边五个的和是28,一边是27。因为数字都不一样,所以和28肯定是相间排列,和27也是相问排列,也就是说数组每隔4个差值为l,这样从1填起,容易排出适当的填图。
3.答案:我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉,因为它们参与的乘式比较多,把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式,比较小的数肯定是用得最多的,因为它们的倍数最多,所以考虑先把它们去掉,但关键是除到何处?
考虑到44的平方为1936,所以去到44就够了,因为如果剩下的构成了乘式,那么乘式中最小的数一定小于等于44,所以可以保证剩下的构不成乘式。因为对结果没有影响,所以可以将1保留,于是去掉2,3,4,…,44这43个数。
但是,是不是去掉43个数为最小的方法呢?构造2×97,3×96,4×95,…,44×45,发现这43组数全不相同而且结果都比1998小,所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数,所以43位最小值,即为所求。